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樟树中学2027届高二年级下学期第一次数学诊断作业
作业时间：2026年4月15日
作业范围：已学内容
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f(x)是函数f(x)的导函数，则1im
f1+3△)-f0=()
△
A.)
B.3f'(1)
C.f'(1)
D.f'(3)
2.如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OA=石，O万=石，OC=C,则AG=()
Aa--
B-a+B+C+不+元Da-万-C
3.直线：s12021°+ycos2021°-1=0的倾斜角是()
A.41
B.49
C.131
D.139
4.在三棱锥P-ABC中，PA、AB、AC两两垂直，AP=3,BC=4,则三棱锥外接球的表面积为()
A.12T
B.20元
C.25m
D.36m
5.等比数列{a,}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则10=()
A.32
B.64
C.512
D.1024
6+c+c+++c=
15
A.26+1
B.216
C.215+1
D.21i
7.设等差数列{an}的前n项和为S,f(x)=x3+2021x,己知f(4-1)=2,f(a21s-1)=-2,则下列结
论正确的是()
A.S2x21=-2021,02w1s>a4
B.S221=2021.02018>14
C.S221=-2021,a2018D.S221=2021,a20188.己知向量石=(2,3)，不=(0,1)，向量c满足c(石-万)=1，则C的取值范围是()
Ax)
&m吗
C5+x)
D.(0,
第1页，共4页
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.己知抛物线C:2=4r,过焦点F的直线交C于点A(r1,1),B(r22),则()
A.F的坐标为(1,0)
B.12十1归=-3
1
C.AB的最小值为2
D.AFT+BFI=1
10.如图，在正方体ABCD-ABCD1中，AA1=2,点M,N分别在棱AB和BB上运动（不含端点），
若DM⊥MN,则下列命题正确的是()
D
C
A.IN⊥A/
B
B.MN⊥平面DMC
C.线段BV长度的最大值为1
D.三棱锥D1-AC1的体积不变
B
11.已知曲线C的方程为F(x,)=0,集合T={(x,)川F(x,)=0},若对任意的(x1,)∈T,都存在
(x2,2)∈T,使得1（如-2）=r21成立，则称曲线C为0曲线·下列方程所表示的曲线为a曲线的是()
A.x2+2=5
B.--1=0 C.y=ina
D.y=e-2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x）=6r3-2f(1)x,则f(1)=
13.(x-)(x+)°的展开式中xy的系数为
14.已知数列{a}是首项为1的正项等差数列，且u=2+2u,数列b}的前n项和为S,若
1
a+1Va十aVam示neN,则满足S,<号的n的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.
(1)前4个节日中要有舞蹈，有多少种排法？
(2)3个舞蹈节日要排在一起，有多少种排法？
(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
第2页，共4页樟树中学2027届高二下学期第一次数学诊断作业答案
1.B2.B3.D4.C5.C6.D7.D8.A
9.ABD
10.AD
11.ABD
12.6
13.-5
14.8
15.解：(1)，8个节目全排列有A=40320种方法，
若前4个节目中要有舞蹈的否定是前4个节目全是唱歌有AA,
.前4个节目中要有舞蹈有A⊙-AA=37440:
(2).3个舞蹈节目要排在一起，可以把3个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排
列，3个舞蹈节目本身也有一个排列，有41号=4320：
(3)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节日排列，形成6个位置，
选3个把舞蹈节日排列，有AA=14400.
16解：（四由表中数据计算得工=0+35+0+5+50=40，
7=140+130+10+90+80=10,
5
-5证可
则6=白
21200-5×40×110-800
8250-5×402
250
=-32,
公-5产
a=7-m=110-(-3.2)×40=238.
所以关于x的经验回归方程为0=-3.2x+238.
(2)设定价为r元，利润为f(x),则f(x)=(-3.2x+238)(x-10)=-3.2x2+270x-2380,
270
因为r≥10，所以当正三32×2
=42.1875≈42时，f(x)最大.
所以为使得销售的利润最大，单价应该定为42元，
17.解：(1)连接BD,交AC于点O,连接SO,
由正四棱锥的性质，得AC⊥BD,SOL平面ABCD,ACC平面ABCD,
所以SOLAC.又SO∩BD=O,SO,BDC平面SBD,所以AC⊥平面SBD.
因为SDC平面SBD,所以AC⊥SD.
(2)以点O为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则40，.-10.B1,0.0.C0.1,0D-10.0.50,0.V3,P0y3
所0=.1m.C=20,=(号1.9
2
了2=0
设平面PAC的法向量为7=(，，)，则
元.AC=0,即{1
元.AP=0
++3
3-0
令x=V3,得平面PAC的一个法向量为7=(V3,0.1),
所以点B到平面PAC的距离d=
AB.元13
2
(3)由(2)得，BC=(-1.1.0),B=（-1,0.V3),
元.BC=0
-a+b=0
设平面SBC的法向量为元=(a.h.c),
元，B=0
a+V3c=0'
令c=1,得平面SBC的一个法向量为m=(V3.V3.1).
所以0 <，7>=
,
4
2v7
m训7=V7x2=7’
S
即平面SBC与平面PAC夹角的余弦值为，7、
1
18.解：(1小.a1=1,Va+-va=,
v@-Va=2,即v@-1=2,解得a=4.
(②)由（山得vam1-Van==1,
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴va=n,则a,=n2.
1
1
111
3a+Va。2+nm+1nnn+7
nn+7=1-1
1,1111
.5=1-2+23
n+1n+1'
1
故数列
的前n项和S,=
an yan
n+1·

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