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第二十三章 一次函数
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
23.2 一次函数的图象和性质
　　 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
两点法——两点确定一条直线
反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的解析式呢
y = 2x - 3
知识点 ：用待定系数法求一次函数的解析式
如图，已知一次函数的图象经过 P (0，-1)，
Q (1，1) 两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？
因为一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值(即待定系数).
函数解析式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
代入解出
画出
选取
∵ P(0，-1) 和 Q(1，1) 都在该函数图象上，
∴它们的坐标都满足 y = kx + b ， 将这两点坐标代入该式中，得到一个关于 k，b 的二元一次方程组：
k · 0 + b = -1，
k + b = 1，
｛
｛
解这个方程组，得
k = 2，
b = -1.
∴ 这个一次函数的解析式为 y = 2x - 1.
像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法.
函数解析式
y = kx + b
一次函数的图象直线 l
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：数形结合
待定系数法
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b (k≠0).
因为 y = kx + b 的图象过点 (2，－4) 与 (－3，11)，
解这个方程组，得
因此，这个一次函数的解析式为 y = －3x + 1.
k = 2，
b = －1.
2k + b = －4，
－3k + b = 11.
例1 已知一次函数的图象过点 (2，－4) 与 (－3，11)，求这个一次函数的解析式.
所以
典例精析
y = kx + b (k ≠ 0)
二元一次
归纳总结
（1）设：设一次函数的一般形式 ； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式，组成_________方程组；
（3）解：解二元一次方程组得 k，b；
（4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的解析式.
总结
求一次函数解析式的步骤：
例2 一位记者乘坐汽车赴 360 km 外的乡村采访，全程的前一部外为高速公路，后一部分为普通公路. 汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y (单位：km) 与时间 x (单位：h) 之间的关系如图所示.
(1) 求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式；
(2) 记者出发后多长时间到达采访地？
2
3.5
O
x/h
y/km
A
B
270
180
360
2
3.5
O
x/h
y/km
A
B
270
180
360
当 0≤x≤2 时，汽车行驶的速度较快；
因此，求函数解析式时对
0≤x≤2 和 x＞2 两个时段分别讨论.
分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关，
当 x＞2 时，汽车行驶的速度较慢，
2
3.5
O
x/h
y/km
A
B
270
180
360
解：(1) 当 0≤x≤2 时，函数图象是经过原点和点 A 的直线的一部分，设函数的解析式为 y = k1x.
因为它的图象过点 A(2，180)，所以 180 = 2k1
解得 k1 = 90.
因此，0≤x≤2 时，函数的解析式为 y = 90x.
当 x＞2 时，函数图象是经过 A，B 两点的直线的一部分，我们求出直线 AB 所对应的一次函数的解析式.
2
3.5
O
x/h
y/km
A
B
270
180
360
设这个一次函数的解析式为 y = k2x + b2，把点 A，B 的坐标分别代入 y = k2x + b2，得
2k2 + b2 = 180，
3.5k2 + b2 = 270.
解这个方程组，得
k2 = 60，
b2 = 60.
因此，当 x＞2 时，函数的解析式为 y = 60x + 60.
综上，当 0≤x≤2 时， y = 90x；当 x＞2 时，y = 60x + 60.
(2) 记者出发后多长时间到达采访地？
2
3.5
O
x/h
y/km
A
B
270
180
360
y = 60x + 60
y = 90x
(2) 由图象可知，当 y = 360 时，x＞2.
由 360 = 60x + 60，解得 x = 5.
因此，论者在出发 5 h 后到达采访地.
想一想：由（2）的解答，你能进一步确定（1）中函数的自变量的取值范围吗
当 0≤x≤2 时，y = 90x；
当 2＜x≤5 时，y = 60x + 60.
一次函数解析式_________
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线_________
_____________法
代入解出
选取
待定系数
y = kx + b
l
1.一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 （ ）
A．k = 2　 B．k = 3　
C．b = 2　　D．b = 3
D
y
x
O
2
3
基础练习
2.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数 y (元)与存钱月数 x (月) 之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
（1）求出 y 关于 x 的函数解析式.
（2）根据关系式计算，小明
经过几个月才能存够 200 元？
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
解：(1) 设函数解析式为 y = kx＋b，
由图可知图象过(0，40)，(4，120)，
∴ 这个函数的解析式为 y = 20x + 40.
(2) 当 y = 200 时，20x + 40 = 200， 解得 x = 8.
∴小明经过 8 个月才能存够 200 元.
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
解：设直线 l 为 y = kx + b，
　　∵ l 与直线 y = -2x 平行，∴ k = -2.
又∵ 直线过点(0，2)，
∴ 2 = -2×0 + b.
∴ b = 2，
∴ 直线 l 的解析式为 y = - 2x + 2.
3. 已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点(0，2)，求直线 l 的解析式.

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