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23.3 一次函数与方程、不等式
人教版八年级（下）
第二十三章 一次函数
　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
到我这里来
到我这里来
x + y = 5
这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？
知识点 1：一次函数与一元一次方程
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
从函数值看：
解这 3 个方程 一次函数 y = 2x + 1，
当 y 分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
y
y
y
从函数图象看：
在直线 y = 2x + 1上，取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少
(1) 2x + 1= 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
y
y
y
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
2x +1 = 3 的解
y = 2x + 1
2x + 1 = 0 的解
2x + 1 = -1 的解
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a、 b、c为常数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数值为_____时的自变量_____的值.
如：求 4x + 5 = 9 的解 求一次函数 y = 4x + 5 的函数值为 9 时，自变量的值.
总结
y = ax + b
c
x
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0 的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗
一次函数 y = kx+b
中，y = 0时 x 的值
从“函数值”看
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
求直线 y = kx+b
与 x 轴交点的横
坐标
从“函数图象”看
归纳总结
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
-10
0
-10
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，_____).
5
0
练一练
问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
知识点 2：一次函数与一元一次不等式
　 (1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
从函数值的角度看：
解这 3 个不等式 在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y = 3x + 2
y = 2
y = 0
y = -1
从函数图象的角度看：解这 3 个不等式 在直线
y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于 -1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
求 kx+b＞0(或<0)
(k ≠ 0)的解集
y = kx + b 的值
大于(或小于) 0
时，x 的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或＜0)
(k ≠ 0)的解集
确定直线y = kx + b
在 x 轴上方(或下
方)的图象所对应的
x 取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
3. 如图，已知直线 y = kx + b 与 x 轴交于点(-4，0)，则当 y > 0 时，x 的取值范围是( )
A. x > -4
B. x > 0
C. x < -4
D. x < 0
C
O
x
y
－4
y = kx + b
做一做
问题3 同时释放两个探测气球，1 号气球从距离地面 5 m 处出发，以 1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面 15 m 高处出发，以 0.5 m/s 的速度上升．两个气球都上升了 1 min．
(1) 分别写出表示两个气球所在位置
的高度 y (单位：m) 与气球上升时间
x (单位：s) 的函数解析式．
h1
h2
气球1 海拔高度：y = x + 5；
气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15．
知识点 3：一次函数与二元一次方程组
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y = 0.5x + 15
二元一次方程
y - 0.5x = 15
二元一次方程
y = 0.5x + 15
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
在同一坐标内，(1) 画出 y = 0.5x + 15 的图象；
(2) 画出以方程 y - 0.5x = 15 的 5 个解为坐标的点.
你有什么发现？
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
方程 y - 0.5x = 15 的解：
① x = -2，y = 14 → (-2，4)
② x = 0，y = 15 → (0，15)
③ x = 2，y = 16 → (2，16)
④ x = 4，y = 17 → (4，17)
⑤ x = 6，y = 18 → (6，18)
以方程 y - 0.5x = 15 的解为坐标的点都在一次函数 y = 0.5x + 15 的图象上，函数 y = 0.5x + 15 图象上的点的坐标都是二元一次方程 y - 0.5x = 15 的解.
一次函数y = x + 5
直线 y = x + 5
二元一次方程 y = x + 5
点的坐标满足函数解析式
以满足函数解析式的数对为坐标画点
用函数观点看
用方程观点看
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y = x + 5， y = 0.5x + 15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y = x + 5
y = 0.5x + 15
h1
h2
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
气球1 海拔高度：y = x + 5
气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15
　　二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A(20，25)
30
25
20
15
10
5
10
20
y = x + 5
y = 0.5x + 15
15
5
O
x
y
　　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b (k、b 为常数，且k ≠ 0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
总结
归纳总结
例2 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线 l1 与 l2 的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
解方程组
y = 2x + 2，
y = - x + 3，
解：因为直线 l1过点 (-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理
可求得直线 l2 的解析式为 y = - x + 3.
即直线 l1 与 l2 的交点坐标为
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与________的横坐标
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大(小)于 0 时，求自变量的取值范围，即在_______________的图象所对应的 x 取值范围
解二元一次方程组 求对应两条直线____________
x 轴交点
x 轴上方 (或下方)
交点的坐标
1．一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方程 kx + 3 = 0 的解为 .
3
y=kx+3
O
y
x
3
x = -3
2．若方程组 的解为 则一次函数 y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______.
(2，5)
基础练习
3.一次函数 y1= 4x + 5 与 y2 = 3x + 10 的图象如图所示，则 4x + 5 > 3x + 10 的解集是（ ）
A. x < 5
B. x > 5
C. x > -5
D. x > 25
B
O
x
y
5
y = 4x + 5
y = 3x + 10
25

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