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23.4 实际问题与一次函数
第1课时 分段函数问题
第二十三章 一次函数
思考：在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如何用一次函数解决实际问题呢？
①将实际问题抽象为一次函数问题；
②根据条件求得一次函数的解析式；
③结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
例1 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折.
(1) 写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
(2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元
知识点 ：分段函数的应用
购买种子量
y = 40x
y = 80 + 24(x - 2) = 24x + 32
例1 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折.
因此，写函数解析式与画函数图象时，应分_________
和 讨论.
分析：从题目可知，种子的价格与 有关.
若购买种子量为 x＞2 时，种子价格 y 为：
.
若购买种子量为 0≤x≤2 时，种子价格 y为： .
0≤x≤2
x＞2
解：(1) 设购头量为 x kg，付款金额为 y 元.
当 0≤x≤2 时，种子价格为 40 元/kg，
函数解析式为 y = 40x；
函数图象如图所示.
函数解析式为
y = 40x + 24(x－2) = 24x + 32.
当 x＞2 时，购买的种子中有 2 kg 按
40 元/kg计价. 其余的 (x－2) kg (即超出
2 kg 部分) 按 24 元/kg (即六折) 计价，
1
2
3
20
40
60
80
100
x/kg
y/元
y=24x+32
y=40x
函数解析式也可以合起来表示为
24x + 32，x＞2.
40x，0≤x≤2，
y =
(2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元
1
2
3
20
40
60
80
100
x/kg
y/元
y=24x+32
y=40x
(2)因为 4＞2，
所以 y = 24×4 + 32 = 128.
因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元.
【练一练】1.为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过 16 m3 时，使用费为每立方米 1.3 元；超过 16 m3 时，超过部分的使用费为每立方米 2.0 元；污水处理费为每立方米 1.2 元，设一户每月用水 x m3，应缴水费为 y 元.
（1）写出 y 与 х 之间的函数表达式；
分析：用水以 16 m3 为界，分成两段，收费标准不一样：当 0≤x≤16 时，每立方米收费 (1.3 + 1.2) 元；当 x >16 时，超过部分每立方米收费 (2.0 + 1.2) 元.
（2）画出上述函数的图象；
解 (1)当 0≤ x≤16 时，y = (1.3 + 1.2)x = 2.5x.
当 x＞16 时， y = (1.3 + 1.2)×16 + (2.0 + 1.2)(x - 16)
= 3.2x - 11.2.
y 与 х 的函数表达式可表示为：
2. 5x， 0≤x≤16，
3.2x - 11.2， x＞16.
y =
（1）写出 y 与 х 之间的函数表达式；
x/m3
y/元
(3) 某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费；
(3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 .
当 x = 20 时，y = 3.2×20 - 11.2 = 52.8.
答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元.
(4) 某一户某月缴水费 59.2 元，求该户这个月的用水量.
(4)因为59.2＞2.5×16，所以该户这个月用水超过 16 m3.
因此，3.2x - 11.2 = 59.2. 解得 х = 22.
答：该户这个月的用水量为 22 m3.
2. 5x， 0≤x≤16，
3.2x - 11.2， x＞16.
y =
【方法归纳】 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
分段函数
分段函数的具体应用
对分段函数图象的理解
1.歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地.某快递公司的收费标准为：物品不超过 3 kg需付 13 元，以后每增加 1 kg(不足 1 kg按 1 kg计)需增加托运费 1.5 元.直接写出歇马杏的托运量 x (单位：kg)(x＞3)与托运费用
y (单位：元)的函数关系式
为　 　.
y＝1.5x＋8.5
2.某日，王爷爷准备了 80 kg 苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用.他按市场价售出 50 kg 苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完.已知王爷爷手机电子钱包中的零钱总额 y (单位：元) (含原有零钱)与售出水果的千克数 x 的关系如图所示，请结合图象回答问题：
（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱　 　元；
（2）苹果降价前每千克　 　元，降价后每千克　　元；
（3）请求出 y 关于 x 的函数解析式.
解：当 0≤x≤50 时，y＝12x＋80；
当 50＜x≤80 时，
y＝10(x－50)＋680＝10x＋180.
综上，y 关于 x 的函数解析式为
80
12
12
y =
12x + 80， 0≤x≤50；
10x + 180，50＜x≤80.
2.为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费 y 元与月用电量 x kW·h 的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题：
(1)求出 y 与 x 之间的函数表达式；
解：(1) 当 0≤x≤100 时，设 y = k1x.
把 (100，65) 代入，得 100k1= 65，
解得 k1 = 0.65，
所以 y = 0.65x.
当 x > 100 时，设 y = k2x + b.
把 (100，65)，(130，89) 分别代入，
得
100k2+ b = 65，
130k2+ b = 89.
解得
k2 = 0.8，
b =－15.
所以 y = 0.8x－15.
所以y与x之间的函数表达式为
0.65x，(0≤x≤100)，
0.8x－15，(x＞100).
y =
(2)若某用户某月应缴电费 105 元，则该用户当月用了多少电？
(2) 因为 105 > 65，所以 x > 100.
将 у = 105 代入 y = 0.8x－15，
得 0.8x－15 = 105，
解得 x = 150.
所以该用户当月用了 150 kW·h电.

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