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第3课时 方案选择问题(2)
23.4 实际问题与一次函数
第二十三章 一次函数
方案选
择问题
3.利用一次函数的增减性知识，选择出最佳方案
1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型）
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围
问题：某学校计划在总费用不超过 2300 元的情况下，租用客车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有 1 名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
（1）共需租多少辆客车？
（2）给出最节省费用的租车方案．
知识点 ：方案选择问题
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题1：影响租车费用的因素有哪些？
甲、乙两种车所租辆数.
问题2：客车总数又与哪些因素有关？
与乘车人数有关.
问题3：如何由乘车人数确定客车总数呢？
①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6．
②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6．
综合起来可知客车总数为6辆．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题4：在客车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车 x 辆，你能求出租车费用吗？
解：设租用 x 辆甲种客车，则租用乙种客车(6－x)辆．
设租车费用为 y 元，根据表格可知：
y = 400x + 280(6－x)，
化简，得 y = 120x + 1680．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题5：如何确定 y = 120x + 1680 中 x 的取值？
为使240名师生乘车都有座位，则 45x+30(6－x)≥240；
为使租车费用不超过2300元，则 120x+1680≤2300.
由
45x+30(6－x)≥240，
120x+1680≤2300，
得 4≤x≤ .
5
综合起来可知 x 的取值为 4 或 5.
问题6：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由．
方案一：租用甲种客车 4 辆，乙种客车 2 辆；
方案二：租用甲种客车 5 辆，乙种客车 1 辆；
对于 y = 120x + 1680，因为120＞0，所以 y 随 x 的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．
所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车 4 辆，乙种客车 2 辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160 (元)．
【归纳总结】
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量.然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
【练一练】1. 抗旱救灾行动中，江津、白沙两地要向中山和广兴每天输送饮用水，其中江津每天输出 60 车饮用水，白沙每天输出 40 车饮用水，供给中山和广兴各 50 车饮用水.由于距离不同，江津到中山需 600 元／车，到广兴需 700 元／车；白沙到中山需 500 元／车，到广兴需 650 元／车．请你设计一个调运方案使总运费最低？此时总运费为多少元？
广兴
50车
中山
50车
江津
60车
白沙
40车
(50－x)
(60－x)
x
650
500
700
600
解：设每天要从江津运 x 车到中山，总运费为 y 元. 由题意可得
y = 600x + 700(60－x) + 500(50－x) + 650(x－10)
y = 50x + 60500
(x－10)
由
得
∵ k＝50＞0 ，y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝10 时，y 有最小值， y = 61000.
答:从江津调往中山 10 车，从江津调往广兴 50 车，从白沙调往中山 40 车，从白沙调往广兴 0 车，可使总费用最省，为61000元．
∴
抽象
构造
直线交点
图象间位置
限制条件
函数增减性
实际问题
(多个)函数模型
确定方案
1. 某辣椒批发商销售 A，B 两种不同品种的辣椒共 80 箱，进价和售价如表所示．
设该辣椒批发商采购了 A 种辣椒 x 箱，销售完所有辣椒获得的总利润为 y 元．
品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱)
A 400 480
B 300 350
(1) 求 y 与 x 之间的函数解析式．
解：根据题意，得
y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)＝30x＋4 000，
∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000.
根据题意，得 400x＋300(80－x)≤29 000，解得x≤50，
∵ y＝30x＋4 000，30>0，
∴ y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝50 时，y 有最大值，
最大值为 30×50＋4 000＝5 500.
答：购进 50 箱 A 种辣椒所获得的利润最大，
最大利润为5 500元．
(2) 如果该批发商最多投入的成本为 29 000 元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润.
2. 某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒.若购买 9 桶甲消毒液和 6 桶乙消毒液，则一共需要 615 元；若购买 8 桶甲消毒液和 12 桶乙消毒液，则一共需要 780 元.
(1) 每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元
解：(1) 设每桶甲消毒液的价格为 x 元，每桶乙消毒液的价格为 y 元，由题意可得
答：每桶甲消毒液的价格为 45 元，每桶乙消毒液
的价格为 35 元.
(2) 若该校计划购买甲、乙两种消毒液共 30 桶，其中购买甲消毒液 a 桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5 桶，又不超过乙消毒液的数量的 2 倍.怎样购买，才能使总费用 W 最少 并求出最少费用.
(2) 由题意可得 W = 45a +35(30 - a) = 10a + 1050，
∴W 随 a 的增大而增大.
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多 5 桶，
又不超过乙消毒液的数量的 2 倍，
∵a 为整数，∴当 a = 18 时，W 取得最小值，
此时 W = 1230，30 - a = 12.
答：购买甲消毒液 18 桶，乙消毒液 12 桶，才能使.
总费用 W 最少，最少费用是 1230 元.

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