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23.1 一次函数的概念
第二十三章 一次函数
如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？
知识点 ：一次函数的概念
问题1：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.用函数解析式表示 y 与x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温.
分析：y 随 x 变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km时，气温从 5 ℃减少 6x ℃.
因此，y 关于 x 的函数解析式为y = 5 - 6x.
这个函数也可以写为 y = －6x＋5.
当登山队员由大本营向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温就是当 x = 2 时函数 y = －6x＋5 的值，即 y = －6×2＋5 = －7 (℃).
问题1：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.用函数解析式表示 y 与x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温.
问题2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. 这些函数解析式有哪些共同特征？
(1) 铁的密度约为 7.9 g/cm ，铁块的质量 m (单位：g)随它的体积 V (单位：cm ) 的变化而变化.
是函数关系，函数解析式为 m = 7.9V.
(2) 每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h (单位：cm) 随练习本的个数 n 的变化而变化.
(3) 一种计算成年人标准体重 m (单位：kg) 的方法是：以厘米为单位量出身高 h，再减去常数 105，所得差是 m 的值，m 随 h 的变化而变化.
是函数关系，函数解析式为 h = 0.5n.
是函数关系，函数解析式为 m = h - 105.
(4) 把一个长 10 cm，宽 5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形的面积 y (单位：cm) 随 x 的变化而变化.
是函数关系，函数解析式为 y = (10 - x)×5，
即 y = -5x + 50 (0≤x＜10).
发现：它们都是常数 k 与自变量的_____与常数 b 的 的形式.
观察以上出现的函数解析式，它们有什么共同特征呢？
(1) m = 7.9V
(2) h = 0.5n
(3) m = h - 105
(4) y = -5x + 50
积
和
一般地，形如 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0)的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数．
正比例函数的概念
一次函数的概念
一般地，形如 y = kx + b （k， b 是常数，
k ≠ 0）的函数，叫作一次函数.
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
练一练
(1) y = - 8x； (2) (3) y = 5x2 + 6
(4) y = - 0.5x - 1； (5)
解：（1）（4）（5）（7）（8）是一次函数，
（1）是正比例函数.
例1 一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm.
(1) 求弹簧的长度 y (单位：cm) 关于所挂物体质量 x (单位：kg) 的函数解析式；
(2)当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少
解：(1) 由每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm 可知，挂 x kg 的物体时，弹簧伸长 2x cm.
因此，关于 x 的函数解析式为 y = 2x + 12.
(2) 把 x = 5 代人 y = 2x + 12，得 y = 2×5 + 12 = 22.
因此，当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 22 cm.
1. 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2.
练一练
（1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数
分析：
函数是一次函数
一次项系数不为 0
次数为 1
k = (m-1) ≠ 0
m - 1 ≠ 0，
解得 m ≠ 1.
即 m ≠ 1 时，这个函数是一次函数.
分析：
函数是正比例函数
一次项系数不为 0
次数为 1
k = (m - 1) ≠ 0
常数项一定为 0
1- m2 = 0
（2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数
解：由题意可得
m - 1 ≠ 0，1- m2 = 0，解得 m = -1.
即 m = -1 时，这个函数是正比例函数.
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ）
A. 圆的面积 S 与它的半径 r
B. 行驶速度不变时，行驶路程 s 与时间 t
C. 正方形的面积 S 与边长 a
D. 工作总量（看作“1” ）一定，工作效率 w 与工作时间 t
B
基础练习
2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（1）若 y = kx，则 y 是 x 的正比例函数（ ）
（2）若 y = 2x2，则 y 是 x 的正比例函数（ ）
（3）若 y = 2(x - 1) + 2，则 y 是 x 的正比例函数（ ）
（4）若 y = (2 + k2)x，则 y 是 x 的正比例函数（ ）
×
×
√
√
注意：（1）中 k 可能为 0.
（4）中 2 + k2＞0，故 y 是 x 的正比例函数.
3. 有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为
0.5 公顷/时的小麦收割机来收割.
(1) 求收割的面积 y (单位：公顷) 与收割时间 x
(单位：时)之间的函数关系式；
(2) 求收割完这块麦田需用的时间.
解：(1) y = 0.5x.
(2) 把 y = 10 代入 y = 0.5x 中，得 10 = 0.5x.
解得 x = 20，即收割完这块麦田需要 20 小时.

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