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山西省吕梁市2026年学业水平模拟考试（一）
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．山西特产贡枣包装袋上标注质量为，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：，，，，则最接近标注质量的是（ ）
A． B． C． D．
2．电力储能技术是指将电能通过物理、化学或电磁等方式储存起来，并在需要时释放的技术．下列电力储能图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．月壤砖是利用模拟月壤或真实月壤原料烧制的月球基地建筑材料，具有榫卯结构设计．某种型号的“月壤砖”的结构如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，这是某公园健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．小苏在假期在黄山风景区旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为，门洞最底部的两个端点和圆弧上一点C构成的，则这个门洞处边长为（ ）
A． B． C． D．
7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点，分别是△ABC的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（ ）
的值 0 1 2 3
的值 无意义 0
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点分别是边上靠近点的三等分点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，若，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________．
12．2026年中央1号文件发布的关于锚定农业农村现代化扎实推进乡村全面振兴的意见的文件中指出应重点发展乡村经济，吸引年轻人到乡村中去．某村集体组织计划在“乡村民宿”和“果园采摘”两个项目上共投资150万元，其中“乡村民宿”的投资金额比“果园采摘”的投资金额多10万元，则“乡村民宿”投资了___________万元．
13．如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则_____度．
14．国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了_______行？
15．在菱形ABCD中，AC为其一条对角线，过点A作边上的垂线，垂足为点，取的中点，连接并延长交于点，则线段的长为___________．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．(10分)（1）计算：；
（2）化简：．
17．（7分）如图，在中，平分，交边于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为．（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，判断的数量关系，并说明理由．
18．（8分）4月9日，中国国民党主席郑丽文在清华大学观看AI表演，体会祖国发展的魅力。智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表：
【数据收集与整理】
如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图：
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
A型号 14和16 15
B型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中________，________，________；
(2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由；
(3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可）
19．（8分）项目学习
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件．
素材3 学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同．
根据以上素材，解决下列问题．
(1)求钢笔与笔记本的单价．
(2)求购买钢笔和笔记本数量的方案．
(3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？
20．（8分）某学习小组在延时课上进行了测量风筝离地面的垂直高度实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测量数据 ①测得水平距离为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米
说明 点在同一平面内
请根据表格信息和图1，解答下列问题．
(1)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？
(2)如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（在同一平面内，沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到0.1米，取取1.732）
21．（9分）阅读与思考
阅读下列材料，请完成后面的任务．
邻对等四边形【概念理解】有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形．【问题解决】问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)．①菱形②矩形③平行四边形④正方形问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：．证明：如图2，延长至点，使得，连接，
任务：
(1)材料中问题1的“▲”处应填写____________．
(2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整．
(3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】中招体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．嘉嘉为了在中招体育考试实心球项目得满分进行了投掷实心球训练．
【建模分析】如图，嘉嘉某次投掷实心球训练时，实心球运行的路线为抛物线 的一部分，x为实心球运行时距离出手点A 的水平距离，y为实心球运行时距离地面的高度，已知出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等．
【问题解决】
(1)求a，c的值及此次训练实心球运行时距离地面的最大高度；
(2)淇淇说：“嘉嘉此次训练没有得满分．”请你通过计算帮淇淇说明理由；
(3)嘉嘉为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高出手点（即掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变）来提高成绩．若嘉嘉能得到满分，求提高出手点的高度h的取值范围．
23．（13分）综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接．
(1)数学思考：
如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？
山西省吕梁市2026年学业水平模拟考试（一）
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．山西特产贡枣包装袋上标注质量为，对4袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）如下：，，，，则最接近标注质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据越接近标注质量，代表偏离标注质量的程度越小，即偏差的绝对值越小，计算各偏差的绝对值比较大小即可．
【详解】解：，，，，
∵，
∴ 最小，对应食品最接近标注质量．
2．电力储能技术是指将电能通过物理、化学或电磁等方式储存起来，并在需要时释放的技术．下列电力储能图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意；
B．，即选项B错误，不符合题意；
C．，即选项C错误，不符合题意；
D．，即选项D正确，符合题意．
4．月壤砖是利用模拟月壤或真实月壤原料烧制的月球基地建筑材料，具有榫卯结构设计．某种型号的“月壤砖”的结构如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：其俯视图是一个矩形，且中间有一条虚线
故选：B．
5．如图，这是某公园健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．小苏在假期在黄山风景区旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为，门洞最底部的两个端点和圆弧上一点C构成的，则这个门洞处边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．
先根据圆周角定理得到，再证明是等边三角形即可求解．
【详解】解：连接，，
∵圆弧上任意两点间的最大距离为，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定属于液化现象的有几张卡片，再由概率公式求解即可．
【详解】解：总共有四张卡片，属于液化现象的有甲和丁两张卡片，
∴从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是．
故选：A．
8．如图，点，分别是△ABC的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟悉掌握尺规作图和相关性质定理．
根据题干描述得知为线段的垂直平分线，即是斜边上的中线，，是的中位线，．
【详解】解：根据题意可知：
为线段的垂直平分线，点是线段的中点，
，
是直角三角形，
∴是斜边上的中线，
，
∵点，分别是的边，的中点，
∴是的中位线，
．
故答案为：．
9．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（ ）
的值 0 1 2 3
的值 无意义 0
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式．根据表格信息，当时分式无意义，说明分母在时为零；当时分式值为零，说明分子在时为零．逐一验证选项，只有选项A同时满足这两个条件．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴分母含有，排除BD；
∵当时，分式值为零，
∴分子含有，排除C，
∴分式可能是A：，
故选：A．
10．如图，在中，，点分别是边上靠近点的三等分点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，若，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再求出，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：，
，
，
点分别是边上靠近点的三等分点，
，
以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，
，
， ，
阴影部分的周长．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________．
【答案】8
【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解．
【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为，
∵矩形的周长为
∴，
解得：，
故答案为：8．
12．2026年中央1号文件发布的关于锚定农业农村现代化扎实推进乡村全面振兴的意见的文件中指出应重点发展乡村经济，吸引年轻人到乡村中去．某村集体组织计划在“乡村民宿”和“果园采摘”两个项目上共投资150万元，其中“乡村民宿”的投资金额比“果园采摘”的投资金额多10万元，则“乡村民宿”投资了___________万元．
【答案】80
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设“乡村民宿”投资了万元，则“果园采摘”的投资金额为万元，“乡村民宿”和“果园采摘”两个项目上共投资150万元，据此列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设“乡村民宿”投资了万元，则“果园采摘”的投资金额为万元，
则，
解得
即“乡村民宿”投资了万元，
故答案为：
13．如图，中，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则_____度．
【答案】80
【分析】本题考查了折叠，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质是关键．
根据折叠，平行线的性质得到，结合题意得到，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：80 ．
14．国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了_______行？
【答案】3
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列，根据增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，列出一元二次方程即可．
【详解】解：设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列，
由题意得：．
解得：x1=—10 ，（不符合题意，舍去）x2=3
故答案为：x=3
15．在菱形ABCD中，AC为其一条对角线，过点A作边上的垂线，垂足为点，取的中点，连接并延长交于点，则线段的长为___________．
【答案】
【分析】由勾股定理得，设，则，，在中，由勾股定理可列方程，求得，建立平面直角坐标系，得，，,，分别求出直线的解析式，求出点的坐标，运用两点间距离公式可求出的长．.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，,
在中，，
∴，
解得，
∴，，
建立平面直角坐标系，如图，
∴，，,，
设直线的解析式为，
把,代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立方程组得，
解得，
∴，
∴．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．(10分)（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）5；（2）
【分析】题目主要考查实数的混合运算，分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数的乘方运算，负整数指数幂和零次幂运算，然后计算加减法即可；
（2）根据分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
17．（7分）如图，在中，平分，交边于点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为．（标明字母，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，判断的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据尺规作垂线的方法作图即可；
（2）证明，即可得证．
【详解】（1）解：如答图，即为所求．
（2）．
理由如下：由作图可知，，
．
，
．
平分，
．
在和中，
．
．
18．（8分）4月9日，中国国民党主席郑丽文在清华大学观看AI表演，体会祖国发展的魅力。智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化．如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如下图表：
【数据收集与整理】
如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图：
B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
A型号 14和16 15
B型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中________，________，________；
(2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由；
(3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势．（各写出一条即可）
【答案】(1)20；15；1.4
(2)购买B型智能机器人合适，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可；
（2）从众数、中位数、平均数三个方面分析；
（3）根据条形统计图和表格统计的特点解答即可．
【详解】（1）解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，，
故中位数；
；
（2）解：购买型智能机器人合适．理由如下：
从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人，
所以购买型智能机器人合适；
（3）解：条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等；
表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等．
19．（8分）项目学习
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件．
素材3 学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同．
根据以上素材，解决下列问题．
(1)求钢笔与笔记本的单价．
(2)求购买钢笔和笔记本数量的方案．
(3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？
【答案】(1)笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元
(2)购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本
(3)文具店赠送2张或5张兑换券，①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本
【分析】（1）设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
（2）设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（3）当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本．根据题意得，整理得，求出．结合，均为正整数，且为偶数（2的倍数），计算即可得出结果．
【详解】（1）解：设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元．
（2）解：设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本．
根据题意，得，
解得，
答：购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本．
（3）解：当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本．
根据题意，得，
整理，得．
∵，
∴，
∴．
∵，均为正整数，且为偶数（2的倍数），
∴可取1，3，5，
当时，，则，成立；
当时，，则，成立；
当时，，则，成立．
根据题意可知，当时，兑换所得的笔记本和钢笔的总价为800元，不合题意，
∴文具店赠送2张或5张兑换券，
兑换方式：①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本．
20．（8分）某学习小组在延时课上进行了测量风筝离地面的垂直高度实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型抽象
测量数据 ①测得水平距离为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米
说明 点在同一平面内
请根据表格信息和图1，解答下列问题．
(1)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米的线？
(2)如图2，若小明身后有一个坡度为的斜坡，小明牵着风筝沿坡面后退米到达的位置．此时风筝上升到原方向的处（在同一平面内，沿小明的手所在的位置，观察处的风筝，仰角为，求风筝距地面的高度（精确到0.1米，取取1.732）
【答案】(1)8米
(2)34.5米
【分析】（1）根据勾股定理求出风筝线的长，即可得到答案；
（2）过点分别作，垂足分别为G，H，则，分别在和中，求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过B作于点C，则，
在中，，
由勾股定理得：，
风筝沿方向再上升12米后，，
此时风筝线的长为，
∴．
答：小明同学应该再放出8米线．
（2）解：如图，过点分别作，垂足分别为G，H，则，
根据题意得：三点共线，米，
在中，米，
∵坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
在中，，
∴米，
∴米，
即风筝距地面的高度为米．
21．（9分）阅读与思考
阅读下列材料，请完成后面的任务．
邻对等四边形【概念理解】有一个邻角相等且对角线相等的四边形叫作邻对等四边形．如图1，在四边形中，，那么四边形称为邻对等四边形．【问题解决】问题1：根据邻对等四边形的概念，下列四边形一定是邻对等四边形的是 ▲ (填序号即可)．①菱形②矩形③平行四边形④正方形问题2：如图2，在邻对等四边形中，，求证：．证明：如图2，延长至点，使得，连接，
任务：
(1)材料中问题1的“▲”处应填写____________．
(2)请将问题2中证明过程的剩余部分补充完整．
(3)如图3，已知四边形是邻对等四边形，，请直接写出的长．
【答案】(1)②④；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据邻对等四边形的定义，逐一分析各四边形的性质：矩形和正方形的邻角相等且对角线相等，满足定义；菱形、平行四边形的邻角不一定相等，对角线也不一定相等，不满足定义；
（2）通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到角的等量关系，结合等腰三角形的性质和邻补角的定义，完成角的和为的证明；
（3）利用（2）的结论求出的度数，在中求出的度数，构造直角三角形，通过锐角三角函数计算的长度．
【详解】（1）解：根据邻对等四边形的定义，
①菱形：邻角互补，且对角线不一定相等，故不是邻对等四边形；
②矩形：邻角均为，对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形；
③平行四边形：邻角互补，对角线不一定相等，故不是邻对等四边形；
④正方形：邻角均为对角线相等，满足定义，故是邻对等四边形；
故答案为：②④．
（2）证明：延长至点，使得，连接．
∵四边形是邻对等四边形，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵四边形是邻对等四边形，
∴由（2）的结论可知，且．
，
．
在中，，
．
过点作于点，
在中，，，
．
在中，，，，
．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】中招体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．嘉嘉为了在中招体育考试实心球项目得满分进行了投掷实心球训练．
【建模分析】如图，嘉嘉某次投掷实心球训练时，实心球运行的路线为抛物线 的一部分，x为实心球运行时距离出手点A 的水平距离，y为实心球运行时距离地面的高度，已知出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等．
【问题解决】
(1)求a，c的值及此次训练实心球运行时距离地面的最大高度；
(2)淇淇说：“嘉嘉此次训练没有得满分．”请你通过计算帮淇淇说明理由；
(3)嘉嘉为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高出手点（即掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变）来提高成绩．若嘉嘉能得到满分，求提高出手点的高度h的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）把、代入，即可求出a、c值，然后把函数解析式化为顶点式即可求出最大高度；
（2）令，求出自变量的值，进行判断即可；
（3）根据嘉嘉可得满分，求出新的解析式，进而求出掷出点的高度即可．
【详解】（1）解：∵出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等，
∴经过、，
∴，
解得，
∴，
∴此次训练实心球运行时距离地面的最大高度为；
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴嘉嘉此次训练没有得满分；
（3）解：∵嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变，
∴设现在抛物线为，
当抛物线经过时，则，
解得，
∴，
当时，，
∴若嘉嘉能获得满分，则提高出手点的高度h的取值范围．
23．（13分）综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接并延长交于点Q，连接．
(1)数学思考：
如图1，当点M在上时，与的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在上时，判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，的长为多少？
【答案】(1)；
(2)成立，理由见解析；
(3)当的周长最小时，的长为
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识：
（1）由折叠得，证明，得到，再根据平角定义和三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）的周长表示为，，当取最小值时，的周长最小，设，则，由勾股定理列方程求解即可
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：成立，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：由折叠得，，
∴的周长为，
当取最小值时，的周长最小，
∵点的轨迹是以点为圆心，的长为半径的圆弧；
以点为圆心，的长为半径画圆，当点D，M，B共线时，最小，
设，则，
由折叠得，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
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