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24.2 数据的离散程度
第1课时 方差
第二十四章 数据的分析
情景导入
问题1 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
探究新知
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
上面两组数据的平均数分别是
x甲 = 7.537
x乙 = 7.515
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大. 由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
知识点：方差
甲种产量波动较大
乙种产量波动较小
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况． 　
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
平均数
平均数
【知识要点】
一般地，有 n 个数据 x1，x2，···，xn，用 表示它们的平均数，我们把 xi－ (i = 1，2，···，n)叫作xi 关于平均数 的离差.
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
可知，一组数据的离差和总是 0，
因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
(x1－ )＋(x2－ )＋ ··· ＋( xn－ )
＝x1＋x2＋ ··· ＋xn－n ＝0
我们把
(x1－ )2 ＋ (x2－ )2 ＋ ··· ＋( xn－ )2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作 d2.
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“ s ”.
【知识要点】
2. 方差的意义
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度． 　
两组数据的方差分别是：
据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
　　显然 　＞ 　，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致．
分析：
例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，0 次射击成绩（单位：环）如表所示.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定
典例精析
由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
甲
乙
两名运动员射击成绩的方差分别为
【答】(1)平均数：6，方差：0；(2)平均数：6；方差：
(3)平均数：6，方差： ；(4)平均数：6，方差： .
1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平
均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的.
（1）6 6 6 6 6 6；
（2）5 5 6 6 6 7 7；
（3）3 3 4 6 8 9 9；
（4）3 3 3 6 9 9 9.
练一练
当堂小结
方差
方差的统计学意义(判断数据的波动程度)：
方差越大(小)，数据的波动越大(小).
公式：
1. 样本方差的作用是（ ）
A. 表示总体的平均水平
B. 表示样本的平均水平
C. 准确表示总体的波动大小
D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
D
当堂练习
2.人数相同的八年级 (1)、(2) 两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
， ， ，则成绩较为稳定的班级是( )
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
B
3. 在样本方差的计算公式
中， 数字10 表示___________ ，数字 20 表示 ______.
样本容量
平均数
4. 已知样本 x1，x2，x3，…，xn 的方差是 1，那么样本2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3，…，2xn＋3 的方差是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
D
5. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品个数分别是：
甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4
乙：2，3，1，2，0，2，1，1，2，1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？
解：
∵ s2甲＞s2乙，
∴乙台机床的性能较好

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