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24.3 数据的四分位数
第二十四章 数据的分析
问题：某银行有 A 和 B 两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营 12 项理财产品，收益率(单位：％)如下：
A　 4.77　3.98　6.44　4.89　2.15　3.85　
3.64　3.21　3.18　2.02　4.11　4.10
B　 3.18　3.84　3.99　3.67　3.40　3.60　
4.10　4.21　4.15　4.44　3.87　3.91
如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？
用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平.通过计算，可以得到 A 和 B 两个团队产品收益率的平均数和方差分别为
稳健型投资者，可以选择团队 B 经营的理财产品；
激进型投资者，可以选择团队 A 经营的理财产品.
思考：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？
【概念引入】
一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成 2 等份，将数据分成 100 等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.
相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
知识点1： 四分位数
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
由于每个团队的产品收益率的数据个数不多，我们可以用三个特殊的百分位数来刻画.
容易得到这组数据的中位数为3.915，这个值把所有数据分成 2 等份，所有数据中小于这个值的占50％，称 3.915 为这组数据的 50％ 分位数.
3.915
如图所示，把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列：
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
在 3.915 左侧和右侧的数据中，还可以分别得到它们各自的中位数 3.195 和 4.44，
所有数据中小于这两个值的分别占 25％ 和 75％，
称 3.193 和 4.44 分别为这组数据的25％分位数和75％分位数.
3.193
4.44
25％分位数
75％分位数
50％分位数
由于 3.195，3.915，4.44 这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数（中位数）、第三四分位数，分别记为 Q1，Q2，Q3.
第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数.
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
3.195
4.44
25％分位数
75％分位数
50％分位数
第一四分位数(Q1)
第三四分位数(Q2)
第二四分位数(Q2)
思考：由团队 A 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
团队 A 产品：其产品收益率小于 3.195％ 的项目数占总数的 25％，产品收益率小于 3.915％ 的项目数占总数的一半，产品收益率大于 4.44％ 的项目数占总数的 25％. 产品收益率在 3.195％ 至4.44％ 之间的项目数占总数的 50％.
问题：求出团队 B 产品收益率的三个四分位数.
B　 3.18　3.84　3.99　3.67　3.40　3.60　
4.10　4.21　4.15　4.44　3.87　3.91
分析：把团队 B 的产品收益率按从小到大的顺序排列：
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
3.89
3.635
4.125
第一四分位数
第三四分位数
第二四分位数
思考：由团队 B 产品收益率的三个四分位数，观察其产品收益率的分布情况如何.
团队 B 产品：其产品收益率小于 3.635％ 的项目数占总数的 25％，产品收益率小于 3.89％ 的项目数占总数的一半，产品收益率大于 4.125％ 的项目数占总数的 25％，产品收益率在 3.635％ 至 4.125％ 之间的项目数占总数的 50％.
【知识要点】为了更加直观地观察产品收益率的分布特征，我们可以用产品收益率的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图.
团队 A 产品收益率的箱线图如图所示，它主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成.
最小值
最大值
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
2
3
4
5
6
7
收益率/%
知识点2： 箱线图
箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距.
最小值
最大值
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
2
3
4
5
6
7
收益率/%
由箱线图，容易看出产品收益率分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等.
类似地，可以画出团队 B 产品收益率的箱线图，如图所示.
问题：箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两个团队产品收益率的分布特征，把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图所示，你有哪些发现？
从图中可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位数的水平线段差不多高)，但团队 A 的产品收益率波动明显比团队 B 的大(团队 A 的箱体和须线比团队 B 的长).
这与用平均数、方差比较的结果是一致的，从箱线图中，还可以看出分布的一些其他特征？
例如，团队 B 的产品收益率分布比团队 A 的更对称（中位数对应的水平线段在箱子的中间位置），团队A有约25% 的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约 25% 的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等.
例 分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
时刻 0∶00 2∶00 4∶00 6∶00 8∶00 10∶00 12∶00 14∶00 16∶00 18∶00 20∶00 22∶00 24∶00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
解：将表中两地的气温(单位：℃)分别从小到大的顺序排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲、乙两地气温各有 13 个数据，甲地气温的最小值为 9，最大值为 24，三个四分位数分别为
Q2= 16，
乙地气温的最小值为 11，最大值为 21，三个四分位数分别为
Q2= 16，
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
在同一幅图中画出两地气温的箱线图，如图所示.
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有 25% 时刻的气温高于乙地的最高温度，约有 25% 时刻的气温低于乙地的最低温度.
四分位数与箱线图
五数概括：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值
应用：分析数据分布
计算步骤：排序→定位→取值
1. 一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上
四分位数是(　D　)
A. 14 B. 15 C. 23 D. 25
D
2. 兴趣小组9名同学的数学成绩(单位：分)分别为
80，68，90，88，96，89，70，98，91，则下列说
法正确的是(　D　)
A. 中位数是88.5 B. 上四分位数是91
C. 下四分位数是80 D. 以上说法都不对
D
3. 如图是某班学生1min跳绳次数的箱线图，从中我
们可以得到信息：
(1)该班学生1min跳绳次数最多相差 次；
(2)四分位距为 .
47　
12　

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