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山西省吕梁市2026年学业水平模拟考试（二）
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．壶口瀑布是山西标志性景观之一，其水位随季节变化明显．我们规定基准水位为．若汛期水位比基准水位高，记作，枯水期水位比基准水位低，应记作（ ）
A． B． C． D．
2．山西剪纸是山西文化的重要组成部分，题材多为人物、动物、花草、通过谐音象征表达“图必有意，意必吉祥”的美好祈愿。一张红纸，便能剪出花鸟、福字与窗花．纹样或对称灵动，或随意别致，尽显指尖匠心与民俗韵味．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年人工智能浪潮奔涌．从的横空出世，到豆包、灵光的持续突破，中国人工智能正以高频创新，在全球科技竞争格局中书写新的篇章．2025年中国人工智能核心产业规模超过12000亿元，2026年这个数值还在大幅提升．其中数据“12000亿”用科学记数法表示为（ ）
A．12 B．12 C．1.2 D．.1.2
4．中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．某公园一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的∠CBA=20°．顶部支架与灯杆所成的∠DEF=30°，若底部支架与吊线平行，则等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．45°
6．如图，建筑工地上一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ）
A． B． C． D．
7．在太原市长风文化商务区一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（ ）
A． B． C． D．
8．某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是唐代“卧轮式水车”的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图是一顶小丑帽，它是△ABC是边长为2的等边三角形上，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，制作成的，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．若，，则的值为_________．
12．4月9日，中国国民党主席郑丽文在清华大学观看AI表演，体会祖国发展的魅力。某校科技小组研发了两款机器人甲和乙，为测试这两款机器人的性能，让机器人在笔直的测试道上运动．已知测试道的长为，如图是其测试示意图．机器人甲以每分钟的速度从点出发，机器人乙以每分钟的速度从点出发，，两个机器人到达终点均停止运动．若两个机器人同时出发，则机器人甲追上机器人乙时，它们与终点相距___________．
13．某校科技节开展体验活动，在一个不透明的盒子中装有分别写着“”、“豆包”、“元宝”、“”字样的四张卡片（除此之外，卡片完全相同），小华从盒子中随机抽取一张卡片．则他选到体验“豆包”这款人工智能软件的概率为______．
14．如图，四边形是边长为6的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______．
15．如图，在矩形中，，，点E在边上，将绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为_____.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（10分）计算：
(1)；
(2)；
17．（7分）某艺术工作室在设计一座现代雕塑，雕塑的主体造型基于一个直角三角形框架，其中，，．为进一步增强光影效果，需要在边上找一点，在处安装一个射灯，使它到的距离与到点的距离相等．
(1)请用尺规作图，在上作出点的位置，保留作图痕迹．
(2)求长．
18．（8分）【项目背景】科学种植对农林产业发展有巨大的促进作用，某苹果种植户想验证新的种植养护方式对苹果品质的提升效果，在果园内开辟了实验园区，运用新技术种植、养护．在苹果成熟采摘的时候对普通园区和实验园区苹果的大小进行对比分析．
【数据收集与整理】在普通园区和实验园区采摘的苹果中随机各抽取50个，测量它们的直径，并按照直径大小进行分组，分组标准如下：
组别 A B C D E
直径（）
数据整理1：将普通园区苹果的直径数据绘制成如图1的频数分布直方图，其中普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为．
数据整理2：将实验园区苹果的直径数据绘制成如图2的扇形统计图，实验园区苹果的直径整理记录的部分数据（已按大小进行排序）如下（单位：）：
…，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，9.0，…
【数据处理和应用】
(1)普通园区苹果的直径在C组的有____________个，请补全频数分布直方图；
(2)实验园区苹果直径的中位数是____________，图2中D组对应扇形的圆心角是____________；
(3)已知实验园区苹果的平均直径为；普通园区苹果的直径在A，B，C，D，E五组中的平均值分别为，，，，；若实验园区苹果的平均直径比普通园区苹果的平均直径高出，就认为新的种植、养护方式效果显著．请你通过计算说明该果园实验园区实施的新种植、养护方式是否达到“效果显著”？
19．（8分）【活动背景】某公园内山顶的平台上有一凉亭，其周围仅有台阶可以到达，如图1．甲、乙、丙三个数学兴趣小组要在某一段台阶上测量凉亭顶端到平台的距离．
【方案设计】
甲、乙、丙三个小组根据实地调研情况，设计了活动方案，形成了如下实践报告．
活动主题 测量凉亭顶端（点）到平台中心（点）的距离
实地情况 在该段台阶上能观察到凉亭顶端（点），观察不到平台中心（点），与平台垂直
测量工具 手持激光测距仪（仅可测量两点之间距离）、测角仪、支架
实践过程 如图2，甲小组成员选择一个合适的台阶放置支架（点处），在支架上固定好测角仪（点处），测量凉亭顶端点的仰角．用手持探测仪测量出测角仪（点）到凉亭顶端的距离为10.4米．甲小组通过计算，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离．如图3，乙小组保持支架位置和高度与甲小组一致，选取了凉亭靠近下方一点，利用同甲小组相同的方法进行测量，经过计算得到点到测角仪所在水平面的垂直距离为2.5米．乙小组还测量出了点到平台的垂直距离为0.8米（点，在同一水平面上)．丙小组收集了甲乙两个小组的结果，在同一平面内画出示意图，如图4．
示意图
备注 ，．
【解决问题】
(1)请仔细阅读实践报告，根据方案设计，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离．（结果精确到0.1．参考数据：，，）
(2)结合实践报告，求出凉亭顶端到平台中心的距离．
20．（8分）为了创建全国文明城市，给市民一个舒适、便利的生活环境，环保科技公司助力太原建设“无废城市”，推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个．
(1)求A类餐盒的价格．
(2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用．
21．（9分）阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务．
黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数．例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数．下面是求黄金分割数的解答过程：设，则，．．．．．．
任务：
(1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点．
(2)补全材料中求黄金分割数的解答过程．
(3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
22．（12分）综合与实践：“水果店定价最优方案”
【项目背景】
某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化．
已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示：
销售单价x（元千克） 12 14 16
日销售量y（千克） 100 90 80
【任务一】建立函数模型
（1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式；
【任务二】实现目标利润
（2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？
【任务三】优化定价决策
（3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（13分）综合与探究
某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的平行四边形进行了如下探究：
(1)【初步探究】如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点，重合），点在上，满足，延长交于点．求的度数；
(2)【深入探究】在上述条件下，连接，已知，如图2，若正方形的边长为6，求的长；
(3)【变式探究】如图3，矩形中，，，点是边的中点，点在上，且，连接并延长交于点，求的值．
山西省吕梁市2026年学业水平模拟考试（二）
数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．壶口瀑布是山西标志性景观之一，其水位随季节变化明显．我们规定基准水位为．若汛期水位比基准水位高，记作，枯水期水位比基准水位低，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相反意义的量，比基准水位高记作正，则比基准水位低记作负．
【详解】解：由题意知，枯水期水位比基准水位低，应记作，
故选：B．
2．山西剪纸是山西文化的重要组成部分，题材多为人物、动物、花草、通过谐音象征表达“图必有意，意必吉祥”的美好祈愿。一张红纸，便能剪出花鸟、福字与窗花．纹样或对称灵动，或随意别致，尽显指尖匠心与民俗韵味．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，中心对称图形沿着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
选项C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
选项D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形．
3．2025年人工智能浪潮奔涌．从的横空出世，到豆包、灵光的持续突破，中国人工智能正以高频创新，在全球科技竞争格局中书写新的篇章．2025年中国人工智能核心产业规模超过12000亿元，2026年这个数值还在大幅提升．其中数据“12000亿”用科学记数法表示为（ ）
A．12 B．12 C．1.2 D．.1.2
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，本题结合1亿，再进一步求解即可．
【详解】解：12000亿=12000=1.2
故选：C．
4．中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
【详解】解：如图所示即为其俯视图，
∴选项A符合题意．
5．某公园一种路灯的示意图如图所示，灯杆与底部支架所成的∠CBA=20°．顶部支架与灯杆所成的∠DEF=30°，若底部支架与吊线平行，则等于（ ）
A．40° B．50° C．70° D．45°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过E作，根据平行线的传递性可得，然后根据平行线的性质依次求出，，即可．
【详解】解：过E作，
∴∠BEH=∠CBA=20°，
又∠DEF=30°，
∴∠FEH=180°—∠BEH—∠DEF=180°—20°—30°=130°，
∵，，
∴，
∴∠EFG=180°—∠FEH=180°—130°=50°
故选：B．
6．如图，建筑工地上一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出地面受到的压强，求出比即可求解．
【详解】解：设长方体砖块的重力为，
∵两个面的面积比是，
∴可设面的面积为，面的面积为，面的面积为，
由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强，
当面向下放在水平地面上，压强，
当面向下放在水平地面上，压强，
∴．
7．在太原市长风文化商务区一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每个花坛的长为，宽为，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：设每个花坛的长为，宽为，根据题意得：
，
解得：，
即每个花坛的长为，宽为，
∴每个花坛面积为．
故选：B
8．某汽车公司研制了四款发动机，图中的横、纵坐标分别为发动机燃烧产生的能量和输出的机械功，该公司准备将热效率最高的发动机批量生产并投入市场，则应选择（注：热效率）（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】由图象可知，纵坐标与横坐标的比值越大，热效率越高，其中甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大，所以甲设备的热效率最高．
【详解】解：由函数图象可知，
甲设备的纵坐标与横坐标的比值最大，
甲设备的热效率最高．
9．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是唐代“卧轮式水车”的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解．
【详解】解：如图，作、交于点、，作于点，
设，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
点到水面的距离为，
，则，
圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗，
，
，
又，即，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
则，即，解得，，
或，
，
点是的中点，即，
或．
故选：D．
10．如图是一顶小丑帽，它是△ABC是边长为2的等边三角形上，分别以，为斜边作等腰直角三角形和，，，的圆心分别是点C，D，E，半径分别是，，制作成的，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过观察图形，发现阴影部分的面积可以看作是扇形的面积加上弓形的面积，再减去弓形的面积．由于和是全等的等腰直角三角形，对应的弓形面积相等，从而简化计算．
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴ 扇形（圆心为C，半径为）的面积为∶ ，
∵和分别是以，为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴ 扇形（圆心为D，半径为）的面积为：，
的面积为：，
∴ 弓形（由弧和弦围成，圆心为D）的面积为： ，
同理，弓形（由弧和弦围成，圆心为E）的面积为：，
∴，
∵，
∴．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．若，，则的值为_________．
【答案】9
【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．
通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算．
【详解】
；
，，
所以原式
．
故答案为：9．
12．4月9日，中国国民党主席郑丽文在清华大学观看AI表演，体会祖国发展的魅力。某校科技小组研发了两款机器人甲和乙，为测试这两款机器人的性能，让机器人在笔直的测试道上运动．已知测试道的长为，如图是其测试示意图．机器人甲以每分钟的速度从点出发，机器人乙以每分钟的速度从点出发，，两个机器人到达终点均停止运动．若两个机器人同时出发，则机器人甲追上机器人乙时，它们与终点相距___________．
【答案】6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题．
首先求出，设t分钟机器人甲追上机器人乙，根据甲追上乙时比乙多走了的长度列方程列出t的值，然后再求它们与终点的距离．
【详解】解：设t分钟机器人甲追上机器人乙，
∵，的长为，
∴，
由题意，得，
解得，
∴机器人甲追上机器人乙时，它们与终点相距：．
故答案为：6．
13．某校科技节开展体验活动，在一个不透明的盒子中装有分别写着“”、“豆包”、“元宝”、“”字样的四张卡片（除此之外，卡片完全相同），小华从盒子中随机抽取一张卡片．则他选到体验“豆包”这款人工智能软件的概率为______．
【答案】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同，其中写有“豆包”这款人工智能软件的卡片有一张，
∴小华从盒子中随机抽取一张卡片．他选到体验“豆包”这款人工智能软件的概率为．
14．如图，四边形是边长为6的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______．
【答案】3
【分析】根据菱形的性质得出相等的线段和平行线，证明为等边三角形，为的中位线，然后利用三线合一以及勾股定理进行求解．
【详解】解：∵四边形是边长为6的菱形，
∴AD=BC=AB=6，，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∵，且，
∴为的中位线，
∴BF=AD=3，
∴CF=BC—BF=3，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得EF===3，
∴DF=EF=，
∴AF==3．
15．如图，在矩形中，，，点E在边上，将绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为_____.
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值与勾股定理. 通过作辅助线构造全等三角形，得到对应边相等，设未知数后利用勾股定理得到关于未知数的二次函数表达式，求二次函数的最小值即可得到的最小值.
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是矩形，
，，，
由旋转的性质得，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
当时，取得最小值，
的最小值为，
故答案为.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（10分）计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根和绝对值，再进行加减计算；
（2）先计算括号内分式加法，然后将除法化为乘法计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（7分）某艺术工作室在设计一座现代雕塑，雕塑的主体造型基于一个直角三角形框架，其中，，．为进一步增强光影效果，需要在边上找一点，在处安装一个射灯，使它到的距离与到点的距离相等．
(1)请用尺规作图，在上作出点的位置，保留作图痕迹．
(2)求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了用尺规作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，
对于（1），以点A为圆心，以为半径画弧，交于点D，G，再以点D，G为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点H，作射线，交于点E，则点E即为所求作；
对于（2），作，根据角平分线的性质定理得，再根据勾股定理求出，然后证明，即可求出，接下来设，则，最后根据勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）解：如下图所示；
（2）解：过作，交于点，
是的角平分线，，
，
在中，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
由勾股定理可得，，
解得，
．
18．（8分）【项目背景】科学种植对农林产业发展有巨大的促进作用，某苹果种植户想验证新的种植养护方式对苹果品质的提升效果，在果园内开辟了实验园区，运用新技术种植、养护．在苹果成熟采摘的时候对普通园区和实验园区苹果的大小进行对比分析．
【数据收集与整理】在普通园区和实验园区采摘的苹果中随机各抽取50个，测量它们的直径，并按照直径大小进行分组，分组标准如下：
组别 A B C D E
直径（）
数据整理1：将普通园区苹果的直径数据绘制成如图1的频数分布直方图，其中普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为．
数据整理2：将实验园区苹果的直径数据绘制成如图2的扇形统计图，实验园区苹果的直径整理记录的部分数据（已按大小进行排序）如下（单位：）：
…，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，9.0，…
【数据处理和应用】
(1)普通园区苹果的直径在C组的有____________个，请补全频数分布直方图；
(2)实验园区苹果直径的中位数是____________，图2中D组对应扇形的圆心角是____________；
(3)已知实验园区苹果的平均直径为；普通园区苹果的直径在A，B，C，D，E五组中的平均值分别为，，，，；若实验园区苹果的平均直径比普通园区苹果的平均直径高出，就认为新的种植、养护方式效果显著．请你通过计算说明该果园实验园区实施的新种植、养护方式是否达到“效果显著”？
【答案】(1)12，频数分布直方图见解析
(2)8.05，
(3)达到“效果显著”
【分析】（1）根据普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为，得出D，E组有10个，进而求得D组的个数，根据频数分布直方图求得C组的个数，进而补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义可知实验园区苹果直径的中位数在D组，进而求得第25，26个数据分别为8.0，8.1，即可求得中位数，根据D组的个数为16个，用其占比乘以，进而求得D组对应圆心角的度数；
（3）根据加权平均数的方法计算普通园区苹果的平均直径，进而求得实验园区苹果的平均直径比算普通园区苹果的平均直径高出的百分比，和比较，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：（个），
∴D组的个数为：（个）．
则C组的个数为：（个）．
补全频数分布直方图如图：
（2）解：D组，
∴D组的数据为：8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，共16个．
A组：（个），
B组：（个），
E组：（个），
C组：（个），
A、B、C组一共有：（个），
∴第25，26个数据分别为8.0，8.1．
∴实验园区苹果直径的中位数是．
D组对应扇形的圆心角是．
（3）解：普通园区苹果的平均直径为：，
，
∴该果园实验园区实施的新种植、养护方式达到“效果显著”．
19．（8分）【活动背景】某公园内山顶的平台上有一凉亭，其周围仅有台阶可以到达，如图1．甲、乙、丙三个数学兴趣小组要在某一段台阶上测量凉亭顶端到平台的距离．
【方案设计】
甲、乙、丙三个小组根据实地调研情况，设计了活动方案，形成了如下实践报告．
活动主题 测量凉亭顶端（点）到平台中心（点）的距离
实地情况 在该段台阶上能观察到凉亭顶端（点），观察不到平台中心（点），与平台垂直
测量工具 手持激光测距仪（仅可测量两点之间距离）、测角仪、支架
实践过程 如图2，甲小组成员选择一个合适的台阶放置支架（点处），在支架上固定好测角仪（点处），测量凉亭顶端点的仰角．用手持探测仪测量出测角仪（点）到凉亭顶端的距离为10.4米．甲小组通过计算，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离．如图3，乙小组保持支架位置和高度与甲小组一致，选取了凉亭靠近下方一点，利用同甲小组相同的方法进行测量，经过计算得到点到测角仪所在水平面的垂直距离为2.5米．乙小组还测量出了点到平台的垂直距离为0.8米（点，在同一水平面上)．丙小组收集了甲乙两个小组的结果，在同一平面内画出示意图，如图4．
示意图
备注 ，．
【解决问题】
(1)请仔细阅读实践报告，根据方案设计，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离．（结果精确到0.1．参考数据：，，）
(2)结合实践报告，求出凉亭顶端到平台中心的距离．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）延长和交于点，解直角三角形，求得即可；
（2）过点作平行于地面的直线，延长交于点，根据题意可得米，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长和交于点，
米，
答：点到测角仪所在水平面的垂直距离约为米；
（2）解：如图，过点作平行于地面的直线，延长交于点，
根据题意可得四边形为矩形，米，
米，
米，
米．
答：凉亭顶端到平台中心的距离为米．
20．（8分）为了创建全国文明城市，给市民一个舒适、便利的生活环境，环保科技公司助力太原建设“无废城市”，推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个．
(1)求A类餐盒的价格．
(2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1)
A类餐盒每个的价格为1元
(2)
购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元
【分析】（1）设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，结合题意列分式方程求解即可；
（2）设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，结合题意列不等式得到，设总费用为，由此列式，结合一次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，
∴，
解得，，
检验，当时，原方程有意义，
∴A类餐盒每个的价格为1元；
（2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元，
设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，
∴，
解得，，
设总费用为，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，最小值为（元），
∴，
∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元．
21．（9分）阅读与思考下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务．
黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数．例如，如图1，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，k称为黄金分割数．下面是求黄金分割数的解答过程：设，则，．．．．．．
任务：
(1)概念理解：根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点．
(2)补全材料中求黄金分割数的解答过程．
(3)拓展应用：如图2，在线段上用无刻度的直尺和圆规求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查了黄金分割点的定义，一元二次方程的求解，勾股定理，尺规作图及线段比例关系的计算与应用．
（1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点；
（2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可；
（3）因为，而是黄金分割数，先作线段，作线段的垂直平分线，交线段于点O，以点B为圆心，过点B以为半径作垂线，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求．
【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，
∴一条线段有2个黄金分割点，
故答案为：2．
（2）解：根据，得，
则，，
解得，（舍去），
∴．
（3）解：如图所示，点即为所求．（答案不唯一）
证明：设的长度为，
∵为的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（12分）综合与实践：“水果店定价最优方案”
【项目背景】
某校九年级数学兴趣小组参与社会实践活动，帮助一家水果店分析阳光玫瑰葡萄的销售数据，以制定合理的定价策略，实现利润最大化．
已知水果店进货成本为6元/千克，销售单价不低于成本，且不高于20元/千克．小组在试销期间记录了不同售价对应的日销售量，部分数据如下表所示：
销售单价x（元千克） 12 14 16
日销售量y（千克） 100 90 80
【任务一】建立函数模型
（1）小组发现y与x之间近似成一次函数关系，直接写出y与x之间的函数关系式；
【任务二】实现目标利润
（2）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元？
【任务三】优化定价决策
（3）当销售单价定为多少时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）（）；（2）销售单价应定为16元；（3）销售单价定为19元时，获得的日销售利润最大，最大利润是845元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设与之间的函数关系式为，由表可得当时，；当时，，将它们分别代入即可求解；
（）根据题意得，然后解方程并检验即可；
（）由题意得，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）y与x之间近似成一次函数关系，
设与之间的函数关系式为，
由表可得当时，；当时，，
∴，解得，
∴，
∵销售单价不低于成本，且不高于2元/千克，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为（）．
（2）根据题意得，
解得，，
∵，
∴
答：当销售单价定为16元时，水果店每日销售阳光玫瑰葡萄获利800元．
（3）设每日销售阳光玫瑰葡萄获得的利润为W元．
则，
∵，
∴当时，W取最大值，最大值为845．
答：销售单价定为19元时，获得的日销售利润最大，最大利润是845元．
23．（13分）综合与探究
某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的平行四边形进行了如下探究：
(1)【初步探究】如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点，重合），点在上，满足，延长交于点．求的度数；
(2)【深入探究】在上述条件下，连接，已知，如图2，若正方形的边长为6，求的长；
(3)【变式探究】如图3，矩形中，，，点是边的中点，点在上，且，连接并延长交于点，求的值．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质得到，，结合四边形的内角和为可求解；
（2）过点作交于点，证明得到，过点作交于点，则，可求得，则，证明可得，利用平行线分线段成比例求得，进而可求解；
（3）过点作交于点， 利用等腰三角形的性质得到，证明得到，进而可求得，则，过点作交于点，分别证明和可得，进而可求解．
【详解】（1）解：四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作交于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作交于点，则，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交于点，
，
，
矩形，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
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