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青海西宁市第四高级中学2026届高三下学期三月月考数学试题
一、单选题
1．已知命题，；命题，.则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
2．已知实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．一组数据的下四分位数为
B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系
C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为
D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
6．设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论中错误的是（ ）
A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好
B．样本数据，，，的方差为8，则数据，，，的方差为2
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
8．Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为，记为函数的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是单调减函数 B．
C．函数的最大值是 D．
二、多选题
9．成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（ ）
A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变大
B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设
C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分
D．图丁说明残差与观测时间有线性相关性，故满足一元线性回归模型对随机误差的假设
10．函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．零点个数大于1
11．已知正项等比数列的公比为，是其前项和，若，且，则（ ）
A． B．是数列中的项
C． D．，，成等差数列
三、填空题
12．在三棱锥中，底面ABC，，，球O与PA相切，且AB的中点M在球O的表面上，若球O的最小半径为2，则三棱锥的体积为______．
13．设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则__________．
14．在中，，，则的最小值为_____．
四、解答题
15．如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值.
16．中考体育成绩关系到考生最终的中考分数，广西多地将1000米跑（男）、800米跑（女）作为必考项目．某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑（男）、800米跑（女）测试，通过统计，整理数据得到如下列联表：
男生 女生 合计
达标 24 18 42
不达标 11 7 18
合计 35 25 60
(1)试估计该班的达标率；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析成绩是否达标与学生性别有关．
参考公式：，．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，的面积为1，求边的值.
18．某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下：
对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）；
对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）．
现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析．
(1)求此次分析触发预警的概率；
(2)记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”．
（i）求；
（ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？
19．已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．
(1)当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程．
(2)设直线l与双曲线C交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积不小于．
①求双曲线C的离心率e的取值范围；
②当离心率e最大时，记双曲线C的右顶点为B，直线AP与BQ的交点为M，判断点M是否在定直线上．
参考答案
1．B
2．B
3．D
4．B
5．D
6．C
7．C
8．B
9．ABC
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．/
15．（1）是直径，，
平面，，
平面，
平面，
，，
∴四边形是平行四边形，
则，平面，
平面，
∴平面平面；
（2）
依题意，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
，即，
令，得，则，
设平面的一个法向量为，
，即，
令，得，则，
，
∴面与面所成的二面角的正弦值.
16（1）该班的达标率为
（2）零假设：成绩是否达标与学生性别无关，
，
根据“显著性水平的独立性检验，我们推断没有充分证据拒绝原假设，即认为成绩是否达标与学生性别无关．
17（1）中，，所以
所以
又，所以，
又因为，所以.
（2）因为，
由余弦定理，
将，代入解得，
所以.
18．（1）事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”．
由题知：，，，．
由全概率公式：
所以，触发预警的概率为0.0547．
（2）（i）由贝叶斯公式：
，
所以，在预警条件下确实患病的概率约为．
（ii）含义解释：
由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率，
它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题；
是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率，
反映了该手环识别真实病例的能力；
决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接．
理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号，
用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据．
而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险，
故对个人就诊决策的参考相对间接．
19．（1）由题意知，当直线的斜率为2时与一条渐近线平行，则.
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由题意，双曲线的标准方程为.
因为直线的斜率不为0，故可设直线的方程为:，
将其代入，得，
整理得：（）.
设，，则，.
，.
所以.
由.
①所以，又，所以双曲线离心率的取值范围是.
②当双曲线离心率最大时，.
此时.，.
直线的方程：，
直线的方程：.
由.
化简得：.
由，.
所以.
由.
即直线与直线的交点在定直线上.

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