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江西省上高二中2025-2026学年高一下学期数学学科阶段性练习
一、单选题
1．下列四个式子中可以化简为的是（ ）
①；②；③；④
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
2．已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（ ）
A． B．4 C． D．8
4．已知向量.若三点共线，则（ ）
A． B． C．3 D．4
5．如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若平面向量两两夹角相等，且，则（ ）
A． B．36 C．或6 D．3或36
7．如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（ ）

A．4 B．9 C． D．
8．若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则，且、、、四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则非零向量与共线
C．在中，若，则点一定在角的平分线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
10．已知函数，为的一个零点，的图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．在上单调递增
11．已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（ ）
A． B．
C． D．，，可作为一个三角形的三边长
三、填空题
12．若，且，则______．
13．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
14．已知为偶函数，若，恒成立，则实数的取值范围________.
四、解答题
15．已知向量，满足，，.
(1)求与的夹角；
(2)若，求的值.
16．如图所示，某地夏天从时的用电量变化曲线近似满足函数．

(1)写出时的函数的解析式；
(2)若每日时的用量变化也满足图中曲线关系，当用电量大于等于45万会导致供电设备供能紧张，求出每日供能紧张的时间段．
17．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题：
(1)已知向量，满足，，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
(3)已知向量，，，求的最小值．
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求b的值与函数的解析式；
(2)设且.判断函数在上的单调性，及求的取值范围.
(3)若，使成立，求实数k的取值范围.
19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．

(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
参考答案
1．A
2．D
3．A
4．A
5．C
6．C
7．D
8．A
9．BC
10．AC
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）由已知，
，
，，
又，所以；
（2），
解得或．
16．（1）由图象可知从时的图象是的半个周期的图象，
．
，
，
将代入上式，得，
即，即，
又，
所求解析式为．
（2）由题意得，
即，
则，
解得，
又，
，
因此每日供能紧张的时间段为时.
17．（1）由已知可得，.
又，，
则.
又，所以，
所以，.
（2）由已知可得，，，
所以有，，，
则.
又，
所以，
所以，.
（3）由已知可得，
所以，，则，.
又，
所以，.
因为，所以.
令，则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以，的最小值为，
所以的最小值为.
18．（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，
即，所以，
因不恒为0，则，故；
（2）函数在上是增函数， 证明如下：
由（1）可得，函数，
任取，，
，
因为，所以，又，，所以，
即，所以函数在上是增函数；
，，
该函数的图象对称轴为，，则当时，取最小值1，
当时，，当时，，
则的最大值为，故，
因函数在上是增函数，故，
又，故的取值范围为.
（3）因为存在，使成立，即
又因函数是定义在上的奇函数，则不等式可转化为，
因为函数在上是增函数，所以，
依题意，，使成立，即，
因为，
因为，故当或时，取得最小值0，即，
故的取值范围为.
19．（1）依题意，
，
；
（2）因交于，由（1）知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，
所以，所以，即；
（3）由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又不共线，则有，得，
因为，
所以在上递增，
所以，故的取值范围是．

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