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2026中考第二轮复习之一次函数与反比例函数综合
一次函数与反比例函数综合题也是山西中考常考题型之一，这类综合题通常涉及交点、面积、不等式比较等，解题核心在于“数形结合”。围绕这个核心，拆解出最实用的步骤：先抓关键信息（解析式、交点），再灵活运用几何性质（面积割补、对称性），最后注意代数与图形的互验。学生可能容易卡在如何利用交点坐标，或者面积转化上，所以需要重点强调“设而不求”和“坐标转线段”的技巧。
无论题目多复杂，大多遵循以下三步：
1.求解析式：利用已知点坐标，代入函数表达式，建立方程组求解 k、b、m。
2.求交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组。交点的横、纵坐标是后续所有计算的基础。
3.根据问题转化：将题目中的几何条件（面积、线段关系、角度）或代数问题（比较大小、求范围）转化为关于坐标的方程或不等式
1. 求交点与解析式
直接给出点坐标或图像上的关系。
快招：
① 一个点代入反比例函数求 k。
② 两个点代入一次函数求 k, b。
③ 联立解析式解方程组，交点坐标即方程组的解。
2. 比较大小与求范围
“求当 y > y 时，x的取值范围”。
快招：
① 看图法（最快）：找到交点，看图像。一次函数在反比例函数上方，则一次函数值大。
② 代数法：解不等式 kx+b > m/x。注意分段讨论（x>0和x<0）。
3. 求图形面积
求三角形或四边形的面积，顶点常是原点、交点、坐标轴上的点。
快招：面积转化法（核心技巧）。
① 规则底高法：若边在坐标轴或平行于坐标轴，直接计算。
② 割补法：将三角形补成直角梯形或矩形，再减去周边三角形面积。
4. 几何存在性问题
“是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形/等腰三角形？”
快招：分类讨论 + 构造方程。
① 平行四边形：利用对角线互相平分（中点坐标公式）。
② 等腰三角形：设点P坐标，利用两点距离公式，分三种情况（AB=AP， AB=BP， AP=BP）列方程。
③ 直角三角形：利用勾股定理或两直线垂直（斜率乘积为-1）。
1. 设而不求：设交点坐标为 (x , y )，它同时满足两个函数解析式，所以有 y = kx + b和 y = m/x 。在后续列式时，用这些关系整体代换，常能简化运算。
2.坐标转线段：点的横坐标的绝对值 = 点到y轴的距离；纵坐标的绝对值 = 点到x轴的距离。这是将几何条件代数化的桥梁。
3. 利用对称性：反比例函数图像关于原点 O中心对称，关于直线 y=x和 y=-x轴对称。利用对称性可以快速得到对称点的坐标，简化计算
4.一个经典模型（“三角形面积不变”）
反比例函数图像上一点 P，向两坐标轴作垂线 PA、PB，则：S矩形OAPB = |k| S△OAP = S△OBP = |k|/2
1．如图，函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
3．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（ ）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
8．如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（ ）
①点的坐标为；②；
③当或时；④四边形的面积为4．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，反比例函数的图象经过点，过作轴于点，连，直线，交轴于点，交轴于点，若点关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图象上，则点纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点，过点作轴于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求一次函数的表达式．
(2)直接写出时，x的取值范围．
(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出时x的取值范围．
2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点．
(1)求a的值；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标．
4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函的图象与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
(2)根据图象直接写出不等式时x的取值范围；
(3)若动点P在x轴上，求的最小值．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，轴于点C．
(1)求a，b的值．
(2)请结合函数图象，直接写出当时，不等式的解集．
(3)P为反比例函数图象上位于点A右侧的一动点，连接，当时，求点P的坐标．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标；
(3)当时，请直接写出不等式的解．
7．如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点．
(1)求反比例函数解析式．
(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
(3)连接，，求的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和．

(1)求直线的解析式；
(2)过点作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围．
2026中考第二轮复习之一次函数与反比例函数综合
一次函数与反比例函数综合题也是山西中考常考题型之一，这类综合题通常涉及交点、面积、不等式比较等，解题核心在于“数形结合”。围绕这个核心，拆解出最实用的步骤：先抓关键信息（解析式、交点），再灵活运用几何性质（面积割补、对称性），最后注意代数与图形的互验。学生可能容易卡在如何利用交点坐标，或者面积转化上，所以需要重点强调“设而不求”和“坐标转线段”的技巧。
无论题目多复杂，大多遵循以下三步：
1.求解析式：利用已知点坐标，代入函数表达式，建立方程组求解 k、b、m。
2.求交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组。交点的横、纵坐标是后续所有计算的基础。
3.根据问题转化：将题目中的几何条件（面积、线段关系、角度）或代数问题（比较大小、求范围）转化为关于坐标的方程或不等式
1. 求交点与解析式
直接给出点坐标或图像上的关系。
快招：
① 一个点代入反比例函数求 k。
② 两个点代入一次函数求 k, b。
③ 联立解析式解方程组，交点坐标即方程组的解。
2. 比较大小与求范围
“求当 y > y 时，x的取值范围”。
快招：
① 看图法（最快）：找到交点，看图像。一次函数在反比例函数上方，则一次函数值大。
② 代数法：解不等式 kx+b > m/x。注意分段讨论（x>0和x<0）。
3. 求图形面积
求三角形或四边形的面积，顶点常是原点、交点、坐标轴上的点。
快招：面积转化法（核心技巧）。
① 规则底高法：若边在坐标轴或平行于坐标轴，直接计算。
② 割补法：将三角形补成直角梯形或矩形，再减去周边三角形面积。
4. 几何存在性问题
“是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形/等腰三角形？”
快招：分类讨论 + 构造方程。
① 平行四边形：利用对角线互相平分（中点坐标公式）。
② 等腰三角形：设点P坐标，利用两点距离公式，分三种情况（AB=AP， AB=BP， AP=BP）列方程。
③ 直角三角形：利用勾股定理或两直线垂直（斜率乘积为-1）。
1. 设而不求：设交点坐标为 (x , y )，它同时满足两个函数解析式，所以有 y = kx + b和 y = m/x 。在后续列式时，用这些关系整体代换，常能简化运算。
2.坐标转线段：点的横坐标的绝对值 = 点到y轴的距离；纵坐标的绝对值 = 点到x轴的距离。这是将几何条件代数化的桥梁。
3. 利用对称性：反比例函数图像关于原点 O中心对称，关于直线 y=x和 y=-x轴对称。利用对称性可以快速得到对称点的坐标，简化计算
4.一个经典模型（“三角形面积不变”）
反比例函数图像上一点 P，向两坐标轴作垂线 PA、PB，则：S矩形OAPB = |k| S△OAP = S△OBP = |k|/2
1．如图，函数与的图象相交于两点，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合；把代入中，求出，再结合图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上的x的取值范围即可求出．
【详解】解：根据题意，把代入中，
得，
解得：，
当时，结合图象得到，
故选：A．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4，
∴B点的横坐标为，
故当时，x的取值范围是：或．
故选B．
3．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把，直线与双曲线交于点和点，
∴，
∴反比例函数为：，
∴，
∴，
∴当或时，直线在双曲线的下方，
∴不等式的解集是：或．
故选：D．
4．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
对于直线，令，解得，
令，解得，
∴点，，
∴，，
∴，
∴，，
设点坐标为，
则有，
∴，
根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为，
∴，，
∵轴，轴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：B．
5．已知、两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，根据解析式求得点，利用，即可解题．
【详解】解：反比例函数图象过点，
，即有，
将代入，有，解得，
将、，代入中，
，解得，
一次函数，
当时，解得，即，
，
故选：B．
6．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线求出，的长，设出，，由得出，的长，进而得出结论．
【详解】解：对于，当时，；当时，，
，
，
设，
轴，轴，
∴四边形是矩形，
，
，
解得：
经检验，是原方程的根，
∵点在反比例函数的图象上，
，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
7．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（ ）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，求得点，得到，设作出辅助线，证明，设，则，分别求得，根据在上，得出，即进而求得的坐标，证明是直角三角形,即可求解．
【详解】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，,
∵关于对称，
∴，
∴，,，
∵,
∴,
∴是,
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正切的意义，勾股定理以及勾股定理的逆定理，反比例数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
8．如图，直线，与双曲线分别相交于，下列说法正确的个数是（ ）
①点的坐标为；②；
③当或时；④四边形的面积为4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分别联立两条直线和双曲线求出，，，，即可判断①；然后利用勾股定理的逆定理判断②；求出，，证明出四边形是矩形，然后利用矩形面积公式求解即可判断④；由图象结合A，B的横坐标即可判断③．
【详解】解：联立直线和双曲线得，
解得或
∴，，故①正确；
如图，连接，
联立直线和双曲线得，
解得或
∴，
∴，，
∴
∴是直角三角形，且，故②正确；
∴，
同理可得，，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形
∴四边形的面积为，故④错误．
由图象可得，当或时，直线的图象在双曲线图象上方，即，故③正确；
综上所述，说法正确的个数是3．
9．已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的性质，先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出已知交点的纵坐标，再利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质求解另一个交点坐标．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上．
∴．
∴交点坐标为．
∵正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称．
∴另一个交点的坐标为．
故选：D．
10．如图，反比例函数的图象经过点，过作轴于点，连，直线，交轴于点，交轴于点，若点关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图象上，则点纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，求出反比例函数为和直线的解析式为，联立即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵直线经过，过作轴于点，
∴直线的解析式为，，
∵，，
∴
∴设直线的解析式为，
把代入得到，，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或（不合题意，舍去）
∴
则点纵坐标为．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点，过点作轴于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A代入关系式解答即可；
（2）将两个关系式联立求出点B的坐标，即可得出，再结合点A，C的坐标求出答案．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，
．
∵反比例函数的图象经过点，
，
此反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，
解得或
．
轴于点
∴．
．
12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求一次函数的表达式．
(2)直接写出时，x的取值范围．
(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】（1）先求出，得到，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象结合，即可解答；
（3）先求出．设，根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，
∴，
∵A，B在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式；
（2）解：由题意，观察函数图象可得，当时，x的取值范围是或；
（3）解：存在．
对于，当时，；当时，，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴点M的坐标为．
1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)10
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，
∴，
解得：；
由题意知，，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数与反比例函数的交点问题．
（1）把，代入一次函数，得到，即，再把代入反比例函数即可求k；
（2）把代入一次函数，得到；一次函数的图象与y轴交于点C，求出，再根据求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
解得．
．
把代入，得：，解得；
（2）解：一次函数的图象过，
，解得．
．
一次函数的图象与y轴交于点C，
．
．
．
（3）解：由图象得，当时，x的取值范围是或．
2．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)或．
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提
（1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上，
．
．
反比例函数的解析式为，．
，两点都在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
（2）解：由图可知，当或时，不等式．
（3）解：存在．
如图，过点B作轴，垂足为D．
，，
，．
，．
．
，
．
设点P的横坐标为，则．
．
或．
当点P在上，则或．
点P的坐标为或．
3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点．
(1)求a的值；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标．
【答案】(1)a的值为8
(2)的取值范围为或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标．
（1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求；
（2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围；
（3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
解得，
∴反比例函数解析式为，
又∵点在的图象上，
∴将代入，得．
∴a的值为8．
（2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或．
（3）解：∵一次函数过、，
∴代入得，
用第一个方程减第二个方程：，即，
解得，
将代入，得，即，
解得，
∴一次函数解析式为，
设点的坐标为（，因在线段上），
∵，且、、在同一直线上，
∴，即，
∵点在上，且为原点，
∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例），
∴的坐标为，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
化简右边：，方程变为，
两边同乘去分母：，
即，
两边除以得，
因式分解：，
解得或，
当时，，此时；
当时，，此时，均在线段上，
故点的坐标为或．
4．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函的图象与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
(2)根据图象直接写出不等式时x的取值范围；
(3)若动点P在x轴上，求的最小值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，；
(2)或；
(3)的最小值为．
【分析】（1）本题将代入反比例函数中，即可解出，得到反比例函数的关系式，再将代入反比例函数解析式，即可解题；
（2）本题根据不等式的解集为一次函数的图象在反比例函数图象的下方的部分，再结合，即可解题．
（3）作关于轴的对称点，连接，则的最小值．过作于，再利用勾股定理即可解题．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，解得．
所以反比例函数解析式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得；
（2）解：，
∴
其解集为一次函数的图象在反比例函数图象的下方的部分，
，，
或；
（3）解：作关于轴的对称点，
∵
∴
连接交轴于，则的最小值．
过作于．
因为，，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，轴于点C．
(1)求a，b的值．
(2)请结合函数图象，直接写出当时，不等式的解集．
(3)P为反比例函数图象上位于点A右侧的一动点，连接，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先将点代入，求出一次函数的表达式为，再把点代入，可得，求出，然后根据点在反比例函数的图象上，求出；
（2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，结果函数图象，可求出当时，不等式的解集；
（3）先证明，列出比例式，求得，再设，从而可用表示出，，，进而表示出点P的坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，得到关于的方程求解，求出点P的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，
可得，解得．
∴一次函数的表达式为．
把点代入，
可得，
∴．
把点代入，得．
（2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴当时，不等式的解集为；
（3）解：过点P作于点Q，如解图所示，则．
又∵，
∴．
∴，
即．
由（1），可得，，，
∴．
设，则，
∴，，即点．
∵点P在反比例函数的图象上，
∴，解得或（舍去）．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点是轴负半轴上一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，．当时，求点的坐标；
(3)当时，请直接写出不等式的解．
【答案】(1)反比例函数表达式为：；一次函数的解析式为
(2)
(3)或
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得函数的解析式是解决问题的关键．
（1）先将代入，求出，再将代入求出m，再将A，B的坐标分别代入，即可求出，b；
（2）利用点C坐标和三角形的面积公式列方程求解即可
（3）由题意可知反比例函数值大于等于一次函数值，由图像交点，两点，得解集∶ 或．
【详解】（1）解∶ 代入，得，
∴反比例函数为∶，
将将代入，
得
．则
将，代入，
得解得
∴一次函数为∶
（2）解：中，当时，，
．
∵，点在上且，
．
解得．
，
．
点的坐标．
（3）解：由，则，
即反比例函数值大于等于一次函数值．
由图像交点，两点，
得解集∶ 或
7．如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点．
(1)求反比例函数解析式．
(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
(3)连接，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形中线的性质．
（1）把点代入反比例函数中，即可求解；
（2）由点是线段的中点，且点的纵坐标为0，得到点的纵坐标为4，把代入反比例函数，可得．根据函数与不等式的关系即可求解；
（3）运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点A的坐标，根据三角形中线的性质得到即可求解．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数解析式为．
（2）解：点是线段的中点，且点的纵坐标为0，
由中点公式，得点的纵坐标为4，
把代入反比例函数，得．
点的坐标为．
结合图象，得不等式的解集为．
（3）解：把点，代入直线：，
得解得
直线的解析式为．
当时，即，解得，
∴
．
点是线段的中点，
．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的两个交点分别为和．

(1)求直线的解析式；
(2)过点作x轴的垂线，与直线和函数的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N下方时，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)或者．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象法解决问题．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用图象法即可解决问题．
【详解】（1）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和．
∴把和代入，得
解得
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线与函数的图象的两个交点分别为和．

观察图象可知，满足条件的的值为：或者．
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