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2026年河南驻马店市上蔡县九年级第一次模拟
数学试卷
一、单选题
1．“神舟二十号”载人飞船入轨后，于北京时间2025年4月24日23时49分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时．若飞船对接前5秒记为秒，那么飞船对接后10秒应记为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
2．“扶危救困、乐善好施”是中华民族的优良传统．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．由河南博物院、安徽博物院与驻马店市博物馆联合主办的《蔡国六百年—蔡国历史文化专题展》，吸引了全国各地的观众前来参观．据统计，2023年7月至11月份，共有32000余人次游客参观．数据32000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式
B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件
C．一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6
D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确
6．如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，是上一点，且，连接，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限
B．图象与轴有一个交点
C．当时，随的增大而减小
D．如果点和点均在该函数的图象上，那么
9．如图，与相切，点为切点，连接交于点，点在上，连接，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．实验开始时，冰块的温度为
B．加热后，冰块开始熔化
C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到
D．冰块熔化过程持续了
二、填空题
11．写出一个使式子有意义的的值：______．
12．驻马店是全国知名的文化旅游城市，八年级学生小明和小亮的两个家庭均在2026年“清明”假期去爬山，并约定好于4月5号上午在“嵖岈山、老乐山、金顶山”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为________．
13．数学之美无处不在，如图是杨桃的横截面图，其形状呈“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，两点的坐标分别为，，则点的坐标为________．
14．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________．
15．矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________．
三、解答题
16．计算和化简：
(1)；
(2)．
17．2026年理化生考试前夕，学校为了解九年级学生的理化生实验情况，随机抽取1班、2班各20名同学进行调查，并将其笔试成绩（满分100分）和操作成绩（满分30分）进行整理．
①笔试成绩
成绩/分
等级 优秀 良好 及格 不及格
1班的20名学生的笔试成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．
2班的20名学生的笔试成绩在“良好”等级的数据是：81，82，84，87，88，89．
②操作成绩
成绩分
等级 优秀 良好 及格 不及格
1班和2班所抽取的学生的笔试成绩和操作成绩统计表
班级 笔试成绩平均数 笔试成绩中位数 笔试成绩众数 操作成绩平均数
1班 85 86 26.2
2班 85 79 25.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上面图表中________，________，________．
(2)根据以上信息，你认为1班和2班哪个班级的学生理化生实验的成绩更好？请说明理由．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元．
(1)分别求七巧板和数独棋的单价．
(2)若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？
20．如图，在中，，是三角形的角平分线．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）：
①作线段的垂直平分线，且与相交于点；
②以点为圆心，以长为半径作．
(2)在（1）的条件下，求证：是的切线．
(3)在（1）的条件下，若，，求的半径．
21．山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点，于点，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第（1）问结果保留整数，第（）问结果保留小数点后一位，参考数据：，，）
(1)求出山的高度；
(2)求出信号钢支架的高度．
22．已知关于的二次函数，且．
… 0 1 …
… 4 …
(1)若，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，求出下表中、的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
(3)在（2）的条件下，根据图象回答：当时，直接写出的最小值．
23．【定义阅读】
若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．

【定义理解】
（1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧，
①与的数量关系是_____；
②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____；
【性质操作】
（2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由；
【思维拓展】
（3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长．
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．D
5．C
6．B
7．A
8．D
9．C
10．C
11．2（答案不唯一）
12．
13．
14．
15．或6
16．（1）解：
；
（2）（2）
．
17．（1）解：1班20名学生的笔试成绩中86的频数最多，故众数，
，即，
2班“优秀”的人数为：（人），
将2班笔试成绩按从小到大排列，排在中间的两个数分别是，
∴中位数，
故答案为：86，40，87.5；
（2）答：两个班笔试成绩的平均数相同，1班操作成绩的平均数（分）高于2班（ 分），说明1班操作整体水平更高，因此1班理化生实验的整体成绩更好．
18．（1）解：将代入反比例函数可得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数得，
∴，
∴，
将，代入一次函数得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可得：不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形
∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或，
解得：或，即或，
当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：，
解得：，即，
综上所述，点的坐标为或或．
19．（1）解：设七巧板和数独棋的单价分别为元，元
根据题意得，
解得：，
答：七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元．
（2）解：设数独棋购买的数量为副，
根据题意得：，
解得，
的最大值为20．
答：数独棋最多能购买20副．
20．（1）解：如图所示，，圆为所求．
（2）证明：如图，连接，
，
．
是的平分线，
，
，
又，
，
．
又是圆的半径，
是的切线．
（3）解：根据题意，可知，
∴，
，
．
又，
，
故的半径为6．
21．（1）解：过点作于点，由于点，于点，如图所示：
则四边形为矩形，
∴，，
∵斜坡的坡度为，且米，
∴，
米，
答：山的高度为米；
（2）解：设米，
在中，，，
则，即，
∵，
∴，
在中，，则，
∴，
解得，
答：信号钢支架的高度约为米．
22．（1）解：，
∴，
∴当时，，
∴二次函数的解析式为，且顶点坐标为．
（2）解：由（1）得，
当时，，
当时，，
图象如图所示，
（3）解：由函数图象可知，当时，随的增大而减小，
当时，最小，最小值为．
23．解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧，
∴；
②点与点关于互为“和谐点”，且，
，
又点与点都在线段的垂直平分线上，
，，
∴，，
∴；
（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下：
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
又均为等腰三角形，其中，
点与点关于互为“和谐点”；
（3）∵四边形是矩形，，，
∴，，，
当点F在的延长线上时，如图，
∵点与点关于互为“和谐点”，
∴，，，
∴，
在中，，
∴；
当点F在的延长线上时，如图，
∵点与点关于互为“和谐点”，
∴，，，
∴，
在中，，
∴；
当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或．

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