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2026中考第二轮复习之方程（组）不等式（组）及其应用
方程与不等式是初中数学的核心，其应用贯穿整个代数领域，是山西中考必考内容之一，其核心就是转化与建模，将复杂问题转化为简单方程，将实际问题抽象为数学模型，通用四步：
审：审清题意，明确已知、未知，识别是方程还是不等式问题。
设：设未知数（直接设或间接设），注意单位。
列：寻找等量（方程）或不等量（不等式）关系，建立数学模型。
解与验：求解并检验（检验解是否符合方程/不等式，以及实际意义）
类型 特征与快招 关键步骤与技巧
一元一次方程 最基础，最终化为 ax = b的形式。 快招：移项合并，系数化1。注意符号和去分母（找最小公倍数）。
二元一次方程组 两个一次方程，求一对未知数。 快招选择：
代入法：当有一个未知数系数为 ±1时，最快捷。
加减法：当两方程中同一未知数系数相等或成倍数时，最快捷。
整体代入法：将 (2x+3y)等整体看作一个未知数，简化运算。
一元二次方程 含 x 项，最高次为2。 解法选择决策链：
1. 先看能否因式分解（十字相乘法最快）。
2. 再看是否为完全平方式，用开平方法。
3. 否则用公式法（万能，但需计算判别式 Δ=b -4ac）。
4. 配方法多在证明和求最值时用。
关键：Δ决定根的数量。
分式方程 分母含未知数。 快招：
① 去分母：方程两边同乘最简公分母。
② 必须检验：将解代入最简公分母，使分母为0的为增根，舍去。
方程组综合 含二次、分式等。 核心是消元降次，最终化为一元方程。常用代入消元法。
核心口诀：“一元一次是基础，二元一次消元解，一元二次先分解，分式方程检验必须做。”
类型 特征与快招 关键步骤与技巧
一元一次不等式 类比一元一次方程，注意不等号方向。 快招：移项合并，系数化1。
致命点：不等式两边同乘（或除）同一个负数时，不等号方向要改变。
一元一次不等式组 求几个不等式解集的公共部分。 快招：数轴确定法。
① 分别解出每个不等式。
② 将每个解集在同一条数轴上表示出来。
③ 找公共部分（重叠区域）即为解集。
口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）。”
解集表示：牢记 >和 <用空心圈，≥和 ≤用实心点
应用题的关键在于从文字中抽取等量/不等量关系。
问题类型 核心等量关系 快招与模型
行程问题 路程 = 速度 × 时间 画线段图！
相遇：S和 = S + S
追及：S差 = S快 - S慢
注意顺逆水：V顺 = V静 + V水， V逆 = V静 - V水
工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 常设总工作量为 “1”。
合作：效率和 = 效 + 效
工作总量 = 效率和 × 合作时间
利润问题 利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 / 进价 × 100%
售价 = 标价 × 折扣 分清进价、标价、售价、利润、利润率五个概念。
分配/配套问题 某部件总量：另一部件总量 = 配套比 设其中一个为 x，用配套比表示另一个的量，再根据总数量列方程。
增长率问题 基础量 × (1 + 增长率)^n = 增长后量 “a” 为基础量，“x” 为增长率（可正可负），“n” 为期数。
不等式应用题 寻找“不超过”、“至少”、“多于”等关键词 将关键词直接翻译为 ≤、≥、>等符号。注意结果常需取正整数解。
1．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
2．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
3．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．计算及问题解答
下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．解：方程两边同乘，得，……第一步，……第二步．……第三步检验：当时，．所以是分式方程的解……第四步
任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______．
任务二：请直接写出该分式方程的解．
5．解方程：．
6．解方程：．
7．学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元．
(1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套．
(2)该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？
8．山西运城十大特产之一万荣苹果酸甜可口，芳香味浓．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售万荣出产的甲、乙两种苹果，已知3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元．
(1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数的2倍，问该公司购买这些苹果至少需花费多少元
9．我市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者青睐．某电商平台销售精品包装的沁州黄小米，已知每盒小米的进价为30元．当售价定为每盒45元时，每月可售出1200盒．为提升销量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每月的销售量就增加100盒．电商平台把销售单价降低多少元时，每月所获利润为15400元．
10．2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？
11．维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等．
(1)求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克；
(2)某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克．
12．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．”小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．”小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
(2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？
1．（2025·山西·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
2．（2023·山西·中考真题）关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西·中考真题）解方程：．
4．（2025·山西·中考真题）解方程组：．
5．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
6．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
7．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
8．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
4．解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
6．方程的解是______．
7．不等式组的解集为___________．
8．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
9．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
10．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
11．某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
12．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
2026中考第二轮复习之方程（组）不等式（组）及其应用
方程与不等式是初中数学的核心，其应用贯穿整个代数领域，是山西中考必考内容之一，其核心就是转化与建模，将复杂问题转化为简单方程，将实际问题抽象为数学模型，通用四步：
审：审清题意，明确已知、未知，识别是方程还是不等式问题。
设：设未知数（直接设或间接设），注意单位。
列：寻找等量（方程）或不等量（不等式）关系，建立数学模型。
解与验：求解并检验（检验解是否符合方程/不等式，以及实际意义）
类型 特征与快招 关键步骤与技巧
一元一次方程 最基础，最终化为 ax = b的形式。 快招：移项合并，系数化1。注意符号和去分母（找最小公倍数）。
二元一次方程组 两个一次方程，求一对未知数。 快招选择：
代入法：当有一个未知数系数为 ±1时，最快捷。
加减法：当两方程中同一未知数系数相等或成倍数时，最快捷。
整体代入法：将 (2x+3y)等整体看作一个未知数，简化运算。
一元二次方程 含 x 项，最高次为2。 解法选择决策链：
1. 先看能否因式分解（十字相乘法最快）。
2. 再看是否为完全平方式，用开平方法。
3. 否则用公式法（万能，但需计算判别式 Δ=b -4ac）。
4. 配方法多在证明和求最值时用。
关键：Δ决定根的数量。
分式方程 分母含未知数。 快招：
① 去分母：方程两边同乘最简公分母。
② 必须检验：将解代入最简公分母，使分母为0的为增根，舍去。
方程组综合 含二次、分式等。 核心是消元降次，最终化为一元方程。常用代入消元法。
核心口诀：“一元一次是基础，二元一次消元解，一元二次先分解，分式方程检验必须做。”
类型 特征与快招 关键步骤与技巧
一元一次不等式 类比一元一次方程，注意不等号方向。 快招：移项合并，系数化1。
致命点：不等式两边同乘（或除）同一个负数时，不等号方向要改变。
一元一次不等式组 求几个不等式解集的公共部分。 快招：数轴确定法。
① 分别解出每个不等式。
② 将每个解集在同一条数轴上表示出来。
③ 找公共部分（重叠区域）即为解集。
口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）。”
解集表示：牢记 >和 <用空心圈，≥和 ≤用实心点
应用题的关键在于从文字中抽取等量/不等量关系。
问题类型 核心等量关系 快招与模型
行程问题 路程 = 速度 × 时间 画线段图！
相遇：S和 = S + S
追及：S差 = S快 - S慢
注意顺逆水：V顺 = V静 + V水， V逆 = V静 - V水
工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 常设总工作量为 “1”。
合作：效率和 = 效 + 效
工作总量 = 效率和 × 合作时间
利润问题 利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 / 进价 × 100%
售价 = 标价 × 折扣 分清进价、标价、售价、利润、利润率五个概念。
分配/配套问题 某部件总量：另一部件总量 = 配套比 设其中一个为 x，用配套比表示另一个的量，再根据总数量列方程。
增长率问题 基础量 × (1 + 增长率)^n = 增长后量 “a” 为基础量，“x” 为增长率（可正可负），“n” 为期数。
不等式应用题 寻找“不超过”、“至少”、“多于”等关键词 将关键词直接翻译为 ≤、≥、>等符号。注意结果常需取正整数解。
1．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程组运用加减法求解即可．
【详解】解：
得，，
解得，
把代入①得：，
解得，
所以，方程组的解为．
2．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】分别解出两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，
移项得，
两边同除以得，
解不等式，
移项得，
两边同乘得，
不等式组的解集为．
3．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可，注意不等式的两边同时除以一个负数时不等号的方向要改变．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
在数轴上表示为：
4．计算及问题解答
下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．解：方程两边同乘，得，……第一步，……第二步．……第三步检验：当时，．所以是分式方程的解……第四步
任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______．
任务二：请直接写出该分式方程的解．
【答案】
任务一：一，去分母时方程右边的1没有乘最简公分母；任务二：该分式方程的解为
【分析】
任务一：根据解分式方程的步骤进行解答即可；任务二：根据解分式方程的正确步骤解方程，即可得到答案．
【详解】
任务一：小明的解法从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时方程右边的1没有乘最简公分母．
任务二：．
解：方程两边同乘，得
,
,
检验：当时，．
所以是分式方程的解
5．解方程：．
【答案】，
【分析】解题的关键在一元二次方程的解法．
利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
，．
6．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程．
根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
7．学校科创社团采购两种实验器材：简易电路套件和智能传感器套件，简易电路套件每套元，智能传感器套件每套元．
(1)该社团首次采购两种套件共套，共花费元，求采购简易电路套件和智能传感器套件各多少套．
(2)该社团计划再次采购两种套件共套，若采购总经费不超过元，则智能传感器套件最多能采购多少套？
【答案】(1)采购简易电路套件套，智能传感器套件套
(2)套
【分析】（1）设采购简易电路套件套，智能传感器套件套，可列关于的一元一次方程，解方程即可求出结果；
（2）设智能传感器套件最多能采购套，根据采购总经费不超过元，列一元一次不等式即可求出结果．
【详解】（1）解：设采购简易电路套件套，智能传感器套件套，
根据题意可得：，
解得：，
（套），
答：采购简易电路套件套，智能传感器套件套；
（2）解：设智能传感器套件最多能采购套，
根据题意可得：，
解得：，
答：智能传感器套件最多能采购套．
8．山西运城十大特产之一万荣苹果酸甜可口，芳香味浓．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售万荣出产的甲、乙两种苹果，已知3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元．
(1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数的2倍，问该公司购买这些苹果至少需花费多少元
【答案】(1)甲种苹果每箱的售价为80元，乙种苹果每箱的售价为60元
(2)该公司购买这些苹果至少花费800元
【分析】（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元，元，根据3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为360元，5箱甲种苹果和4箱乙种苹果的售价之和为640元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设该公司需花费w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元，元．
根据题意得，解得，
答：甲种苹果每箱的售价为80元，乙种苹果每箱的售价为60元．
（2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，
根据题意得，，
解得，
设该公司需花费元，则．
，
随着的增大而增大，
当时，有最小值，．
答：该公司购买这些苹果至少花费800元．
9．我市沁州黄小米享有“天下米王”的美誉，富含蛋白质、矿物质与膳食纤维等营养物质，口感软糯香甜，养胃健脾，深受消费者青睐．某电商平台销售精品包装的沁州黄小米，已知每盒小米的进价为30元．当售价定为每盒45元时，每月可售出1200盒．为提升销量，平台开展促销活动，调研发现：售价每降低2元，每月的销售量就增加100盒．电商平台把销售单价降低多少元时，每月所获利润为15400元．
【答案】降低4元
【详解】解：设电商平台把销售单价降低x元，
根据题意得：，
解得：，（不符题意，舍去），
答：电商平台把销售单价降低4元，每月所获利润为15400元．
10．2026年，中国在海陆空多维交通与国防领域的“提速”成果密集落地，全国两会期间披露，CR450动车组正在进行提速攻坚实验，计划年内定型，该次列车采用永磁牵引、碳纤维轻量化等技术进行提速，北京至上海有望比原来减少1小时，已知京沪高铁全长1320千米，原来动车组的提速为330千米每小时，求提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快多少千米？
【答案】提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米．
【分析】设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米．根据北京至上海有望比原来减少1小时列出方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快千米．
经检验：是原方程的解
答：提速后新型动车组的速度比原来的动车组每小时快110千米．
11．维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等．
(1)求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克；
(2)某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克．
【答案】(1)每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克；
(2)该食堂最多购买苦瓜14千克．
【分析】（1）设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克，根据总费用不超过108元，结合单价列出一元一次不等式，求解得到m的最大值，即最多可购买的苦瓜重量．
【详解】（1）解：设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据题意，得
解，得
答：每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克；
（2）解：设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克．
根据题意，得．
解，得．
答：该食堂最多购买苦瓜14千克．
12．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．
王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．”小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．”小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；
(2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？
【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人
(2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，
（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人．
根据题意得，
解得．
答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人．
（2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元．
根据题意得，
解得，
．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最小值，
∴．
答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少．
1．（2025·山西·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得：；
解不等式 ，得：，
∴不等式组的解集为：；
故选C．
2．（2023·山西·中考真题）关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．
常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．（2023·山西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
4．（2025·山西·中考真题）解方程组：．
【答案】．
【分析】利用加减消元法解方程组．
【详解】
解：．
①＋②，得，
∴．
将代入②，得，
∴．
所以原方程组的解为，
【点睛】本题考查了解二元一次方程组熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
6．（2024·山西·中考真题）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．已知从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多克．从吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克，
根据题意得：，
解得：，
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．
7．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
8．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
(2)6套
【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可．
【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
（2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程．
【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则．
2．某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方．
【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x，
∴ 一年后数量为，两年后数量为，
∴ 可列方程：，
故选：B．
3．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（ ）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键．
由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字．
【详解】解：∵设第一次购买了个魔方，
∴方程中表示第二次购买魔方的数量，
∴第二次比第一次少买了 10 个；
∵单价总价数量，
∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价，
又 ∵所列方程为，
∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，
∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个．
故选：D．
4．解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
5．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
6．方程的解是______．
【答案】
【分析】方程两边都乘以化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得出方程的解．
【详解】方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
所以分式方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
7．不等式组的解集为___________．
【答案】
【分析】分别解两个不等式，再取两个解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法步骤与方法是解本题的关键．
8．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
9．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元
(2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可；
（2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，
解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（万元），
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
10．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元
(2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：
（1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可；
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
11．某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品
(2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解；
（2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（件），
答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品
（2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，
由题意得：，
解得：，
设生产总量为，由题意得：
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，最大，即这30天的生产总量最大，
∴，
∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天．
12．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
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