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江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（　　）
A． B． C．3 D．
5．若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（　　）
A． B． C． D．
7．已知正八边形的边长为2，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．
9．已知，是复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（　　）
A．当时，在上的投影向量为
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最大值为0
11．在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（　　）
A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得
C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．
12．在中，为的中点，为的中点．若，则的值为　 　．
13．若是第一象限角，且，则的值为　 　．
14．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设为实数，已知复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）若为实数，且与复数相等，求的值．
16．在中，已知，，和的夹角为，且．
（1）若为的中点，求．
（2）已知，若，求实数的值．
17．已知向量，，函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，，求的值．
18．在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）若，求；
（2）求的取值范围；
（3）设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
19．正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数，，．
（1）求的值；
（2）设函数，求的值域；
（3）本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数的零点个数，并说明理由；
②判断函数的零点个数，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
【分析】根据向量共线定理（如果向量，那么存在唯一实数，使得向量，这是向量与共线的充要条件），就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理，以及诱导公式、两角和的正切公式化解求即可.
4．【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
.
故答案为：C.
【分析】利用余弦定理求得，再根据三角形面积公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角和、差的正弦公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：C.
【分析】利用两角差的余弦公式化简求值即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
由正八边形的特征易知，
，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正八边形的特征可知，利用向量数量积的定义求值即可.
8．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过向作垂线，垂足为，如图所示：
设，在中，易知，在中，易知，
在中，可知，
因为，所以，即，
则．
故答案为：A.
【分析】过向作垂线，垂足为，设，用分别表示，，，再根据求的值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，
A、，，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、，，满足，显然不成立， 故C错误；
D、，则，即，，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】设复数，求得共轭复数，根据复数代数形式的减法运算求解即可判断A；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数的模即可判断B；取特殊值即可判断C；根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的概念求解即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形，
因为，与夹角为，所以，
A、当时，，因为，所以，
故在上投影向量为，故A错误；
B、当时，，根据向量的平行四边形法则可知P在的中线上，
又因为是等边三角形，所以，则，故B正确；
C、 由平方可得，即，
则，又，所以，
则，
又，令，
则，
因为，所以，即时，取得最小值，
则的最小值为2，故C正确；
D、
，
因为，所以，要求此式子最大，即求最小，
由，得，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形，利用向量的数量积求，由已知可得，根据投影向量求解即可判断A；由已知可知P在的中线上，结合即可判断B；由平方可得，又，利用三角换元可求得的最小值，即可判断C；由，可得，再由可得，即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，，，且，，
由于边c最长，所以需满足，即，解得，故A正确；B错误；
由，得，即，即，
因此有，即，所以，
代入本题数据有，解得，故C正确；
由，得，即，
即，即，
即，即，
化简有，整理得，又，，
即，由求根公式可得：，无解，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】设，，，要使，需要满足，求得，即可判断AB；由，得，利用正弦的二倍角公式，结合正弦、余弦定理化简求得，即可判断C；由，得，即，利用倍角公式及余弦定理化简求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为在中，为的中点，为的中点，
所以，，所以，
又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】根据平面向量线性运算，以及平面向量的基本定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，是第一象限角，可得，
则.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦、余弦的二倍角公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形
【解析】【解答】解：
设，，则，
因为与的夹角为，所以，
由正弦定理，可得，
，
当时，取得最大值，则的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，根据向量的运算表示，利用正弦定理求得，再根据新定义，结合二倍角公式，正弦型函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：复数在复平面内对应的点为，
由题意可得，解得，
则的取值范围是；
（2）解：由，可得，即，
即，解得或．
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）先求复数在复平面内对应的点，再根据点位于第一象限，列不等式组求解即可；
（2）根据复数相等列式求解即可.
（1）由对应的点在第一象限得，解得，
所以的取值范围是；
（2）由得，即，
所以，解得或．
16．【答案】（1）解：由，，和的夹角为，且，可得
因为为的中点，所以，
则；
（2）解：因为，
所以，
即，
代入已知条件有，解得.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算先求，由为的中点，可得，再根据向量数量积的运算律及定义计算即可；
（2）以、为基向量表示，再根据向量数量积的运算律计算即可.
（1）因为，，和的夹角为，且，
所以
因为为的中点，所以，
所以；
（2）因为
，
所以，
即有，
代入已知条件有，解得．
17．【答案】（1）解：
，
由，得，
则当，即时，取最小值；
（2）解：由，得，
又因为，，所以，即，
所以，
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简，再根据正弦型函数的性质求最值即可；
（2）由，得，再根据以及，缩小的范围，进而求出，最后变形，最后利用两角和差的余弦公式求解即可.
（1）由题意可得，
由，得，
所以当，即时，取最小值；
（2）因，得，
又，得，
所以，即，
所以，
因此
.
18．【答案】（1）解：在中，，
由和差化积公式得，
在中，，则，
因为，所以，所以，
所以或（舍去），所以，
若，则，即；
（2）解：由（1）知，
在中，所以，即，则，
由正弦定理，
即的取值范围为；
（3）解：由（1）知，又，
则，，
在中，由正弦定理得，
则
，
又因为，所以，
即.
【知识点】二倍角的正弦公式；和差化积公式；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用和差化积公式，以及三角形内角和定理化简可得，得，再由，可得，即可求出的值；
（2）由（1）知，在中，求得，即可得的范围，再利用正弦定理将转化为求取值范围即可；
（3）由（1）知，利用已知条件，结合正弦定理，三角形的面积公式化简求的值即可．
（1）因为在中，，
由和差化积公式得，
又在中，，则，
因为，所以，
则，
所以或（舍去），所以，
已知，所以，则.
（2）由（1）知，
在三角形中，所以，即，
则，
所以，由正弦定理，
即的取值范围为.
（3）由（1）知，又，
则，，
在中，由正弦定理得，，
所以
又，
所以.
即.
19．【答案】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，，
，
，
令，则，即，值域为；
（3）解：选①、，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得，
，
由得，即，
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点，
选②、，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得，
，
由得，即，
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正弦的两角和差公式化简求值即可；
（2）由题意可得，，根据两角和的正弦公式以及二倍角公式，整理函数解析式，再利用换元，结合三角函数与二次函数的性质求解即可；
（3）选①、，可得函数的周期性，利用和差化积公式，可得函数值与零的大小关系，确定函数的零点个数；
选②、，可得函数的周期性，再利用和差化积公式，可得函数值与零的大小关系，确定函数的零点个数.
（1）由题意可，
.
（2）由题意可得，，
，
，
令，则，即，值域为.
（3）选①
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得
由得，即
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
选②
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得
由得，即
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
1 / 1江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
【分析】根据向量共线定理（如果向量，那么存在唯一实数，使得向量，这是向量与共线的充要条件），就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
2．已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求解即可.
3．在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理，以及诱导公式、两角和的正切公式化解求即可.
4．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，可得，
则，
.
故答案为：C.
【分析】利用余弦定理求得，再根据三角形面积公式求解即可.
5．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角和、差的正弦公式求解即可.
6．（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：C.
【分析】利用两角差的余弦公式化简求值即可.
7．已知正八边形的边长为2，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
由正八边形的特征易知，
，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正八边形的特征可知，利用向量数量积的定义求值即可.
8．如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过向作垂线，垂足为，如图所示：
设，在中，易知，在中，易知，
在中，可知，
因为，所以，即，
则．
故答案为：A.
【分析】过向作垂线，垂足为，设，用分别表示，，，再根据求的值即可.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．
9．已知，是复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，
A、，，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、，，满足，显然不成立， 故C错误；
D、，则，即，，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】设复数，求得共轭复数，根据复数代数形式的减法运算求解即可判断A；根据复数代数形式的乘法运算，结合复数的模即可判断B；取特殊值即可判断C；根据复数代数形式的乘除运算，结合复数的概念求解即可判断D.
10．已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（　　）
A．当时，在上的投影向量为
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最大值为0
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形，
因为，与夹角为，所以，
A、当时，，因为，所以，
故在上投影向量为，故A错误；
B、当时，，根据向量的平行四边形法则可知P在的中线上，
又因为是等边三角形，所以，则，故B正确；
C、 由平方可得，即，
则，又，所以，
则，
又，令，
则，
因为，所以，即时，取得最小值，
则的最小值为2，故C正确；
D、
，
因为，所以，要求此式子最大，即求最小，
由，得，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形，利用向量的数量积求，由已知可得，根据投影向量求解即可判断A；由已知可知P在的中线上，结合即可判断B；由平方可得，又，利用三角换元可求得的最小值，即可判断C；由，可得，再由可得，即可判断D.
11．在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（　　）
A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得
C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，，，且，，
由于边c最长，所以需满足，即，解得，故A正确；B错误；
由，得，即，即，
因此有，即，所以，
代入本题数据有，解得，故C正确；
由，得，即，
即，即，
即，即，
化简有，整理得，又，，
即，由求根公式可得：，无解，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】设，，，要使，需要满足，求得，即可判断AB；由，得，利用正弦的二倍角公式，结合正弦、余弦定理化简求得，即可判断C；由，得，即，利用倍角公式及余弦定理化简求解即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．
12．在中，为的中点，为的中点．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为在中，为的中点，为的中点，
所以，，所以，
又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】根据平面向量线性运算，以及平面向量的基本定理求解即可.
13．若是第一象限角，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，是第一象限角，可得，
则.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦、余弦的二倍角公式求解即可.
14．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形
【解析】【解答】解：
设，，则，
因为与的夹角为，所以，
由正弦定理，可得，
，
当时，取得最大值，则的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，根据向量的运算表示，利用正弦定理求得，再根据新定义，结合二倍角公式，正弦型函数的性质求解即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设为实数，已知复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）若为实数，且与复数相等，求的值．
【答案】（1）解：复数在复平面内对应的点为，
由题意可得，解得，
则的取值范围是；
（2）解：由，可得，即，
即，解得或．
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）先求复数在复平面内对应的点，再根据点位于第一象限，列不等式组求解即可；
（2）根据复数相等列式求解即可.
（1）由对应的点在第一象限得，解得，
所以的取值范围是；
（2）由得，即，
所以，解得或．
16．在中，已知，，和的夹角为，且．
（1）若为的中点，求．
（2）已知，若，求实数的值．
【答案】（1）解：由，，和的夹角为，且，可得
因为为的中点，所以，
则；
（2）解：因为，
所以，
即，
代入已知条件有，解得.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算先求，由为的中点，可得，再根据向量数量积的运算律及定义计算即可；
（2）以、为基向量表示，再根据向量数量积的运算律计算即可.
（1）因为，，和的夹角为，且，
所以
因为为的中点，所以，
所以；
（2）因为
，
所以，
即有，
代入已知条件有，解得．
17．已知向量，，函数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：
，
由，得，
则当，即时，取最小值；
（2）解：由，得，
又因为，，所以，即，
所以，
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简，再根据正弦型函数的性质求最值即可；
（2）由，得，再根据以及，缩小的范围，进而求出，最后变形，最后利用两角和差的余弦公式求解即可.
（1）由题意可得，
由，得，
所以当，即时，取最小值；
（2）因，得，
又，得，
所以，即，
所以，
因此
.
18．在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）若，求；
（2）求的取值范围；
（3）设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
【答案】（1）解：在中，，
由和差化积公式得，
在中，，则，
因为，所以，所以，
所以或（舍去），所以，
若，则，即；
（2）解：由（1）知，
在中，所以，即，则，
由正弦定理，
即的取值范围为；
（3）解：由（1）知，又，
则，，
在中，由正弦定理得，
则
，
又因为，所以，
即.
【知识点】二倍角的正弦公式；和差化积公式；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用和差化积公式，以及三角形内角和定理化简可得，得，再由，可得，即可求出的值；
（2）由（1）知，在中，求得，即可得的范围，再利用正弦定理将转化为求取值范围即可；
（3）由（1）知，利用已知条件，结合正弦定理，三角形的面积公式化简求的值即可．
（1）因为在中，，
由和差化积公式得，
又在中，，则，
因为，所以，
则，
所以或（舍去），所以，
已知，所以，则.
（2）由（1）知，
在三角形中，所以，即，
则，
所以，由正弦定理，
即的取值范围为.
（3）由（1）知，又，
则，，
在中，由正弦定理得，，
所以
又，
所以.
即.
19．正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数，，．
（1）求的值；
（2）设函数，求的值域；
（3）本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数的零点个数，并说明理由；
②判断函数的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，，
，
，
令，则，即，值域为；
（3）解：选①、，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得，
，
由得，即，
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点，
选②、，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得，
，
由得，即，
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正弦的两角和差公式化简求值即可；
（2）由题意可得，，根据两角和的正弦公式以及二倍角公式，整理函数解析式，再利用换元，结合三角函数与二次函数的性质求解即可；
（3）选①、，可得函数的周期性，利用和差化积公式，可得函数值与零的大小关系，确定函数的零点个数；
选②、，可得函数的周期性，再利用和差化积公式，可得函数值与零的大小关系，确定函数的零点个数.
（1）由题意可，
.
（2）由题意可得，，
，
，
令，则，即，值域为.
（3）选①
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得
由得，即
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
选②
，
故只要关注时的零点个数，
根据和差化积公式可得
由得，即
故时恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点．
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