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2025-2026 学年度第二学期高一期中考数学预测卷（三）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数 ，则 （ ）A．2 B． C．4 D．5
2．已知向量 ．若 ，则实数 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．△ABC 中，角 A、B、C 所对边为 a、b、c,且 ,若 ,则△ABC 的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4.已知 a，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )
A．若 a⊥α，b⊥β，α∥β，则 a∥b B．若 a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若α∩β＝a，a∥b，则 b∥α或 b∥β D．若 a⊥α，a⊥b，α∥β，则 b∥β
5．将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则
的最小值是（ ）A． B． C． D．
6．如图，一个水平放置的平面图形的直观图 是边长为 2 的菱形，且 ，则原平面图形的周
长为（ ）A． B． C． D．8
7.2022 年 4 月 16 日 9 时 56 分，神舟 1 三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟 1 三号载人飞
行任务取得圆满成功，中国航天又站在了一个新的起点.已知火箭的最大速度 （单位： ）与燃料质
量 （单位： ） 火箭质量 （单位： ）的函数关系为 ，当火箭的质量为 ，
最大速度为 。若保持火箭质量不变，为使最大速度达到 ，则需要再加注的燃料质量约为（
）（参考数据： ）
A. B. C. D.
8．设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 ,则三棱锥
体积的最大值为（ ） A． B． C． D．
二、多选题
9．设正实数 m、n 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为 3 B． 的最大值为 1
C． 的最小值为 2 D． 的最小值为 2
10. 下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减 有（ ）
A. B. C. D.
11.给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）
A．函数 的最大值为
B．已知函数 ( 且 )在 上是减函数,则实数 a 的范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
D．定义在 R 上的奇函数 在 内有 1010 个零点,则函数 零点个数为 2021
三、填空题
12．已知 是 上的减函数，则实数 的取值范围为______．
13．在 中，已知 ，记 外接圆的圆心为 ，则 ____．
14．正方体 的棱长为 4， 分别为 、 的中点，则平面 截正方体所得的截面
面积为____________.
四、解答题
15.（13 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且→＝λ→，
→·→＝－32
（1）求实数λ的值；
（2）若 M，N 是线段 BC 上的动点，且|→|＝1，求→·→的最小值。
16．（15 分）已知函数 f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.
(1)将函数 f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)的解析式;
(2)已知 a,b,c 分别为△ABC 中角 A,B,C 的对边,且满足 f(A)= +1,A∈ ,a=2 ,b=2,
求△ABC 的面积.
17.（15 分）在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 为 边上的中线，且 ，求 b+2c 的最大值.
18．（17 分）将棱长为 的正方体 截去三棱锥 后得到如图所示几何体， 为
的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求图中几何体的体积．
19.（17 分）已知二次函数 满足：对任意实数 x，都有 ， 且
当 时，有 成立.
(1)证明： ；
(2)设 ， ，若 图象上的点都位于直线 的上方，
求实数 m 的取值范围.
2025-2026 学年度第二学期高一期中考数学预测卷（三）参考答案
1-5BACDC 6-8BBB 9. ABD
10.BD【详解】对于 A，因函数 在 上单调递减，故 在区间 上单调递增，
故 A 错误；对于 B，函数 的最小正周期为 ，且在 上单调递减，故 B 正确；
对于 C，函数 的最小正周期为 ，故 C 错误；对于 D，因函数 的最小正周期为 ，
则函数 的最小正周期为 ，当 时， ，函数 在 上单调
递减且函数值为正，故函数 在 上单调递减，即 D 正确.
11.AB 12． 13．6 14．18
8.点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点，当 DM 过 O 时，三棱锥 体积最大，此时，
, 点 M 为三角形 ABC 的中心
中，有
11.A、函数 中，若令 ，即有 ，故 A 错误；
B、函数 在 上是减函数，知： ，即有 ，故 B 错误；
C、函数 与 互为反函数，图象关于直线 对称，故 C 正确；
D、定义在 R 上的奇函数 在 内有 1010 个零点，由函数的对称性可知 在 内有 1010
个零点，即函数 的零点个数为 2021，故 D 正确；故选：AB
13.OE,OF 为中垂线∴ ， ∴
.故答案为：6.
14.解：如图，把截面 补形为四边形 ，连接 ，由正方体可得 ，
可得等腰梯形 为平面 截正方体所得的截面图形，
由正方体 的棱长为 4，得 ， ，
，则 到 的距离即等腰梯形 的高为 ，
所求截面的面积为 .
15.解（1）因为→＝λ→，所以 AD∥BC，则∠BAD＝120°
所以→·→＝|→|·|→|·cos 120°＝－32，解得|→|＝1. 3 分
因为→，→同向，且 BC＝6，所以→＝16→，即λ＝16. 5 分
（2）四边形 ABCD 中，作 AO⊥BC 于点 O，则 BO＝AB·cos 60°＝32，AO＝AB·sin 60°＝3)2.
以 O 为坐标原点，以 BC 和 AO 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系.
如图，设 M(a，0)，不妨设点 N 在点 M 右侧，
则 N(a＋1，0)，且－32≤a≤72.又 D\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(3)2))，所以→＝\
a\vs4\al\co1(a－1，－\f(3\r(3)2))，
→ → →
＝\a\vs4\al\co1(a，－\f(3\r(3)2))，所以 · ＝a2－a＋274＝\a\vs4\al\co1(a－\
f(12))2＋132.
所以当 a＝12 时，→·→取得最小值 132. 13 分
16.解：(1) f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x =cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,
所以 f(2x)=1+2sin2x. 4 分
因为函数 f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象,
所以 g(x)=2sin +1 7 分
(2) 因为 f(A)= +1,所以 sin A= 9 分
因为 A∈ ,所以 cos A= . 11 分
又 cos A= ,a=2 ,b=2,所以 c=4. 13 分
所以△ABC 面积 S△ABC= bcsin A=2 . 15 分
17.（1）解：由正弦定理得 ，又 ， 2 分
所以 ，所以 ，即 . 4 分
因为 ， ，所以 ，即 . 7 分
（2）由余弦定理得 ，即 ， 9 分
所以 ，即 . 所以 ， 14 分
所以 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 的最大值为 8 17 分
18（1）取 中点为 ,连接 、 、 ． 为 的中点， 为 的中点．
且 ， 四边形 为平行四边形， 且 ，
、 分别为 、 的中点， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形， 且 ，
且 ， 且 ，所以，四边形 为平行四边形， 且
， 为 的中点, 且 ,则四边形 为平行四边形, ，又
平面 , 平面 ,因此， 平面 10 分
（2）∵正方体的棱长为 ， ， ．
. 17 分
19 解：（1）由 知： 恒成立． 2 分
又因 x＝2 时， 恒成立，∴ 4 分
（2） 由（1）知 ，而 ，联立解得： ，
即 ，则 ， 7 分
若二次函数 值永远不小于 0，则
即 ，解得 ， ，则 ， 9 分
因为 ，函数 图象上的点位于直线 的上方，则 ， 恒成立，所
以 ，所以 ，即 ， 11 分
当 时， 成立，此时 ，因此 ， ，所以 ，当
时， ，当且仅当 ，即 时取“=”， 15 分
从而有 ，综合得： ，所以实数 m 的取值范围是 . 17 分

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