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2025-2026学年高二年级第一次月考数学试卷
一、单选题
1．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
2．设，则（ ）
A．1 B．2 C．31 D．32
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．15 B．45 C．60 D．90
4．设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为（ ）
A．960 B．980 C．1060 D．1260
6．用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（ ）
A．14 B．26 C．38 D．48
7．我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下面命题中不正确的是（ ）
A．两个共轭复数的差是纯虚数． B．若，则．
C．若，，且，则． D．若，则．
10．箱中共有包装相同的件正品和件赝品，从中不放回地依次抽取件，用表示“第一次取到正品”，用表示“第二次取到正品”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
三、填空题
12．的展开式中常数项为__________．
13．设随机事件、，已知，，，则_____________．
14．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵（部分行如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于______．（用一个组合数作答）杨辉三角展示内容：
－第0行：1
－第1行：1 1
－第2行：1 2 1
－第3行：1 3 3 1
－第4行：1 4 6 4 1
－第5行：1 5 10 10 5 1
四、解答题
15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球．
(1)求在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率；
(2)求乙罐中取出红球的概率．
16．已知的展开式中所有项的系数之和为729.
(1)求；
(2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示）
(3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示）
17．为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访．
(1)每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？
(2)如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？
(3)若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？
18．甲 乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
(1)求第2局比赛甲胜的概率；
(2)在的条件下，求甲胜的概率；
(3)求比赛结束时甲胜的概率．
19．某电商平台销售一款智能手表，已知该手表分为“标准版”和“旗舰版”两个型号，平台销售数量中标准版占比，旗舰版占比．根据历史数据：一是标准版手表的好评率为（好评定义为评分4星及以上），且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．二是旗舰版手表的好评率为，且好评用户中后续申请售后维权的概率为；非好评用户中申请售后维权的概率为．
(1)随机抽取一位购买该手表的用户，求其给出好评的概率；
(2)随机抽取一位购买该手表的用户，若其申请了售后维权，求该用户购买的是标准版手表的概率；（结果用分数表示）
(3)平台计划对“无售后维权的好评用户”发放优惠券，求随机抽取一位用户，其符合优惠券发放条件的概率．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．A
5．A
6．C
7．C
8．B
9．ABCD
10．ACD
11．BD
12．29
13．
14．
15（1）设“甲罐中取出黑球”为事件，乙罐中取出红球为事件，
∴由题意得，
∴在甲罐中取出黑球的条件下，乙罐中取出红球的概率为.
（2）设“甲罐中取出红球”为事件，“甲罐中取出白球”为事件，
由题意可知事件两两互质，
∴.
∴乙罐中取出红球的概率.
16（1）令，得，得.
（2）的展开式的通项.
设第项的系数最大，
则整理得
解得，则，
所以展开式中各项系数的最大值为.
（3）中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，
所以的系数为.
17．（1）每位老师都只安排到一个住宅小区，
则每位老师都有种安排方法，
所以不同的安排方法有种；
（2）先将人分成人数为或的三组，
再将分好的三组安排到三个小区，
则不同的安排方法有种；
（3）分两种情况，
第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，
再将其余四人分成人数为的三组安排到B，C，D三个小区，
则不同的安排方法为种；
第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，
再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种，
所以不同的安排方法种数为种.
18．（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜，
由全概率公式得．
（2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜：
乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为，
甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为，
，
甲胜的概率为．
（3）时，甲胜的概率为；
时，甲胜的概率为；
时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为；
时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”，
概率为，
甲胜的概率为．
19．（1）解定义事件：用户购买的是标准版手表，，
：用户购买的是旗舰版手表，，
：用户给出好评，：用户给出非好评，，
：用户申请售后维权，：用户未申请售后维权，
随机用户给出好评的概率
；
（2）售后维权分“好评后维权”和“非好评后维权”，需结合型号拆分：
；
所以；
所以该用户购买的是标准版手表的概率；
（3），
得．
所以符合优惠券发放条件的概率是0.774．

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