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2026年中考第二轮专题复习之解直角三角形
解直角三角形的应用题是中考的高频考点，此类题型以生活实例为载体，其核心思路就是“把实际问题翻译成纯数学的直角三角形，然后调用三角比、勾股定理这些工具来解”，整个解题过程可拆解成几个不可颠倒的关键步骤，及“建模 -> 选关系 -> 列方程 -> 求解”。
读题时，用笔将题目中的仰角、俯角、坡度、方向角等关键词圈出来，并在草稿纸上画出对应的直角三角形模型。
仰角/俯角：视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。它们一定是与水平线所夹的角。
坡度（坡比）：通常表示为 i = 1：m或 i = h：l， 即：垂直高度(h)：水平宽度(l)。坡角α满足 tanα = 。
方向角：以正北或正南为基准，偏向东或西。如“北偏东30°”。
快招口诀：见角画水平，见比想两边。
在画出的直角三角形上，清晰地标出：
所有已知的边和角（用数字）。
所有未知的边和角（用字母x, y等表示）。
设未知数时，优先设所求量为x，或设与多个三角形都相关的公共边为x。
快招口诀：数形对应，一目了然。
根据图中标注，寻找边角关系。这是解题的“武器库”：
三角比（最常用）：
sin A = 对边/斜边
cos A = 邻边/斜边
tan A = 对边/邻边
口诀：有斜边用正余弦，无斜边用正切。
勾股定理：已知两边求第三边。
“双直角三角形”模型（高频考点！）：
当一个问题中出现两个有公共边的直角三角形时（如测量楼高，分别在两处观测），这是经典模型。
解法：设公共边（如楼高）为x，分别在两个三角形中用正切表示出x关联的两条水平边，再利用两条水平边之间的长度关系（和或差）列方程。
快招口诀：多图关联设公共，正切搭桥建方程。
解方程，求出答案。
务必检查：结果是否符合实际意义（如楼高不会是负数），题目要求精确到几位小数。
注意单位：题目中的单位是否统一（米/千米），答案是否需要单位换算。
1．如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（）为α，C处的俯角（）为，其中P，D，Q在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为.已知桥梁的总长度为.
(1)求此时无人机所在位置D离地面的距离（结果保留根号）；
(2)A处的小汽车到桥梁入口B的距离的长（结果保留根号）.
参考数据：，，.
2．黄河楼是滨州的文化地标之一.综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量黄河楼的高度”.某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量.具体操作过程是：在黄河楼底部正前方的平地上选取相距34米的A、B两个观测点.在A点测得黄河楼顶部D的仰角为，在B点测得黄河楼顶部D的仰角为.根据情境抽象出几何图形并求黄河楼的高度（结果精确到1米，）.
3．楼宇间无人机精准配送、城市间低空出行场景加速落地、田间植保无人机高效作业……如今，低空经济早已不是电影中的科幻场景，而是实实在在地走入了人们的生产生活.小明发现学校的无人机社团正在训练，如图，他站在教学楼上的点C处测得无人机（点E）的仰角为，同时小亮站在操场上的点B处利用测角仪测得无人机（点E）的仰角为，经测量得知测角仪到地面的距离为1.6米（米），点B到教学楼底部点D的距离为30米（米），小明得知教学楼上的点C距离地面19.6米（米），所有点都在同一平面内，，，则此时无人机的飞行高度为多少米？（参考数据：，，，，，）
4．在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度h与其水平投影长度d的比值，即坡度.
(1)一个坡道的水平投影长度d为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度h为________m.
(2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，B，C，D三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在D处竖直向上放飞无人机，无人机在E处测得坡顶A的俯角为，坡底C的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度.（参考数据：）
5．2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为.已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计.
(1)求攀登难点N的高度（即的长）；
(2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）.
6．江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥.某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案：
课题 测量桥塔顶到江面的距离
实物图
测量工具 卷尺、测角仪…
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端A，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点D，点D处有一高为2m的观测台C，在观测台顶端C处测得桥塔顶端A的仰角为
测量说明 点F、D、B在同一水平直线上，且、均垂直于
参考数据 ，，
… …
请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离.(结果精确到0.1m)
7．如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点A到地面的距离为.红红站在离房子的底端E前方30米的点F处，眼睛G距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖A，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为.红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚H到塔尖的仰角为.
(1)若米，则__________米，____________米（用含a的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度.（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
8．如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是.若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树的高度.（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）

9．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数；参考数据：，，）
10．如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡.
(1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
(2)一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度.（结果保留根号）
11．如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处
时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受冷空气影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；（结果精确到0.01）
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.
（参考数据：，，，，，）
12．如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.参考数据：,,.
1．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）.
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）.
参考数据：，.
2．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图②所示，已知，，该地冬至正午太阳高度角α为.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：，，.结果保留小数点后一位）
3．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为.求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）.（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
4．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为.已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且.求河宽.（参考数据：，，，，，）
5．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，.（参考数据：，，，，，，结果精确到1米）
(1)求直吊臂的长；
(2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？
1．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处；②测量D，B两点间的距离；③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角；④测量C到地面的高度. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处；②测量E，B两点间的距离；③在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；④测量E，D两点间的距离；⑤测量C到地面的高度.
测量数据 ①；②；③. ①；②；③.
备注 ①图上所有点均在同一平面内；②，均与地面垂直；③参考数据：. ①图上所有点均在同一平面内：②，均与地面垂直；③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得.
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度.
2．五一期间,数学兴趣小组的几位同学到公园游玩,看到公园内宝塔耸立,几人想用所学知识测量宝塔的高度.为此,他们在距离宝塔中心18m处（）的一个斜坡CD上进行测量.如图,已知斜坡CD的坡度为,斜坡CD长12m,在点D处竖直放置测角仪DE,测得宝塔顶部B的仰角为,量得测角仪DE的高为1.5m,点A、B、C、D、E在同一平面内.
(1)求点D距地面的高度；
(2)求宝塔AB的高度.（结果精确到0.1,参考数据；,,,）
3．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米.参考数据：，，，，，）.
4．在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道.我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白.如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上.（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）

(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？
(2)试求海底山丘的坡度是多少？
2026年中考第二轮专题复习之解直角三角形
解直角三角形的应用题是中考的高频考点，此类题型以生活实例为载体，其核心思路就是“把实际问题翻译成纯数学的直角三角形，然后调用三角比、勾股定理这些工具来解”，整个解题过程可拆解成几个不可颠倒的关键步骤，及“建模 -> 选关系 -> 列方程 -> 求解”。
读题时，用笔将题目中的仰角、俯角、坡度、方向角等关键词圈出来，并在草稿纸上画出对应的直角三角形模型。
仰角/俯角：视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。它们一定是与水平线所夹的角。
坡度（坡比）：通常表示为 i = 1：m或 i = h：l， 即：垂直高度(h)：水平宽度(l)。坡角α满足 tanα = 。
方向角：以正北或正南为基准，偏向东或西。如“北偏东30°”。
快招口诀：见角画水平，见比想两边。
在画出的直角三角形上，清晰地标出：
所有已知的边和角（用数字）。
所有未知的边和角（用字母x, y等表示）。
设未知数时，优先设所求量为x，或设与多个三角形都相关的公共边为x。
快招口诀：数形对应，一目了然。
根据图中标注，寻找边角关系。这是解题的“武器库”：
三角比（最常用）：
sin A = 对边/斜边
cos A = 邻边/斜边
tan A = 对边/邻边
口诀：有斜边用正余弦，无斜边用正切。
勾股定理：已知两边求第三边。
“双直角三角形”模型（高频考点！）：
当一个问题中出现两个有公共边的直角三角形时（如测量楼高，分别在两处观测），这是经典模型。
解法：设公共边（如楼高）为x，分别在两个三角形中用正切表示出x关联的两条水平边，再利用两条水平边之间的长度关系（和或差）列方程。
快招口诀：多图关联设公共，正切搭桥建方程。
解方程，求出答案。
务必检查：结果是否符合实际意义（如楼高不会是负数），题目要求精确到几位小数。
注意单位：题目中的单位是否统一（米/千米），答案是否需要单位换算。
1．如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，A处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到D处时，测得A处的俯角（）为α，C处的俯角（）为，其中P，D，Q在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口B处测得无人机D的仰角为.已知桥梁的总长度为.
(1)求此时无人机所在位置D离地面的距离（结果保留根号）；
(2)A处的小汽车到桥梁入口B的距离的长（结果保留根号）.
参考数据：，，.
答案：(1)
(2)
解析：(1)过点D作，设
，
在中，
在中，
，
解得，
；
(2)
∵在中，
，
∴.
2．黄河楼是滨州的文化地标之一.综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量黄河楼的高度”.某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量.具体操作过程是：在黄河楼底部正前方的平地上选取相距34米的A、B两个观测点.在A点测得黄河楼顶部D的仰角为，在B点测得黄河楼顶部D的仰角为.根据情境抽象出几何图形并求黄河楼的高度（结果精确到1米，）.
答案：83米
解析：如图，
由题意得，，，，米，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴（米），
∴，
∴，
解得.
∴黄河楼的高度为83米.
3．楼宇间无人机精准配送、城市间低空出行场景加速落地、田间植保无人机高效作业……如今，低空经济早已不是电影中的科幻场景，而是实实在在地走入了人们的生产生活.小明发现学校的无人机社团正在训练，如图，他站在教学楼上的点C处测得无人机（点E）的仰角为，同时小亮站在操场上的点B处利用测角仪测得无人机（点E）的仰角为，经测量得知测角仪到地面的距离为1.6米（米），点B到教学楼底部点D的距离为30米（米），小明得知教学楼上的点C距离地面19.6米（米），所有点都在同一平面内，，，则此时无人机的飞行高度为多少米？（参考数据：，，，，，）
答案：此时无人机的飞行高度约为21.4米
解析：如图，过点E作于点H，过点A，C分别作于点G，于点F，
则四边形，为矩形，
米，米，，
设米，
在中，，
，
米，
，
在中，，
，
，
，
解得，
（米）；
答：此时无人机的飞行高度约为21.4米.
4．在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度h与其水平投影长度d的比值，即坡度.
(1)一个坡道的水平投影长度d为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度h为________m.
(2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，B，C，D三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在D处竖直向上放飞无人机，无人机在E处测得坡顶A的俯角为，坡底C的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度.（参考数据：）
答案：(1)这个坡道的垂直高度h为10米
(2)坡道的坡度为
解析：(1)∵一个坡道的水平投影长度d为，这个坡道的坡度为，
∴，
解得：米；
答：这个坡道的垂直高度h为10米.
(2)如图，过点E作于点F，则四边形是矩形，
在中，，米，
∴米，
依题意，，则是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴坡道的坡度为，
答：坡道的坡度为.
5．2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为.已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计.
(1)求攀登难点N的高度（即的长）；
(2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）.
答案：(1)米
(2)米
解析：(1)∵在中，米，，
∴（米），
故该攀登难点N的高度为米.
(2)如图，过点B作交于点D，交于点E，
又，
∴四边形是矩形.
∴，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，米，
∵在中，，
∴，
又米，米，
∴，
解得.
故观察点B的铅直高度为米.
6．江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥.某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案：
课题 测量桥塔顶到江面的距离
实物图
测量工具 卷尺、测角仪…
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端A，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点D，点D处有一高为2m的观测台C，在观测台顶端C处测得桥塔顶端A的仰角为
测量说明 点F、D、B在同一水平直线上，且、均垂直于
参考数据 ，，
… …
请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离.(结果精确到0.1m)
答案：
解析：由题意，得，，，，，
设，则.
，
，
在中，
，
∴
在中，
，即
解得
∴主桥塔顶到江面的距离为.
7．如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点A到地面的距离为.红红站在离房子的底端E前方30米的点F处，眼睛G距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖A，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为.红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚H到塔尖的仰角为.
(1)若米，则__________米，____________米（用含a的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度.（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
答案：(1)，
(2)房子的高度为19.5米；塔的高度为74.3米.
解析：(1)∵米，，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米，
故答案为：，；
(2)作于点N，交于点M，
则四边形和四边形是矩形，
设米，
在中，，
∴，
在矩形中，，，
∴，
在中，，，即，
∴，
解得，
由(1)得米，米，
∵四边形是矩形，，，
在中，，，，
∴，
∴米.
答：房子的高度约为19.5米；塔的高度约为74.3米.
8．如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是.若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树的高度.（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）

答案：
解析：过点D作于点G，作于点H，

∴四边形是矩形，
∴，，
∵斜坡的坡度，，
则设为，为，
在中，，
∴，
∴，，
设的高度为，
在中，∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
即，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
，
答：大树的高度为.
9．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数；参考数据：，，）
答案：该岛礁的高为300米.
解析：如图，记岛礁顶端A在海平面位置为B，连接、，
斜坡的坡度，
，
故可设米，米，
在中，，米，
，
解得：（米），
经检验，是方程的解，
（米），
答：该岛礁的高为300米.
10．如图，已知斜坡长为60米，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡.
(1)若修建的斜坡的坡角为，求平台的长；（结果保留根号）
(2)一座建筑物距离A处30米远（即为30米），小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即）为，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，求建筑物的高度.（结果保留根号）
答案：(1)米
(2)米
解析：(1)米，D为中点，
米，
由题意可知，，，
，
在中，米，，
米，米，
斜坡的坡角为，即，
，
米，
米；
(2)在中，米，，
米，米，
米，
米，
由(1)可知，米，米，
米，
，，，
，
四边形是矩形，
米，米，
米，
在中，，米，
米，
米.
11．如图，一艘渔船自东向西以每小时12海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
时，渔船航行至灯塔B北偏东方向的C处
时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受冷空气影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；（结果精确到0.01）
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.
（参考数据：，，，，，）
答案：(1)16.22海里
(2)能，说明见解析
解析：(1)如图，过点B作于点E.
设.
由题意可知，，，
，
，，
.
在中，，
解得，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离约为16.22海里；
(2)在中，，，
，
，
（小时）（分钟）
从，经过133分钟是，在之前能到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A.
12．如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.参考数据：,,.
答案：96米
解析：A,B均在C的北偏东37°方向上,A在D的正北方向,且点D在点C的正东方,
是直角三角形,
,
,
在中,,米,
米,
,
,
,
,即是直角三角形,
,
米,
米,
答：A,B两点间的距离为96米.
1．综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）.
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为，.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）.
参考数据：，.
答案：世纪钟建筑的高度约为
解析：如图，延长与相交于点G，
根据题意，可得，
有，，，，，
在中，，
，
在中，，
.
，
.
.
.
答：世纪钟建筑的高度约为.
2．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图②所示，已知，，该地冬至正午太阳高度角α为.如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：，，.结果保留小数点后一位）
答案：任务一：，
任务二：该活动中心移动了2米；
解析：任务一：如图，过A作于E，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图，过B作的平行线，过C作的平行线，两线交于点Q，，交于点T，过Q作于K，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
3．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为.求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）.（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
答案：无人机从A点到B点的上升高度为
解析：由题意得：，，，.
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为.
4．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为.已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且.求河宽.（参考数据：，，，，，）
答案：
解析：如解图，延长交于点H，则，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
河宽约为.
5．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，.（参考数据：，，，，，，结果精确到1米）
(1)求直吊臂的长；
(2)如图2，直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？
答案：(1)直吊臂的长为10米
(2)上升了5米
解析：(1)由题意得，，
∵，米，
∴在中，（米），
答：直吊臂的长为10米；
(2)记旋转后的点B，M的对应点为，，延长交于点F，过点B作于点E，则，
由题意得：米，米，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
在中，米，
∴（米），
∴货物M上升了5米.
1．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处；②测量D，B两点间的距离；③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角；④测量C到地面的高度. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处；②测量E，B两点间的距离；③在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；④测量E，D两点间的距离；⑤测量C到地面的高度.
测量数据 ①；②；③. ①；②；③.
备注 ①图上所有点均在同一平面内；②，均与地面垂直；③参考数据：. ①图上所有点均在同一平面内：②，均与地面垂直；③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得.
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度.
答案：
解析：选择“测角仪”方案：
如图：，，
在中，，，
，
.
选择“平面镜”方案：
由题意得，，
.
又，
，
，即，
.
2．五一期间,数学兴趣小组的几位同学到公园游玩,看到公园内宝塔耸立,几人想用所学知识测量宝塔的高度.为此,他们在距离宝塔中心18m处（）的一个斜坡CD上进行测量.如图,已知斜坡CD的坡度为,斜坡CD长12m,在点D处竖直放置测角仪DE,测得宝塔顶部B的仰角为,量得测角仪DE的高为1.5m,点A、B、C、D、E在同一平面内.
(1)求点D距地面的高度；
(2)求宝塔AB的高度.（结果精确到0.1,参考数据；,,,）
答案：(1)点D距地面的高度为6m
(2)宝塔AB的高度为28.8m
解析：(1)如图：
斜坡CD的坡度为,
在中,,
,
,
点D距地面的高度为6m；
(2)过点E作,垂足为G,
,
,
,
,
,
,
在中,,
,
,
宝塔AB的高度为28.8m.
3．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米.参考数据：，，，，，）.
答案：27米
解析：如图，延长CD交AB于点H.
由题意得，四边形CMBH为矩形，
.
在中，，，
，.
在中，，，
，.
设.
，，.
解得，
（米）.
答：点A到地面的距离AB的长约为27米.
4．在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道.我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白.如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上.（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）

(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？
(2)试求海底山丘的坡度是多少？
答案：(1)海平面距离海底的深度是846米；
(2)
解析：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴（米）；
∴海平面距离海底的深度是米；
(2)如图，过E作于H，连接，结合题意可得：
，，
∵，，

∴，，
∴，
由(1)可得：，
∴，
∴海底山丘CE的坡度是.
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