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内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
4．在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
5．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A．10种 B．种 C．种 D．45种
7．已知点为双曲线的右焦点，点为左顶点，点在双曲线的右支上，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）已知等比数列的公比为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ）
A． B．只有第3项的二项式系数最大
C．的系数为 D．各项系数之和为
11．已知三次函数的图象如图，则正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．若，则
三、填空题
12．设，则______（用数字作答）．
13．已知函数，则关于t的不等式的解集为______.
14．直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________．
四、解答题
15．已知等差数列和等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求和：．
16．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点；求实数的取值范围.
17．如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，M是AD的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)当时，求证：
19．已知椭圆的短轴长是，左焦点为.
(1)求的方程.
(2)已知轴上的两点（在轴上方）和满足.
（i）求的面积的最小值.
（ii）当的外接圆与在第一象限有公共点时，直线与轴交于点.探究是否为定值.若是，求出该定值.若不是，请说明理由.
参考答案
1．A
【详解】解：，
则，解得．
2．A
【详解】直线与直线垂直，
则，解得或3，
故“”是“”的充分不必要条件.
3．D
【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，
根据抛物线的定义可得，则.
4．B
【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种．
5．A
【详解】的定义域为，
由，解得．
由题意知，
解得．
故选：A
6．B
【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，
问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.
故选：B.
7．C
【详解】因为，，，所以，
设双曲线的左焦点为，连接，则，
所以在中，，由余弦定理得，
，
整理得，即，得．
8．A
【详解】作出图象如下：
由，且，则，
即有，，且，则，
故，
则.
9．BC
【详解】对于A，，，
当时，当且仅当时等号成立，
当时，当且仅当时等号成立，
因为不恒成立，故A错误；
对于B，，，因为，所以，
，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，
与矛盾，故D错误.
10．AC
【详解】由题设，可得，A对；
展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误；
展开式通项为，，
令，可得，则的系数为，C对；
令，则，D错.
故选：AC
11．ABC
【详解】因为函数为三次函数，可设，，
由图可知：，，
即，即，
则，则，
由图可得，则，
即，，
由图可得当时，，则，
对A：，，由，故，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，由，
故，解得，故C正确；
对D：，则，
则，则，
即有，则，
故，故D错误.
12．60
【详解】二项式通项公式为.
是的系数，令，则，
所以.
13．
【详解】，得，
故为定义在上的奇函数.
所以可写为，
即，根据奇函数易得.
函数的导数为，
而，所以，
故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得.
14．6
【详解】由题意得，即，直线，
整理得，令，解得，故直线过定点，
设圆的圆心为，半径，
且圆心到的距离，
定点在圆内，所以当时，的值最小，
即.
15．（1）；（2）
【详解】解：由题意可知:，=1+d+1+3d=6,解得：d=1，
所以的通项公式：=.
(2)由（1）中结论，可得=16，
==16， =4，
是以1为首项，以=4为公比的等比数列，通项公式为：=，
==.
16．(1)
(2)
【详解】（1）若，则，
所以，
切线方程为，
即．
（2）．
设为的两个极值点，
则是方程的两个实数根，
即方程的两个正实数根．
所以，解得，
即的取值范围是．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题可得，，，
所以在中由余弦定理得，
所以，所以，
因为，M为AD的中点，所以.
又，，故，
所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知平面，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由得，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量.
易得，即，取，可得，
设平面的一个法向量，
易得，即，取，可得，
易得，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得单调递增，
令，解得单调递减，
所以，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，不合题意，舍去，
当时，，不合题意，舍去，
当时，由（1）知的最大值为，
由已知解得.
所以.
（3）由（2）可得，当时，，
所以（当且仅当取等号）.
设，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，且.
所以（当且仅当取等号）.
（），
.
19．(1)；
(2)（i）1；（ii）是定值，3.
【详解】（1）由椭圆的短轴长是，左焦点为，得，，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）（i）设，则，
由，得，即，
的面积，当且仅当时取等号，
所以当的坐标为时，的面积最小，最小值是1.
（ii）设，由（i）知，，
由在的外接圆上，得，而，
则，整理得，而，
因此，即，则，即，
所以.

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