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永吉实验高级中学高二年级期中考试
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试
时间120分钟.所有答案均写在答题纸上.
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知函数f()=2f(o)e2-+3x,则f(o)=（)
A.6
B.3
C.-3
D.-6
2.5位同学报名参加两个深外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法
共有()
A.10种
B.20种
C.25种
D.32种
3,在2x+
的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为
()
A.243
B.81
C.64
D.32
4.
已知定义在(0,3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式(x-1)'(x)<0的解集
为()
A.(0,2)
B.(1,2）C.(2,3)
D.(0,1)U1,2)
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,则()
5已知a=号，0寸c7
A.bB.aC.bD.c6某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》
《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则
这5名同学诗歌篇目的选择情况共有()
A.150种
B.240种
C.180种
D.120种
7.函数f(x)=ae-x2在(0，+∞)上单调递增的充要条件是()
A,a≥2
B.a2。
c.a2号
D.a≥号
8.若函数f(x)=alnx-x,且f(ax)≤e-ar,则正实数a的取值范围是()
A.(0,e)
g
c.(0,d
D.(0,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求
9.已知函数f()-写式-4红+4，则（）
A.f(x)在(0，+∞)上单调递增
B.x=-2是∫(x)的极大值点
C.f(x)有三个零点
D.f(x)在[0,3]上最大值是4
10为弘扬我国古代的"六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼“、“乐”、
“射”、“侮”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正
确的是()
A,某学生从中选2门课程学习，共有30种选法
B.课程“乐"“射"排在相邻的两周，共有240种排法
C.课程”御”“书”“数"排在不相邻的三周，共有72种排法
D.课程“礼“不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
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第 I卷（选择题，共 58分）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2 D 3．B 4. D 5 C 6 A 7．A．8. C
二、多选题：本题共 3小题，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.
9. BCD 10 BD 11..AC
第 II卷（非选择题，共 92分）
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 若直线 与曲线 相切，则 的值为___________.
【答案】
13．设 ，则
_120____．
14．若 ，不等式 恒成立，则 的最大值为________.
【答案】
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15. 已知函数 在 处取得极大值为 9.
（1）求 ， 值；
（2）求函数 在区间 上 最值.
详解：（I）
依题意得 ，
即 ，解得 .经检验，上述结果满足题意.
（II）由（I）得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
的单调递增区间为 和 ， 的单调递增区间是 ，
， ，
所以函数 在区间 上的最大值为 9，最小值为 .
16 用 0，1，2，3，4，5这六个数字：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为 5的倍数的五位数？
(3)能组成多少个无重复数字的比 1325大的四位数？
【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有 个；
第二类：2在个位时，首位从 1，3，4，5中选定 1个（有 种），十位和百位从余下的数字
中选（有 种），于是有 个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个;
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是 0的五位数有 个；
个位数上的数字是 5的五位数有 个,
故满足条件的五位数的个数共有 个；
（3）符合要求的比 1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如 2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个；
第二类：形如 14□□，15□□，共有 个；
第三类：形如 134□，135□，共有 个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比 1325大的四位数共有：
个
17．二项式 展开式前三项的二项式系数和为 22．
(1)求 n的值；
(2)求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
(3)求展开式中的所有的有理项．
．
【详解】（1）依题意得： ，
即 ，得 或 ．
， ．
（2）令 ，则 ，即展开式中各项系数和为 ，
而各项的二项式系数和为 ，
所以展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值
（3）二项展开式的通项公式为： ， ，
依题意 ，且 ，解得 或 ，
展开式中的有理项为 和 ．
18.（17分）
已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处切线的方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求
的取值范围.
【详解】（1）由已知 ，
，
曲线 在 处切线方程为 ，即 .
（2） .
①当 时，由于 ，故 ，
所以， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
②当 时，由 ，得 .
在区间 上， ，在区间 上 ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）由已知，转化为 ，
由（2）知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在 ，故不符合题意.)
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值即为最大值， ，
所以 ，
解得 .
19. 已知函数 ， .
（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，设 ，证明： 在 上存在唯一的极小值点 且
.
参考数据： .
当 时， 恒成立，即 恒成立.
令 ，则 ，其中 ，
由 可得 ；由 可得 .
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 .
所以 ，即 ，故 的取值范围是 .
【小问 3详解】
当 时， ， ，
令 ，则 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又因为 ， 且 ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 .①
当 时， ，即 ， 单调递减，
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 是 在 上唯一的极小值点.
则 ，由①可知 .

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