资源简介

(共34张PPT)
课题名称：4.5三角形的中位线
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能规范完成三角形中位线定理的推理论证,体会旋转,转化思想的应用,提升逻辑推理与几何语言表达能力；
02
理解三角形中位线的定义,能准确区分中位线与中线,掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的定理；
01
能运用中位线定理解决线段平行,长度计算,平行四边形判定等几何问题,能解决简单的实际测量问题；
03
建立三角形与平行四边形的知识关联,培养几何辅助线的添加意识,提升数学应用与知识迁移能力。
04
情景问题
1.农场有一块三角形菜地,管理员想在菜地里修一条平行于菜地一边的小路,且小路的一个端点为三角形一边的中点,要求小路将三角形菜地分成面积相等的两部分,该如何确定小路的另一个端点？若测得小路的长度为12米,你能求出菜地对应平行边的长度吗？说说你的猜想。
另一个端点为三角形另一边的中点,连接两边中点的线段即为所求小路；猜想菜地对应平行边的长度为24米,即连接两边中点的线段长度是第三边的一半,且该线段与第三边互相平行。
情景问题
要测量池塘两湍的距离,小明想出一个方法：在池塘外取,点,得到线段,并取的中点,连结。只要量出的长,就可以求得两端的距离。你知道为什么吗？
在本节中,我们将运用平行四边形的有关知识,探索三角形中位线的性质。
探究新知
探究一：三角形的中位线定理
合作学习：任意画一个,然后分别取,的中点,连结.通过观察,测量等方法,你发现线段有哪些性质 你能用命题的形式表述.你所发现的性质吗 试一试.(请与你的同伴交流)
连结三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半.
探究新知
探究一：三角形的中位线定理
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图,在中,分别是的中点,就是的一条中位线.
猜想：三角形的中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
探究新知
探究一：三角形的中位线定理
验证猜想：
已知:如图,是的中位线.
求证.
分析:因为是的中点,可以考虑以点为中心,把按顺时针方向旋转,得到,如右图.这样就只需证明四边形是平行四边形.
探究新知
探究一：三角形的中位线定理
证明：如图,以点为旋转中心,把绕点E,按顺时针方向旋转,得,则同在一直线上,,且.
,
.
又,
四边形是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形),
(根据什么？)
.
平行四边形的一组对边平行且相等
探究新知
探究一：三角形的中位线定理
思考:你能用不同的方法加以证明吗？
证明:如图,延长至,连接,使
是的中位线,点是的中点即,
又(对顶角相等)
,,
.
又,
四边形是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形),
(平行四边形的一组对边平行且相等).
探究新知
方法总结：
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
几何语言：
是的中位线
.
探究新知
探究三：三角形中位线定理的简单运用
例1已知:如图,在四边形中,分别是的中点,求证:四边形是平行四边形.
证明：如图,连结.
是的中位线,
(三角形的中位线等于第三边的一半).
同理,,.
同理可得.
所以四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
探究新知
方法总结：
1.核心思路：遇“四边形各边中点连线”问题,优先连接对角线,将四边形转化为两个三角形,利用中位线定理推导边的平行与长度关系；
2.解题技巧：中位线定理可同时推导“平行”与“倍分”关系,证明平行四边形时可直接关联“两组对边分别平行/相等”的判定；
3.注意事项：明确中位线的定义条件(连接两边中点),区分中点四边形与原四边形的关系(依赖原四边形对角线)。
探究新知
探究三：三角形中位线定理的综合运用
例2 如图,在中,相交于点,连接与相交于点,连接．
(1)求的长；
(2)求证：；
(3)求的长．
探究新知
探究三：三角形中位线定理的综合运用
解(1):四边形是平行四边形,
,
又,,即,
在中,
根据勾股定理可得：,
即,∴．
探究新知
探究三：三角形中位线定理的综合运用
解(2)证明:,
四边形是平行四边形,
又,
平行四边形是矩形,
,
四边形是平行四边形,
,
．
探究新知
探究三：三角形中位线定理的综合运用
解(3)解:如图所示,过点P作交于点F,
四边形是矩形,
,,
又,,
又,是的中位线,且,
在,根据勾股定理可得：
,即,
．
探究新知
方法总结：
1.解题步骤：先识别题目中的中位线条件(或构造中位线),利用定理转化线段关系,再结合平行四边形性质,勾股定理等完成计算与证明；
2.辅助线技巧：遇“中点”“倍分”“平行”条件,可通过延长线段,连接对角线等构造三角形中位线,实现未知线段的转化；
3.思想方法：综合运用转化思想(四边形→三角形),数形结合思想(几何特征→数量计算),强化多知识点的融合应用。
课堂练习
1.如图,M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点。若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B的度数为 ( )
A.20° B.45° C.65° D.70°
2.如图,在△ABC中,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
3.如图, ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连结OE。若BD=12,则△DOE的周长为( )
A.15 B.18 C.21 D.24
D
A
A
课堂练习
4.如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4cm,则该工件内槽宽AB的长为 cm。
5.如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连结MN。
E是CN的中点,连结ME并延长,交BC的延长线于点D。
若BC=4,则CD的长为 。
8
2
6.如图,在中,分别是的中点,,平分,交于点。若,则的长度是 。
7.如图,的对角线相交于点,
的平分线与边相交于点是的中点。
若,则的长为 。
课堂练习
8
1
课堂练习
解:(1)分别为的中点,分别为的中点,
是的中位线,是的中位线,
,
,四边形为平行四边形。
8.如图,在中,分别为的中点,点在线段上,连结分别为的中点。
(1)求证:四边形为平行四边形。
(2)若,求点到点的距离。
课堂练习
解:(2)连结DH。
∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG∥AC。
∵DG⊥BH,∴∠BHA=90°。
又∵D是AB的中点,
∴DH=AB=3,
即点D到点H的距离为3。
课堂练习
证明：如图,连结EH,HG,GF。
∵E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,
∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,
∴GH∥EF,
∴四边形EHGF是平行四边形,
∴EG,HF互相平分。
9.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,连结EG,HF。求证：EG,HF互相平分。
课堂小结
知识点：
1.概念掌握：理解三角形中位线的定义,能准确区分中位线与中线,明确定理的题设与结论。
2.定理应用：熟练运用中位线定理解决线段平行,长度计算,中点四边形判定等问题,掌握“构造三角形”的辅助线技巧。
3.综合能力：能整合中位线定理与平行四边形,勾股定理等知识,解决多层条件的综合题,提升几何推理的严谨性与灵活性。
4.素养落实：体会转化,数形结合与旋转思想的应用,建立“中点—中位线—平行—计算”的知识体系,为后续复杂几何图形探究奠定基础。
知识梳理
课后提升
1.如图,在中,点分别是边的中点,若,则的长为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.如图,线段DE是△ABC的中位线,∠B=60°,则∠ADE的度数为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.如图,在中,,平分,于点,点为的中点,连结,则的长是(　　)
A.0.5　　　　B.0.75　　　　C.1　　　　D.2
基础作业：
A
C
C
课后提升
4.如图,有一个等边三角形纸片ABC,点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折叠,点A,B,C分别与点D,E,F重合,得到一个小三角形DEF,若原三角形的高为1,则三角形DEF的周长为　　　　.
5.如图,四边形ABCD各边的中点分别是E,F,G,H,若对角线AC,BD的长都为10cm,则四边形EFGH的周长是　　　　cm.
基础作业：
20
课后提升
基础作业：
证明:分别是的中点,
,
,
∴四边形是平行四边形.
6.如图,在四边形中,分别是的中点.求证:四边形是平行四边形.
课后提升
7.如图,在中,分别是的中点.若,则四边形的周长是(　　)
A.28　　　　B.14 C.10　　　　D.7
8.如图,分别为的边的中点,为线段上的一点,若,则线段的长为(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
能力提升：
D
B
课后提升
9.如图,在中,,分别为的中点,连结,则的长是　　　　.
10.如图,在中,,点分别是边上的动点,连结.点为的中点,点为的中点,连结,则的长的最小值为　　　　.
能力提升：
7.5
课后提升
提升作业：
11.如图,在△ABC中,AH⊥BC,垂足为H,点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.
(1)求证:四边形AFDE是平行四边形;
(2)求证:∠EDF=∠EHF.
证明:(1)点分别是的中点,
,
,
四边形是平行四边形.
课后提升
证明(2)四边形是平行四边形,
,
,点,点分别是的中点,
,
,
,
.
课后提升
拓展作业：
证明:分别是的中点,
是的中位线,,,
是的中点,,
在和中,,
,四边形是平行四边形.
12.如图,在中,于点分别是的中点,是的中点,连结并延长,交线段于点,连结.求证:四边形是平行四边形.
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分课时学案
课题 4.5三角形的中位线 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解三角形中位线的定义，能准确区分中位线与中线，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的定理； 2.能规范完成三角形中位线定理的推理论证，体会旋转、转化思想的应用，提升逻辑推理与几何语言表达能力； 3.能运用中位线定理解决线段平行、长度计算、平行四边形判定等几何问题，能解决简单的实际测量问题； 4.建立三角形与平行四边形的知识关联，培养几何辅助线的添加意识，提升数学应用与知识迁移能力。
重点 1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理； 2.能运用三角形中位线定理解决几何证明、计算及简单实际问题。
难点 理解并掌握用旋转构造平行四边形证明三角形中位线定理的思路，能在复杂几何图形中主动构造中位线解决问题。
教学过程
导入新课 情景问题 1.农场有一块三角形菜地，管理员想在菜地里修一条平行于菜地一边的小路，且小路的一个端点为三角形一边的中点，要求小路将三角形菜地分成面积相等的两部分，该如何确定小路的另一个端点？若测得小路的长度为 12 米，你能求出菜地对应平行边的长度吗？说说你的猜想。 要测量池塘两湍B,C的距离，小明想出一个方法：在池塘外取，点A，得到线段AB,AC，并取AB,AC的中点D,E，连结DE。只要量出DE的长，就可以求得B,C两端的距离。你知道为什么吗？ 在本节中，我们将运用平行四边形的有关知识，探索三角形中位线的性质。
新知讲解 探究活动一：三角形的中位线定理 合作学习：任意画一个，然后分别取,AC的中点，连结.通过观察，测量等方法，你发现线段有哪些性质？你能用命题的形式表述。你所发现的性质吗？试一试。（请与你的同伴交流） 答案：连结三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半。 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，DE就是△ABC的一条中位线。 猜想：三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图4-38,是的中位线。 求证：. 分析：因为是的中点，可以考虑以点为中心，把按顺时针方向旋转，得到，如右图。这样就只需证明四边形是平行四边形。 思考：你能用不同的方法加以证明吗？ 总结归纳： 探究活动二：三角形中位线定理的简单运用 例1已知：如图4-40，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 方法总结： 探究活动三：三角形中位线定理的综合运用 例2如图，在中，相交于点，连接与相交于点，连接． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的长。 总结归纳：
课堂练习 课堂练习 1.如图，M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点。若∠A=65°,∠ANM=45°，则∠B的度数为 ( ) A.20°B.45°C.65°D.70° 2.如图，在△ABC中，E,D,F分别是AB,BC,AC的中点，AB=6,AC=4，则四边形AEDF的周长为（ ） A.10B.12C.14D.16 3.如图， ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连结OE。若BD=12，则△DOE的周长为（ ） A.15B.18C.21D.24 4.如图，把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起，C,D分别是OA,OB的中点，若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm。 5.如图，在△ABC中，M,N分别是AB和AC的中点，连结MN。E是CN的中点，连结ME并延长，交BC的延长线于点D。若BC=4，则CD的长为 。 6.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BC=12,CF平分∠ACB，交DE于点F。若EF=2DF，则AC的长度是 。 7.如图， ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD的中点。若AD=4,CD=6，则EO的长为 。 8.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点H在线段CE上，连结BH,G,F分别为BH,CH的中点。 （1）求证：四边形DEFG为平行四边形。 （2）若DG⊥BH,AB=6，求点D到点H的距离。 9.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，连结EG,HF。求证：EG,HF互相平分。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点：
作业设计 基础达标： 1.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，若BC=12cm，则DE的长为（ ） A.6cm　　　　B.12cm　　　　C.16cm　　　　D.24cm 2.如图，线段DE是△ABC的中位线，∠B=60°，则∠ADE的度数为（ ）　 A.80°　　　　B.70°　　　　C.60°　　　　D.50° 3.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,AD平分∠BAC,AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连结DE，则DE的长是（ ）　 A.0.5　　　　B.0.75　　　　C.1　　　　D.2 4.如图，有一个等边三角形纸片ABC，点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，将△ABC沿DE,EF,DF折叠，点A,B,C分别与点D,E,F重合，得到一个小三角形DEF，若原三角形的高为1，则三角形DEF的周长为　　　　. 5.如图，四边形ABCD各边的中点分别是E,F,G,H，若对角线AC,BD的长都为10cm，则四边形EFGH的周长是　　　　cm. 6.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。 能力提升： 7.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB的中点。若AB=6,BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ） A.28　　　　B.14C.10　　　　D.7 8.如图，D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点，F为线段DE上的一点，若AB=10,BC=12,∠AFB=90°，则线段EF的长为（ ）　 A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,BC=12,D,E分别为AC,BC的中点，连结DE，则DE的长是　　　　. 10.如图，在 ABCD中，∠B=45°,AB=2，点H,G分别是边DC,BC上的动点，连结AH,HG.点E为AH的中点，点F为GH的中点，连结EF，则EF的长的最小值为　　　　. 11.如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点。 （1）求证：四边形AFDE是平行四边形； (2）求证：∠EDF=∠EHF. 拓展迁移： 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点，O是DF的中点，连结EO并延长，交线段BD于点G，连结DE,EF,FG.求证：四边形DEFG是平行四边形。
参考答案：
情景问题：1.另一个端点为三角形另一边的中点，连接两边中点的线段即为所求小路；
2.猜想菜地对应平行边的长度为 24 米，即连接两边中点的线段长度是第三边的一半，且该线段与第三边互相平行。
探究一：证明：如图4-39，以点为旋转中心，把绕点E，按顺时针方向旋转，得，则同在一直线上，，且.
,
.
又,
四边形是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）,
（根据什么？）（平行四边形的一组对边平行且相等）
.
思考：如图4-39，延长至，连接，使
是的中位线
点是的中点即,
又（对顶角相等）
,
,
.
又,
四边形是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）,
（平行四边形的一组对边平行且相等）
.
探究二：
例1证明：如图4-41，连结AC.
是的中位线，
（三角形的中位线等于第三边的一半）.
同理，,
.
同理可得.
所以四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
探究三：
解（1）：四边形是平行四边形，
,
又,
，即,
在中，
根据勾股定理可得：,
即,
∴．
（2）证明：∵,
∴四边形是平行四边形，
又∵,
∴平行四边形是矩形，
∴,
∵四边形是平行四边形，
∴,
∴．
（3）解：如图所示，过点P作交于点F,
∵四边形是矩形，
∴,
∴,
又∵,
∴,
又∵,
∴是的中位线，且,
在，根据勾股定理可得：
，即,
∴．
课堂练习：
1.D;2.A;3.A;4.8; 5.2;6.8;7.1;
8.解：（1）∵D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH,CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，
∴DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC,
∴DE∥GF,DE=GF,
∴四边形DEFG为平行四边形。
（2）连结DH。
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG∥AC.
∵DG⊥BH,∴∠BHA=90°.
又∵D是AB的中点，
∴DH=AB=3,
即点D到点H的距离为3。
9.证明：如图，连结EH,HG,GF。
∵E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，
∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,
∴GH∥EF,
∴四边形EHGF是平行四边形，
∴EG,HF互相平分。
作业设计：
1.A　∵点D,E分别是边AB,AC的中点，BC=12cm,
∴DE=BC=6cm，故选A.
2.C　∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°.故选C.
3.C　∵在△ABF中，AD平分∠BAF,AD⊥BF,AB=3,∴点D是BF的中点，AF=AB=3.∵AC=5,∴FC=AC-AF=5-3=2.又∵点E为BC的中点，
∴DE是△BFC的中位线，∴DE=×2=1.
4.
解析　∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC,∵点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，∴DE=EF=DF，连结AE（图略）,∵△ABC为等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC,∴AE2+CE2=AC2，设CE=x，则AC=BC=2x,∵△ABC的高为1,∴AE=1,∴12+x2=(2x)2，解得x1=,x2=-（舍去）,
∴CE=，由折叠可得DE=CE=,∴△DEF的周长=DE+EF+DF=3DE=.
5.20
解析　∵E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点，
∴HG=EF=AC,GF=HE=BD,
∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE
=(AC+AC+BD+BD)=×(10+10+10+10)
=20(cm).
6.证明　∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点，
∴FH=BC,FH∥BC,GE=BC,GE∥BC,
∴FH=GE,FH∥GE,
∴四边形EGFH是平行四边形。
7.B　∵D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，AB=6,BC=8,
∴DE∥AB,DE=BF=AB=3,EF∥BC,EF=BD=BC=4,
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
8.D　∵D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，BC=12,
∴DE=BC=6.∵∠AFB=90°,D是AB的中点，AB=10,∴DF=AB=5,
∴EF=DE-DF=6-5=1.
故选D.
9.7.5
解析　∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,BC=12,
∴AB==15,
∵D,E分别为AC,BC的中点，
∴DE=AB=7.5.
10.
解析　如图，连结AG,
∵点E,F分别是AH,GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，∴EF=AG,
当AG的长最小时，EF的长最小，
当AG⊥BC时，AG的长最小，
∵∠B=45°,AB=2,
∴AG的长的最小值为,
∴EF的长的最小值是.
11.证明　(1)∵点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，
∴DF=AC,DF∥AC,AE=AC,∴DF=AE,
∴四边形AFDE是平行四边形。
（2）∵四边形AFDE是平行四边形，∴∠EDF=∠BAC,
∵AH⊥BC，点F，点E分别是AB,AC的中点，
∴AF=FH,AE=EH,
∴∠BAH=∠FHA,∠EAH=∠AHE,
∴∠BAC=∠FHE,∴∠EDF=∠EHF.
12.证明　∵E,F分别是AC,AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC,∴∠EFO=∠GDO,
∵O是DF的中点，∴OF=OD,
在△OEF和△OGD中，
∴△OEF≌△OGD(ASA),∴EF=GD,
∴四边形DEFG是平行四边形。
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4.5三角形的中位线教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.5三角形的中位线 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”领域核心素养要求，引导学生理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理并能规范完成证明；能运用定理解决线段平行，长度计算及平行四边形判定等几何问题，发展几何直观，逻辑推理能力和抽象概括能力；体会旋转，转化思想在几何证明中的应用，建立三角形与平行四边形的知识关联；能运用中位线定理解决简单实际测量问题，提升数学应用意识，为后续复杂几何图形探究奠定基础。
教材分析 本节课是平行四边形知识的延伸与应用，是三角形几何性质的重要补充，兼具知识探究与实际应用价值。教材以实际测量问题引题，通过合作学习让学生直观感知三角形中位线的特征，进而提炼并证明中位线定理，再以四边形各边中点连线问题实现定理的综合应用，将三角形问题转化为平行四边形问题解决。内容设计遵循“实际问题—概念探究—定理证明—综合应用”的认知规律，突出转化与数形结合思想，既是对平行四边形判定与性质的巩固，也是培养学生几何综合解题能力的重要载体。
学情分析 学生已熟练掌握平行四边形的判定与性质，图形旋转的性质，具备三角形全等证明能力和基本的几何推理素养，能解决简单的几何证明与计算问题。但学生对三角形中位线与中线的概念易混淆，难以自主想到用旋转构造平行四边形证明定理；运用定理时，无法快速识别题目中的中位线条件；在综合题中，不会主动连接辅助线构造三角形中位线，几何知识的迁移应用能力仍有欠缺。
教学目标 1.理解三角形中位线的定义，能准确区分中位线与中线，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半的定理； 2.能规范完成三角形中位线定理的推理论证，体会旋转，转化思想的应用，提升逻辑推理与几何语言表达能力； 3.能运用中位线定理解决线段平行，长度计算，平行四边形判定等几何问题，能解决简单的实际测量问题； 4.建立三角形与平行四边形的知识关联，培养几何辅助线的添加意识，提升数学应用与知识迁移能力。
教学重点 1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理； 2.能运用三角形中位线定理解决几何证明，计算及简单实际问题。
教学难点 理解并掌握用旋转构造平行四边形证明三角形中位线定理的思路，能在复杂几何图形中主动构造中位线解决问题。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 1.农场有一块三角形菜地，管理员想在菜地里修一条平行于菜地一边的小路，且小路的一个端点为三角形一边的中点，要求小路将三角形菜地分成面积相等的两部分，该如何确定小路的另一个端点？若测得小路的长度为12米，你能求出菜地对应平行边的长度吗？说说你的猜想。 答案 另一个端点为三角形另一边的中点，连接两边中点的线段即为所求小路；猜想菜地对应平行边的长度为24米，即连接两边中点的线段长度是第三边的一半，且该线段与第三边互相平行。 要测量池塘两湍B,C的距离，小明想出一个方法：在池塘外取，点A，得到线段AB,AC，并取AB,AC的中点D,E，连结DE。只要量出DE的长，就可以求得B,C两端的距离。你知道为什么吗？ 在本节中，我们将运用平行四边形的有关知识，探索三角形中位线的性质。 呈现池塘两端距离测量，三角形菜地小路修建的实际情景，引导学生思考“连接两边中点的线段”的特征与作用。 结合生活经验尝试解决测量问题，猜想中点连线与第三边的关系，产生探究新知的需求。 从实际应用切入，衔接平行四边形旧知，激发探究兴趣，为三角形中位线概念与定理的学习铺垫直观经验。
探究活动一：三角形的中位线定理 合作学习：任意画一个，然后分别取,AC的中点，连结.通过观察，测量等方法，你发现线段有哪些性质？你能用命题的形式表述。你所发现的性质吗？试一试。（请与你的同伴交流） 答案：连结三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半。 连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。如图，在中，分别是的中点，就是的一条中位线。 猜想：三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图,是的中位线。 求证：. 分析：因为是的中点，可以考虑以点为中心，把按顺时针方向旋转，得到，如右图。这样就只需证明四边形是平行四边形。 证明：如图4-39，以点为旋转中心，把绕点E，按顺时针方向旋转，得，则同在一直线上，，且. , . 又, 四边形是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）， （根据什么？）（平行四边形的一组对边平行且相等） . 思考：你能用不同的方法加以证明吗？ 证明：如图4-39，延长至，连接，使 是的中位线 点是的中点即, 又（对顶角相等） , , . 又, 四边形是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）， （平行四边形的一组对边平行且相等） . 总结归纳：三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言： 是的中位线 . 引导学生动手画图，测量，抽象中位线定义（对比中线），示范“旋转构造平行四边形”的证明方法，规范定理表述与几何语言。 自主辨析中位线与中线，通过操作验证猜想，参与定理证明，理解“三角形→平行四边形”的转化思路。 经历“操作—猜想—证明”过程，夯实概念与定理基础，渗透转化与旋转思想，发展逻辑推理能力。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：三角形中位线定理的简单运用 例1已知：如图4-40，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 证明：如图4-41，连结. 是的中位线， （三角形的中位线等于第三边的一半）。 同理，, . 同理可得. 所以四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。 方法总结： 1.核心思路：遇“四边形各边中点连线”问题，优先连接对角线，将四边形转化为两个三角形，利用中位线定理推导边的平行与长度关系； 2.解题技巧：中位线定理可同时推导“平行”与“倍分”关系，证明平行四边形时可直接关联“两组对边分别平行/相等”的判定； 3.注意事项：明确中位线的定义条件（连接两边中点），区分中点四边形与原四边形的关系（依赖原四边形对角线）。 引导学生分析四边形中点连线问题，点拨“连接对角线构造三角形中位线”的关键思路，规范解题步骤。 运用定理证明平行四边形判定，总结中点四边形的特征，提升定理应用的灵活性。 巩固定理核心应用，突破“构造三角形”的辅助线难点，强化几何知识的迁移能力。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：三角形中位线定理的综合运用 例2如图，在中，相交于点，连接与相交于点，连接． （1）求的长； （2）求证：； （3）求的长。 解（1）：四边形是平行四边形， , 又, ，即, 在中， 根据勾股定理可得：, 即, ∴． （2）证明：∵, ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴平行四边形是矩形， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴． （3）解：如图所示，过点P作交于点F, ∵四边形是矩形， ∴, ∴, 又∵, ∴, 又∵, ∴是的中位线，且, 在，根据勾股定理可得： ，即, ∴． 总结归纳： 1.解题步骤：先识别题目中的中位线条件（或构造中位线），利用定理转化线段关系，再结合平行四边形性质，勾股定理等完成计算与证明； 2.辅助线技巧：遇“中点”“倍分”“平行”条件，可通过延长线段，连接对角线等构造三角形中位线，实现未知线段的转化； 3.思想方法：综合运用转化思想（四边形→三角形），数形结合思想（几何特征→数量计算），强化多知识点的融合应用。 引导学生整合中位线定理，平行四边形性质与勾股定理，分析综合题的多层条件，点拨辅助线添加与线段转化技巧。 分组讨论解题思路，综合运用多知识点完成计算与证明，梳理“条件—定理—结论”的逻辑链条。 提升综合解题素养，建立“中位线—平行—长度计算”的知识关联，落实数形结合思想。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.如图，M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点。若∠A=65°,∠ANM=45°，则∠B的度数为 ( ) A.20°B.45°C.65°D.70° 2.如图，在△ABC中，E,D,F分别是AB,BC,AC的中点，AB=6,AC=4，则四边形AEDF的周长为（ ） A.10B.12C.14D.16 3.如图， ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连结OE。若BD=12，则△DOE的周长为（ ） A.15B.18C.21D.24 4.如图，把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起，C,D分别是OA,OB的中点，若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm。 5.如图，在△ABC中，M,N分别是AB和AC的中点，连结MN。E是CN的中点，连结ME并延长，交BC的延长线于点D。若BC=4，则CD的长为 。 6.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BC=12,CF平分∠ACB，交DE于点F。若EF=2DF，则AC的长度是 。 7.如图， ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD的中点。若AD=4,CD=6，则EO的长为 。 8.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点H在线段CE上，连结BH,G,F分别为BH,CH的中点。 （1）求证：四边形DEFG为平行四边形。 （2）若DG⊥BH,AB=6，求点D到点H的距离。 9.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，连结EG,HF。求证：EG,HF互相平分。 1.D;2.A;3.A;4.8; 5.2;6.8;7.1; 8.解：（1）∵D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH,CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线， ∴DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC, ∴DE∥GF,DE=GF, ∴四边形DEFG为平行四边形。 （2）连结DH。 ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG∥AC. ∵DG⊥BH,∴∠BHA=90°. 又∵D是AB的中点， ∴DH=AB=3, 即点D到点H的距离为3。 9.证明：如图，连结EH,HG,GF。 ∵E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点， ∴AB∥EH∥GF,GH∥BC, ∴GH∥EF, ∴四边形EHGF是平行四边形， ∴EG,HF互相平分。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.概念掌握：理解三角形中位线的定义，能准确区分中位线与中线，明确定理的题设与结论。 2.定理应用：熟练运用中位线定理解决线段平行，长度计算，中点四边形判定等问题，掌握“构造三角形”的辅助线技巧。 3.综合能力：能整合中位线定理与平行四边形，勾股定理等知识，解决多层条件的综合题，提升几何推理的严谨性与灵活性。 4.素养落实：体会转化，数形结合与旋转思想的应用，建立“中点—中位线—平行—计算”的知识体系，为后续复杂几何图形探究奠定基础。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 4.5三角形的中位线 一、核心概念 定义：连接三角形两边中点的线段（区别于中线：连接顶点与对边中点）； 几何表示：△ABC中，D,E为AB,AC中点，则DE是△ABC的中位线。 二、核心定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 几何语言：∵D,E是AB,AC中点，∴DE∥BC,DE= BC。 三、解题方法 辅助线：连接对角线（四边形→三角形），构造中位线； 应用场景：线段平行判定，长度计算，中点四边形证明。 四、思想方法 转化思想（三角形 平行四边形），数形结合，旋转构造 利用简洁的文字，符号，图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，若BC=12cm，则DE的长为（　　） A.6cm　　　　B.12cm　　　　C.16cm　　　　D.24cm 2.如图，线段DE是△ABC的中位线，∠B=60°，则∠ADE的度数为（　　） A.80°　　　　B.70°　　　　C.60°　　　　D.50° 3.如图，在△ABC中，AB=3,AC=5,AD平分∠BAC,AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连结DE，则DE的长是（　　） A.0.5　　　　B.0.75　　　　C.1　　　　D.2 4.如图，有一个等边三角形纸片ABC，点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，将△ABC沿DE,EF,DF折叠，点A,B,C分别与点D,E,F重合，得到一个小三角形DEF，若原三角形的高为1，则三角形DEF的周长为　　　　. 5.如图，四边形ABCD各边的中点分别是E,F,G,H，若对角线AC,BD的长都为10cm，则四边形EFGH的周长是　　　　cm. 6.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。 能力提升： 7.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB的中点。若AB=6,BC=8，则四边形BDEF的周长是（　　） A.28　　　　B.14C.10　　　　D.7 8.如图，D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点，F为线段DE上的一点，若AB=10,BC=12,∠AFB=90°，则线段EF的长为（　　） A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,BC=12,D,E分别为AC,BC的中点，连结DE，则DE的长是　　　　. 10.如图，在 ABCD中，∠B=45°,AB=2，点H,G分别是边DC,BC上的动点，连结AH,HG.点E为AH的中点，点F为GH的中点，连结EF，则EF的长的最小值为　　　　. 11.如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点。 （1）求证：四边形AFDE是平行四边形； （2）求证：∠EDF=∠EHF. 拓展迁移： 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点，O是DF的中点，连结EO并延长，交线段BD于点G，连结DE,EF,FG.求证：四边形DEFG是平行四边形。 1.A　∵点D,E分别是边AB,AC的中点，BC=12cm, ∴DE=BC=6cm，故选A. 2.C　∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°.故选C. 3.C　∵在△ABF中，AD平分∠BAF,AD⊥BF,AB=3,∴点D是BF的中点，AF=AB=3.∵AC=5,∴FC=AC-AF=5-3=2.又∵点E为BC的中点， ∴DE是△BFC的中位线，∴DE=×2=1. 4. 解析　∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC,∵点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，∴DE=EF=DF，连结AE（图略），∵△ABC为等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC,∴AE2+CE2=AC2，设CE=x，则AC=BC=2x,∵△ABC的高为1,∴AE=1,∴12+x2=(2x)2，解得x1=,x2=-（舍去）， ∴CE=，由折叠可得DE=CE=,∴△DEF的周长=DE+EF+DF=3DE=. 5.20 解析　∵E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点， ∴HG=EF=AC,GF=HE=BD, ∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE =(AC+AC+BD+BD)=×(10+10+10+10) =20(cm). 6.证明：∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点， ∴FH=BC,FH∥BC,GE=BC,GE∥BC, ∴FH=GE,FH∥GE, ∴四边形EGFH是平行四边形。 7.B　∵D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，AB=6,BC=8, ∴DE∥AB,DE=BF=AB=3,EF∥BC,EF=BD=BC=4, ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14. 8.D　∵D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，BC=12, ∴DE=BC=6.∵∠AFB=90°,D是AB的中点，AB=10,∴DF=AB=5, ∴EF=DE-DF=6-5=1. 故选D. 9.7.5 解析　∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,BC=12, ∴AB==15, ∵D,E分别为AC,BC的中点， ∴DE=AB=7.5. 10. 解析　如图，连结AG, ∵点E,F分别是AH,GH的中点， ∴EF是△AGH的中位线，∴EF=AG, 当AG的长最小时，EF的长最小， 当AG⊥BC时，AG的长最小， ∵∠B=45°,AB=2, ∴AG的长的最小值为, ∴EF的长的最小值是. 11.证明：（1）∵点D,E,F分别是BC,AC,AB的中点， ∴DF=AC,DF∥AC,AE=AC,∴DF=AE, ∴四边形AFDE是平行四边形。 （2）∵四边形AFDE是平行四边形，∴∠EDF=∠BAC, ∵AH⊥BC，点F，点E分别是AB,AC的中点， ∴AF=FH,AE=EH, ∴∠BAH=∠FHA,∠EAH=∠AHE, ∴∠BAC=∠FHE,∴∠EDF=∠EHF. 12.证明：∵E,F分别是AC,AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC,∴∠EFO=∠GDO, ∵O是DF的中点，∴OF=OD, 在△OEF和△OGD中， ∴△OEF≌△OGD(ASA),∴EF=GD, ∴四边形DEFG是平行四边形。
教学反思 本节课以实际生活情景导入，有效激发学生探究兴趣，多数学生能理解中位线定义，掌握定理并进行简单应用。但教学中仍存在不足：一是部分学生仍混淆中位线与中线的概念，对定义的本质理解不透彻；二是定理证明环节，学生难以自主想到旋转构造平行四边形的方法，对转化思想的体会不深刻；三是综合题中，学生缺乏构造中位线的意识，不会主动连接辅助线挖掘中位线条件。后续教学需增加中位线与中线的对比辨析训练，强化定理证明的思路引导，设计构造中位线的专项习题，引导学生总结中位线的应用场景，切实提升几何知识的迁移与应用能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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