资源简介

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4.6反证法教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 四
课题 4.6反证法 课时 1
课标要求 本节课落实“图形与几何”及“数学推理”领域核心素养要求,引导学生理解反证法的定义和证明步骤,掌握反证法的基本应用场景；能运用反证法证明简单的几何命题和数学结论,发展逻辑推理能力、抽象思维和逆向思考能力；体会反证法与直接证明的区别,形成多样化的证明思路；培养严谨的数学推理习惯,为后续复杂几何命题、代数命题的证明奠定思维基础,契合新课标“强化推理能力,丰富证明方法”的导向.
教材分析 本节课是平行四边形章节的数学方法课,是对直接证明法的补充,首次系统介绍逆向推理的证明方法.教材以《路边苦李》的经典故事引题,提炼反证法的定义和核心思路,通过“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的例题讲解反证法的完整步骤,再通过合作学习让学生运用反证法证明平行线的性质,实现方法的初步应用.内容设计从生活推理到数学证明,层层递进,既完善了数学证明体系,又培养了学生的逆向思维,是提升数学推理素养的重要内容.
学情分析 学生已掌握直接证明的方法,能运用综合法证明平行四边形、三角形的相关命题,具备一定的逻辑推理和几何证明能力.但学生长期习惯正向的直接证明,对逆向思考的反证法接受难度较大；难以准确把握反证法的证明步骤,尤其是“提出假设”和“推出矛盾”的环节；对反证法的应用场景判断模糊,不知何时选用反证法,且在推理中易出现矛盾推导不严谨、假设表述不准确的问题.
教学目标 1.理解反证法的定义和核心思想,掌握反证法“假设—推矛盾—得结论”的三步证明步骤； 2.能准确表述反证法的假设,规范运用反证法证明简单的几何命题和数学结论,提升逆向推理和逻辑证明能力； 3.能区分反证法与直接证明法的适用场景,体会逆向思维在数学证明中的价值,丰富数学证明思路； 4.感受反证法在生活和数学中的应用,培养严谨的推理习惯和多角度思考问题的数学素养.
教学重点 1.理解反证法的定义和“假设—推矛盾—得结论”的证明步骤； 2.能规范运用反证法证明简单的几何命题和数学结论.
教学难点 准确提出反证法的假设,能严谨推导并找出与已知条件、定义、定理等的矛盾,把握反证法的适用场景.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一:依标靠本,独立研学 情景问题 1.抽奖箱有3张奖券标1、2、3,抽后不放回,已知小明抽的不是3,小红抽的是1,有人说小亮抽的一定是2,结论正确吗？用逆向思考说明理由. 结论不正确，假设 “小亮抽的一定是 2” 是对的，那小亮就不可能抽到 3。 但我们看剩下的奖券只有 2 和 3。 小明不是 3，所以小明只能是 2， 那么剩下给小亮的就只有 3。 因此：小亮抽到的一定是 3，不可能是 2。 所以 “小亮抽的一定是 2” 这个结论错误。 2.求证:在一个三角形中,不能有两个角是直角.用逆向思考如何推导？ 假设一个三角形中有两个角是直角,不妨设,则,这与三角形内角和为的定理矛盾,故假设不成立,原结论正确. 呈现抽奖箱抽券、三角形两角为直角的逆向推理情景,引导学生体会“否定结论推导矛盾”的思维方式. 通过情景分析尝试逆向推理,初步感知“假设不成立则原结论正确”的逻辑,产生对反证法的探究兴趣. 从生活与基础几何情景切入,降低逆向思维理解难度,为反证法定义与步骤的学习铺垫直观经验.
探究活动一:反证法的定义 我国古代有一个叫《路边苦李》的故事: 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取李子尝了一下,果然是苦李. 视频导入： 思考:王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 假设李子是甜的, 那么李子会被过路人摘去解渴, 则树上的李子会很少, 而事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾, 所以李子是苦的. 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫作反证法. 总结归纳: 利用反证法证明的一般步骤: 1.假设:假设命题结论的否定; 2.推理归谬:将假设作为条件,与原命题的条件一起,进行正确的推理,推出矛盾的结果; 3.得出结论:否定假设,肯定原命题结论是正确的. 结合《路边苦李》故事拆解推理逻辑,提炼反证法定义,梳理“假设—推矛盾—得结论”三步流程,规范关键表述. 分析故事中的推理环节,归纳反证法核心步骤,理解“否定结论”“推导矛盾”的本质内涵. 从生活实例到数学方法,实现抽象概括,夯实反证法的概念与步骤基础,培养抽象思维能力.
环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:反证法的简单应用 例1 求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角. 已知:四边形(图). 求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角. 证明:假设四边形中没有一个角是钝角或直角, 即, 于是. 这与“四边形的内角和为”矛盾. 所以四边形中至少有一个角是钝角或直角. 方法总结:简单应用方法总结: 1.假设技巧:针对“至少有一个”“至多有一个”等结论,否定时需准确表述(如“至少一个”否定为“一个没有”)； 2.矛盾方向:优先关联已知定理(如四边形内角和、三角形内角和),通过推导与定理冲突的结论完成归谬； 3.步骤规范:严格遵循“假设—推理—矛盾—结论”四环节,几何证明需标注依据(定理、定义等). 引导学生规范表述假设,示范“假设→推导内角和矛盾”的完整过程,点拨矛盾推导的关键逻辑链. 按步骤完成证明,自主推导矛盾,体会反证法在几何命题证明中的应用流程. 通过基础几何命题证明,巩固反证法步骤,突破“假设表述”“矛盾推导”的核心难点,强化逻辑严谨性.
环节三:全班展学,互动深入 探究活动三:反证法的综合应用 合作学习:求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你会选择哪一种证明方法 (2)如果你选择反证法,先怎样假设？结果与什么产生矛盾 (请与你的同伴交流) 已知:, 求证 (1)证明:如图: , (两直线平行,同位角相等), , (两直线平行,同旁内角互补), (等量代换), (同旁内角互补,两直线平行), (2)证明:假设不成立, 即这两条直线相交,设交点为, 因为, 所以过点有两条直线,都与平行, 这与平行公理“经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾, 因此假设不成立,即成立. 总结归纳:综合应用方法总结: 1.适用场景:当直接证明难以构造条件、涉及“唯一性”“平行性”“不存在性”命题时,优先选用反证法； 2.矛盾核心:推导时聚焦与公理(如平行公理)、已知条件或已证定理的冲突,确保矛盾指向明确； 3.方法对比:直接证明侧重“正向推导”,反证法侧重“逆向归谬”,需根据命题特征灵活选择. 引导学生对比直接证明与反证法的差异,强调反证法在“唯一性”“平行性”命题中的优势,规范矛盾与公理的关联表述. 小组合作完成证明,辨析两种证明方法的适用场景,深化对反证法逻辑本质的理解. 提升反证法的综合应用能力,培养证明方法的选择意识,落实多样化证明思路的新课标要求.
环节四:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.用反证法证明命题“如图,如果,,那么”时,第一步是( ) A.假设不平行于 B.假设不平行于 C.假设 D.假设不平行于 2.用反证法证明“若,则”时,首先应假设( ) A.B.C.D. 3.已知在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论,可假设( ) A.∠A=∠BB.AB=ACC.∠B=∠CD.∠A=∠C 4.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应假设直角三角形中( ) A.两锐角都大于45° B.有一个锐角不大于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都不大于45° 5.如图,直线a,b被c所截,∠1,∠2是同位角,且∠1≠∠2.求证:a不平行于b. 6.如图,在ABC中,,,且.求证:不是直角三角形(请用反证法证明). 7.如图,已知在同一平面内,,用反证法证明:. 8.用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和(写出已知,求证和证明). 9.已知任何一个有理数均可表示成的形式,且a,b互质.求证:是一个无理数(请用反证法证明). 1.D;2.B;3.C;4.A; 5.a//b,∠1=∠2,∠1≠∠2,假设； 6.证明:假设△ABC是直角三角形. ∵c＞a＞b,∴c2=a2＋b2, 这与已知b2＋a2≠c2矛盾, ∴△ABC不是直角三角形. 7.证明:假设a,b不平行,则a,b相交,设交点为P,则过点P有两条直线垂直于c,这与“在同一平面内,过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”矛盾, ∴假设不成立,∴a∥b. 8.证明:已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证:∠1=∠A＋∠B. 证明:假设∠1≠∠A＋∠B, 在△ABC中,∠A＋∠B＋∠2=180°, ∴∠A＋∠B=180°－∠2. ∵∠1≠∠A＋∠B, ∴∠1≠180°－∠2, ∴∠1＋∠2≠180°,这与邻补角的性质相矛盾, ∴假设不成立, ∴原命题成立,即∠1=∠A＋∠B. 9.证明:假设是一个有理数,则存在a,b,使(其中a,b是自然数且互质), ∴5=,∴b2=5a2, ∴b2可以被5整除,∴b也能被5整除. 设b=5p(p是自然数), 则5a2=b2=25p2,∴a2=5p2, ∴a2也能被5整除,∴a也能被5整除, ∴a与b有公因数5, 这与a,b互质矛盾, ∴假设不成立,∴是一个无理数. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答. 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.概念与步骤:理解反证法的定义,牢记“假设—归谬—结论”三步核心流程,掌握结论否定的准确表述方法. 2.应用能力:能运用反证法证明简单几何命题(如四边形角的性质)与综合命题(如平行线性质),明确矛盾推导的方向与依据. 3.方法选择:区分反证法与直接证明的适用场景,能根据命题特征灵活选择证明方法,形成多样化证明思路. 4.素养落实:体会逆向思维的数学价值,强化逻辑推理的严谨性,为后续复杂命题(如圆的性质、不等式证明)的学习奠定思维基础. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 4.6反证法 一、核心定义 假设命题结论不成立→推导矛盾→否定假设,肯定原命题成立 二、证明步骤 假设:否定命题结论(准确表述)； 归谬:结合条件推理,得出矛盾(与定理/公理/已知冲突)； 结论:否定假设,原命题成立. 三、适用场景 几何命题:涉及“至少、至多”“平行性”“唯一性”； 代数命题:无理数证明、存在性命题等. 四、思想方法 逆向思维、逻辑归谬、严谨推理 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标: 1.用反证法证明“”应先假设 (　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.有如下步骤: ①,这与三角形内角和定理相矛盾; ②假设不成立,原命题成立; ③如图,假设过点不止一条直线与已知直线垂直,不妨设直线于点,直线于点; ④. 正确的顺序是　　　　. 3.给出下面的推理,其中正确的是 (　　) ①. ②. ③. ④. A.①②③　　　　B.①②④　　　　C.①③④　　　　D.②③④ 4.直线a、b、c在同一平面内,①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a∥b,b∥c,那么a∥c;③如果a∥b,b⊥c,那么a⊥c;④如果a与b相交,b与c相交,那么a与c相交.在上述四种说法中,正确的有　　　　个. 能力提升: 5.已知:如图,. 求证:. 6.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设 (　　) A.没有锐角不大于 B.至多有一个锐角大于 C.两个锐角都不大于 D.两个锐角都小于 7.如图,,则　　　　°时,. 8.如图,.求的度数. 拓展迁移: 9.用反证法证明:在中,如果、分别是边、上的点,那么、不能互相平分. 1.B 2.③④①② 解析　证明步骤为假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B, ∴∠PAB=90°,∠PBA=90°, ∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,∴假设不成立,原命题成立, 故答案为③④①②. 3.B　∵∠B=∠BEF,∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),故①正确; ∵∠B=∠CDE,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),故②正确; 由∠B+∠BEF=180°不能证明AB与EF平行,故③错误; ∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥EF(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),故④正确. ∴正确的是①②④.故选B. 4.3 解析　直线a、b、c在同一平面内, ∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c,故①正确; ∵a∥b,b∥c,∴a∥c,故②正确; ∵a∥b,b⊥c,∴a⊥c,故③正确; 由a与b相交,b与c相交不能得出a与c相交, 故④错误.故答案为3. 5.证明:∵∠B=∠BGD(已知), ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行), ∵∠BGC=∠F(已知), ∴CD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴AB∥EF(平行于同一直线的两直线互相平行), ∴∠B+∠F=180°(两直线平行,同旁内角互补). 6.A　用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设没有锐角不大于45°,故选A. 7.100 解析　当∠4=100°时,AB∥EF. 理由:如图,∵∠3=100°,∠4=100°,∴∠3=∠4, ∴DC∥EF(内错角相等,两直线平行), ∵∠1=120°,∴∠5=60°, ∵∠2=60°,∴∠2=∠5, ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行), ∴AB∥EF(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行). 8.解:∵AB∥GE,∴∠B+∠BFG=180°, ∵∠B=110°,∴∠BFG=180°-110°=70°, ∵AB∥CD,AB∥GE,∴CD∥GE,∴∠C+∠CFE=180°, ∵∠C=100°,∴∠CFE=180°-100°=80°, ∴∠BFC=180°-∠BFG-∠CFE=180°-70°-80°=30°. 9.证明:假设BN、CM能互相平分,则四边形BCNM为平行四边形,则BM∥CN,即AB∥AC,这与在△ABC中,AB、AC交于A点相矛盾, 所以BN、CM能互相平分不成立, 故BN、CM不能互相平分.
教学反思 本节课以几何命题的逆向思考导入,初步渗透反证法思想,多数学生能理解反证法的基本步骤,能完成简单命题的证明.但教学中仍存在不足:一是部分学生对“否定结论”的假设表述不准确,易出现漏设、错设的情况；二是推导矛盾时,推理过程不严谨,无法准确关联已知条件、定理得出矛盾；三是学生对反证法的适用场景判断模糊,仍习惯用直接证明法解决所有问题.后续教学需加强假设表述的专项训练,总结常见结论的否定方法,通过典型例题梳理矛盾推导的思路,对比反证法与直接证明法的适用场景,让学生体会逆向思维的价值,提升逻辑推理的严谨性.
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课题名称：4.6反证法
第四章 平行四边形
初中数学
学习目标
能准确表述反证法的假设,规范运用反证法证明简单的几何命题和数学结论,提升逆向推理和逻辑证明能力；
02
理解反证法的定义和核心思想,掌握反证法“假设—推矛盾—得结论”的三步证明步骤；
01
能区分反证法与直接证明法的适用场景,体会逆向思维在数学证明中的价值,丰富数学证明思路；
03
感受反证法在生活和数学中的应用,培养严谨的推理习惯和多角度思考问题的数学素养.
04
情景问题
1.抽奖箱有3张奖券标1、2、3,抽后不放回,已知小明抽的不是3,小红抽的是1,有人说小亮抽的一定是2,结论正确吗？用逆向思考说明理由.
结论不正确，假设 “小亮抽的一定是 2” 是对的，那小亮就不可能抽到 3。
但我们看剩下的奖券只有 2 和 3。
小明不是 3，所以小明只能是 2，
那么剩下给小亮的就只有 3。
因此：小亮抽到的一定是 3，不可能是 2。
所以 “小亮抽的一定是 2” 这个结论错误。
情景问题
2.求证:在一个三角形中,不能有两个角是直角.用逆向思考如何推导？
假设一个三角形中有两个角是直角,
不妨设,
则,
这与三角形内角和为的定理矛盾,
故假设不成立,原结论正确.
探究新知
探究一：反证法的定义
我国古代有一个叫《路边苦李》的故事:
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取李子尝了一下,果然是苦李.
探究新知
探究一：反证法的定义
思考:王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？
假设李子是甜的,
那么李子会被过路人摘去解渴,
则树上的李子会很少,
而事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾,
所以李子是苦的.
探究新知
探究一：反证法的定义
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
探究新知
总结归纳：
1.假设:假设命题结论的否定;
2.推理归谬:将假设作为条件,与原命题的条件一起,进行正确的推理,推出矛盾的结果;
3.得出结论:否定假设,肯定原命题结论是正确的.
探究新知
探究二：反证法的简单应用
证明:假设四边形 中没有一个角是钝角或直角,
即∠ <90°,∠ <90°,∠ <90°,∠ <90°,
于是∠ +∠ +∠ +∠ <360°.
这与“四边形的内角和为360°”矛盾.
所以四边形 中至少有一个角是钝角或直角.
例1 求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角.
已知:四边形(图).
求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角.
探究新知
方法总结：
1.假设技巧:针对“至少有一个”“至多有一个”等结论,否定时需准确表述(如“至少一个”否定为“一个没有”)；
2.矛盾方向:优先关联已知定理(如四边形内角和、三角形内角和),通过推导与定理冲突的结论完成归谬；
3.步骤规范:严格遵循“假设—推理—矛盾—结论”四环节,几何证明需标注依据(定理、定义等).
探究新知
探究三：反证法的综合应用
合作学习:求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你会选择哪一种证明方法
(2)如果你选择反证法,先怎样假设？结果与什么产生矛盾
(请与你的同伴交流)
已知:,
求证
探究新知
探究三：反证法的综合应用
(1)证明:如图:
,
(两直线平行,同位角相等),
,
(两直线平行,同旁内角互补),
(等量代换),
(同旁内角互补,两直线平行),
探究新知
探究三：反证法的综合应用
(2)证明:假设不成立,
即这两条直线相交,设交点为,
因为,
所以过点有两条直线,都与平行,
这与平行公理“经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾,
因此假设不成立,即成立.
探究新知
方法总结：
1.适用场景:当直接证明难以构造条件、涉及“唯一性”“平行性”“不存在性”命题时,优先选用反证法；
2.矛盾核心:推导时聚焦与公理(如平行公理)、已知条件或已证定理的冲突,确保矛盾指向明确；
3.方法对比:直接证明侧重“正向推导”,反证法侧重“逆向归谬”,需根据命题特征灵活选择.
课堂练习
1.用反证法证明命题“如图,如果,,那么”时,第一步是( )
A.假设不平行于 B.假设不平行于
C.假设 D.假设不平行于
2.用反证法证明“若,则”时,首先应假设( )
A.B.C.D.
3.已知在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论,可假设( )
A.∠A=∠BB.AB=ACC.∠B=∠CD.∠A=∠C
D
B
C
课堂练习
4.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应假设直角三角形中( )
A.两锐角都大于45° B.有一个锐角不大于45°
C.有一个锐角大于45° D.两锐角都不大于45°
5.如图,直线被所截,是同位角,且.求证:不平行于.
证明:假设 ,则 ,这与 相矛盾,所以 不成立,所以a不平行于b.
A
假设
课堂练习
证明:假设是直角三角形.
,,
这与已知矛盾,
不是直角三角形.
6.如图,在△ABC中,,,且.求证:不是直角三角形(请用反证法证明).
课堂练习
证明:假设不平行,则相交,设交点为,
则过点有两条直线垂直于,
这与“在同一平面内,过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”矛盾,
假设不成立,
.
7.如图,已知在同一平面内,,用反证法证明:.
课堂练习
证明:已知:如图,是的一个外角.
求证:.
8.用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和(写出已知,求证和证明).
证明:假设,
在中,,
.
,,
,这与邻补角的性质相矛盾,
假设不成立,
原命题成立,即.
课堂练习
9.已知任何一个有理数均可表示成的形式,且互质.求证:是一个无理数(请用反证法证明).
证明:假设是一个有理数,则存在,使(其中a,b是自然数且互质),
,,
可以被5整除,也能被整除.
设(是自然数),则,,
也能被整除,也能被整除,
与有公因数,这与互质矛盾,
假设不成立,是一个无理数.
课堂小结
知识点：
1.概念与步骤:理解反证法的定义,牢记“假设—归谬—结论”三步核心流程,掌握结论否定的准确表述方法.
2.应用能力:能运用反证法证明简单几何命题(如四边形角的性质)与综合命题(如平行线性质),明确矛盾推导的方向与依据.
3.方法选择:区分反证法与直接证明的适用场景,能根据命题特征灵活选择证明方法,形成多样化证明思路.
4.素养落实:体会逆向思维的数学价值,强化逻辑推理的严谨性,为后续复杂命题(如圆的性质、不等式证明)的学习奠定思维基础.
知识梳理
课后提升
1.用反证法证明“”应先假设 (　　)
A.　　B. C.　　　　D.
2.用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.有如下步骤:
①,这与三角形内角和定理相矛盾;
②假设不成立,原命题成立;
③如图,假设过点不止一条直线与已知直线垂直,不妨设直线于点,直线于点;
④.
正确的顺序是　　　　.
基础作业：
B
③④①②
课后提升
3.给出下面的推理,其中正确的是 (　　)
①;②.
③;④.
A.①②③　　　　B.①②④　　　　C.①③④　　　　D.②③④
4.直线在同一平面内,①如果,那么;②如果,那么;③如果,那么;④如果与相交,与相交,那么a与c相交.在上述四种说法中,正确的有　　　　个.
基础作业：
B
3
课后提升
能力提升：
证明:(已知),
(内错角相等,两直线平行),
(已知),
(同位角相等,两直线平行),
(平行于同一直线的两直线互相平行),
(两直线平行,同旁内角互补).
5.已知:如图,.
求证:.
课后提升
能力提升：
6.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设 (　　)
A.没有锐角不大于 B.至多有一个锐角大于
C.两个锐角都不大于 D.两个锐角都小于
7.如图,,则　　　　°时,.
A
100
课后提升
能力提升：
解:,,
,,
,
,,
,,
.
8.如图,.求的度数.
课后提升
拓展作业
证明:假设,CM能互相平分,则四边形为平行四边形,
则,即,
这与在中,交于点相矛盾,
所以能互相平分不成立,
故不能互相平分.
9.用反证法证明:在中,如果,分别是边,上的点,那么,不能互相平分.
Thanks!
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分课时学案
课题 4.6反证法 单元 四 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解反证法的定义和核心思想,掌握反证法“假设—推矛盾—得结论”的三步证明步骤； 2.能准确表述反证法的假设,规范运用反证法证明简单的几何命题和数学结论,提升逆向推理和逻辑证明能力； 3.能区分反证法与直接证明法的适用场景,体会逆向思维在数学证明中的价值,丰富数学证明思路； 4.感受反证法在生活和数学中的应用,培养严谨的推理习惯和多角度思考问题的数学素养.
重点 1.理解反证法的定义和“假设—推矛盾—得结论”的证明步骤； 2.能规范运用反证法证明简单的几何命题和数学结论.
难点 准确提出反证法的假设,能严谨推导并找出与已知条件、定义、定理等的矛盾,把握反证法的适用场景.
教学过程
导入新课 情景问题 抽奖箱有3张奖券标1、2、3,抽后不放回,已知小明抽的不是3,小红抽的是1,有人说小亮抽的一定是2,结论正确吗？用逆向思考说明理由. 求证:在一个三角形中,不能有两个角是直角.用逆向思考如何推导？
新知讲解 探究活动一:反证法的定义 我国古代有一个叫《路边苦李》的故事: 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取李子尝了一下,果然是苦李. 视频导入： 思考:王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？ 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 总结归纳: 探究活动二:反证法的简单应用 例1 求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角. 已知:四边形(图). 求证:四边形中至少有一个角是钝角或直角. 方法总结: 探究活动三:反证法的综合应用 合作学习:求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你会选择哪一种证明方法 (2)如果你选择反证法,先怎样假设？结果与什么产生矛盾 (请与你的同伴交流) 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.用反证法证明命题“如图,如果,,那么”时,第一步是( ) A.假设不平行于 B.假设不平行于 C.假设 D.假设不平行于 2.用反证法证明“若,则”时,首先应假设( ) A.B.C.D. 3.已知在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论,可假设( ) A.∠A=∠BB.AB=ACC.∠B=∠CD.∠A=∠C 4.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应假设直角三角形中( ) A.两锐角都大于45° B.有一个锐角不大于45° C.有一个锐角大于45° D.两锐角都不大于45° 5.如图,直线a,b被c所截,∠1,∠2是同位角,且∠1≠∠2.求证:a不平行于b. 证明:假设,则,这与相矛盾,所以不成立,所以a不平行于b. 6.如图,在△ABC中,,,且.求证:不是直角三角形(请用反证法证明). 7.如图,已知在同一平面内,,用反证法证明:. 8.用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和(写出已知,求证和证明). 9.已知任何一个有理数均可表示成的形式,且a,b互质.求证:是一个无理数(请用反证法证明).
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.用反证法证明“”应先假设 (　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.有如下步骤: ①,这与三角形内角和定理相矛盾; ②假设不成立,原命题成立; ③如图,假设过点不止一条直线与已知直线垂直,不妨设直线于点,直线于点; ④. 正确的顺序是　　　　. 3.给出下面的推理,其中正确的是 (　　) ①. ②. ③. ④. A.①②③　　　　B.①②④　　　　C.①③④　　　　D.②③④ 4.直线a、b、c在同一平面内,①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a∥b,b∥c,那么a∥c;③如果a∥b,b⊥c,那么a⊥c;④如果a与b相交,b与c相交,那么a与c相交.在上述四种说法中,正确的有　　　　个. 能力提升: 5.已知:如图,. 求证:. 6.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设 (　　) A.没有锐角不大于 B.至多有一个锐角大于 C.两个锐角都不大于 D.两个锐角都小于 7.如图,,则　　　　°时,. 8.如图,.求的度数. 拓展迁移: 9.用反证法证明:在中,如果、分别是边、上的点,那么、不能互相平分.
参考答案：
1.结论不正确，假设 “小亮抽的一定是 2” 是对的，那小亮就不可能抽到 3。
但我们看剩下的奖券只有 2 和 3。
小明不是 3，所以小明只能是 2，
那么剩下给小亮的就只有 3。
因此：小亮抽到的一定是 3，不可能是 2。
所以 “小亮抽的一定是 2” 这个结论错误。
2.假设一个三角形中有两个角是直角,不妨设,则,这与三角形内角和为的定理矛盾,故假设不成立,原结论正确.
探究一：
假设李子是甜的,
那么李子会被过路人摘去解渴,
则树上的李子会很少,
而事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾,
所以李子是苦的.
探究二：
证明:假设四边形中没有一个角是钝角或直角,
即,
于是.
这与“四边形的内角和为”矛盾.
所以四边形中至少有一个角是钝角或直角.
探究三：
(1)证明:如图:
,
(两直线平行,同位角相等),
,
(两直线平行,同旁内角互补),
(等量代换),
(同旁内角互补,两直线平行),
(2)已知:,
求证
证明:假设不成立,
即这两条直线相交,设交点为,
因为,
所以过点有两条直线,都与平行,
这与平行公理“经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾,
因此假设不成立,即成立.
课堂练习：
1.D;2.B;3.C;4.A;
5.a//b,∠1=∠2,∠1≠∠2,假设；
6.证明:假设△ABC是直角三角形.
∵c＞a＞b,∴c2=a2＋b2,
这与已知b2＋a2≠c2矛盾,
∴△ABC不是直角三角形.
7.证明:假设a,b不平行,则a,b相交,设交点为P,则过点P有两条直线垂直于c,这与“在同一平面内,过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”矛盾,
∴假设不成立,∴a∥b.
8.证明:已知:如图,∠1是△ABC的一个外角.
求证:∠1=∠A＋∠B.
证明:假设∠1≠∠A＋∠B,
在△ABC中,∠A＋∠B＋∠2=180°,
∴∠A＋∠B=180°－∠2.
∵∠1≠∠A＋∠B,
∴∠1≠180°－∠2,
∴∠1＋∠2≠180°,这与邻补角的性质相矛盾,
∴假设不成立,
∴原命题成立,即∠1=∠A＋∠B.
9.证明:假设是一个有理数,则存在a,b,使(其中a,b是自然数且互质),
∴5=,∴b2=5a2,
∴b2可以被5整除,∴b也能被5整除.
设b=5p(p是自然数),
则5a2=b2=25p2,∴a2=5p2,
∴a2也能被5整除,∴a也能被5整除,
∴a与b有公因数5,
这与a,b互质矛盾,
∴假设不成立,∴是一个无理数.
课后提升：
1.B
2.③④①②
解析　证明步骤为假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B,
∴∠PAB=90°,∠PBA=90°,
∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,∴假设不成立,原命题成立,
故答案为③④①②.
3.B　∵∠B=∠BEF,∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),故①正确;
∵∠B=∠CDE,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),故②正确;
由∠B+∠BEF=180°不能证明AB与EF平行,故③错误;
∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥EF(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),故④正确.
∴正确的是①②④.故选B.
4.3
解析　直线a、b、c在同一平面内,
∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c,故①正确;
∵a∥b,b∥c,∴a∥c,故②正确;
∵a∥b,b⊥c,∴a⊥c,故③正确;
由a与b相交,b与c相交不能得出a与c相交,
故④错误.故答案为3.
5.证明　∵∠B=∠BGD(已知),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),
∵∠BGC=∠F(已知),
∴CD∥EF(同位角相等,两直线平行),
∴AB∥EF(平行于同一直线的两直线互相平行),
∴∠B+∠F=180°(两直线平行,同旁内角互补).
6.A　用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设没有锐角不大于45°,故选A.
7.100
解析　当∠4=100°时,AB∥EF.
理由:如图,∵∠3=100°,∠4=100°,∴∠3=∠4,
∴DC∥EF(内错角相等,两直线平行),
∵∠1=120°,∴∠5=60°,
∵∠2=60°,∴∠2=∠5,
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
∴AB∥EF(在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).
8.解析　∵AB∥GE,∴∠B+∠BFG=180°,
∵∠B=110°,∴∠BFG=180°-110°=70°,
∵AB∥CD,AB∥GE,∴CD∥GE,∴∠C+∠CFE=180°,
∵∠C=100°,∴∠CFE=180°-100°=80°,
∴∠BFC=180°-∠BFG-∠CFE=180°-70°-80°=30°.
9.解析　已知:在△ABC中,M、N分别是边AB、AC上的点.
求证:BN、CM不能互相平分.
证明:假设BN、CM能互相平分,则四边形BCNM为平行四边形,则BM∥CN,即AB∥AC,这与在△ABC中,AB、AC交于A点相矛盾,
所以BN、CM能互相平分不成立,
故BN、CM不能互相平分.
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