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沪科版数学九年级下册24.4直线与圆的位置关系解答题专项练习
一、基础夯实
1．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径长．
2． 如图， AB是⊙O的直径， C是 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.
（1） 求证： △ACE∽△ABC；
（2） 求证： CE 是⊙O的切线；
（3） 若 求阴影部分的面积.
3．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E．
（1）求证：是的角平分线；
（2）若，．
①求的半径；
②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 的平分线交⊙O于点D， 于点E.
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）过点 D 作. 于点F，若 求图中阴影部分的面积.
5．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
6．如图，是的直径，弦与相交于点P，若．
（1）如图①，求的度数；
（2）如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点E，若，求的度数．
7．如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
8．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
9．如图，内接于圆，是圆的直径，是圆的切线，是圆上的一点，的延长线于点，与交于点，若圆的半径为，时，求的长．
10．如图，AB是的直径，点C是外一点，点D在上，且，连接CD交于点E．过点E作于点H，交BD于点G，交于点F，且．
（1）求证：CB是的切线；
（2）连接BE，若，，求BE的长和的半径．
11．如图1，在中，，，经过A，C两点的交于点D，连接并延长交于点 F，作交于点E.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应，连接，求的大小.
二、提升拓展
12．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，的平分线AE交⊙O于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，，求BC的长．
13．如图，是的直径，弦于点，是上的一点，，的延长线交于一点．
（1）求证：．
（2）过作的切线，交的延长线于点，与交于点，若，点是的中点时，，求的长．
14．如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
15．如1图，是直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作，交于点E，连接．
（1）连接，求证：垂直平分．
（2）如2图，过点D作的切线交的延长线于点F，连接交于点M，连接，若且，求的长．
16．如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为
（1）当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度；
（2）若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标．
三、创新应用
17．如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
（1）求证：为的切线；
（2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
18．【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？
小明探究后发现，当直线l时，的长最小．
请帮小明证明该结论：
【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______．
【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______．
（4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．
（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ；
② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；
（2）已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．
20．如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出尺度的直尺．不可能把这个角三等分．其实，在数学上，从未没有不允许使用其他工具来三等分一个角度．为了实现这一目的．人们想出了很多机械工具，并把这种工具称为三分角器，我们每个人都可以制作出这样一个三分角器，用厚纸板或者薄铁片都可以，这样，绘图的时候就可以使用它了．如图所示的阴影部分就是一个实际大小的三分角器，其简图如图2所示．已知A、B、O三点共线，其中，，以点O为圆心，为直径作圆，直线与相切于点B，的顶点S放到这个三分角器的直线上，的一边过点A、另一边与相切于点N，与相交于点Q．
（1）求证：
（2）连接，如果，求的值；
（3）连接，记，，的面积分别为，，，若，1，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接，如下图所示，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵过半径的外端点B，
∴与相切；
（2）解：设，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半径长为．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到，即可证明，进而得到证明结论；
（2）设，则，在中利用勾股定理求出AD长，然后根据平行推出，利根据对应边成比例解答即可．
2．【答案】（1）证明： ∵C是 的中点，
∴，
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC。
（2）证明： 连接OC， 如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
由（1） 知： ∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，即∠E=90°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE 是⊙O的切线。
（3）解：连接OD， 过点O作OF⊥AD于点F， 如图，
则
∵AD=2CE，
∴AF=CE.
∵OF⊥AD， CE⊥AE， OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF=CE，
∴OF=AF，
则△AFO 为等腰直角三角形，
，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠FAO=45°，
∴∠AOD=90°.
S扇形
∴阴影部分的面积=
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；扇形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先利用等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC；然后利用圆周角定理综合得出∠AEC=∠ACB=90°，此时利用AA即可得出△ACE∽△ABC；
（2）结合圆的性质以及等腰三角形的性质，得出∠OAC=∠OCA，结合（1）中的等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC，因此综合得出∠EAC=∠OCA，此时利用“内错角相等、两直线平行”推出OC∥AE，再依据“两直线平行、同旁内角互补”综合推出OC⊥CE.，最后依据切线的判断即可得出答案；
（3）做辅助线后，依据垂径定理得出然后结合矩形判定条件得出四边形EFOC为矩形，从而综合推出OF=AF，此时即可得出△AFO 为等腰直角三角形，继而依据等腰直角三角形的性质得出，依据圆的性质以及等腰三角形的性质得出∠ODA=∠FAO=45°，从而计算出∠AOD=90°，这时阴影部分的面积可以看成是扇形OAD的面积减去△OAD的面积，最后代入计算即可。
3．【答案】（1）证明：连接，
∵直线与相切，
∴．
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：①设，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得；
②在中，，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴阴影总分的面积为．
【知识点】三角形的面积；切线的性质；扇形面积的计算；角平分线的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，进而证明OD//AC，得到∠CAD=∠ODA，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠OAD，即可证明AD是∠BAC的角平分线；
(2)①设OA=OD=r，根据30度角的性质得到OB=2r，AB=2AC=6，可得3r=6，求解即可；
②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积.
4．【答案】（1）解：DE与⊙O相切.理由：
如图，连结DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切
（2）解：∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∵sin∠DBF= = ，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
则
故图中阴影部分的面积为
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连结DO，根据等边对等角和角平分线的定义得到∠EBD=∠BDO，即可得到DO∥BE，然后证明∠DEB=∠EDO=90°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF=3，然后根据勾股定理求出BD长，再根据正弦的定义求出∠DBA的度数，进而求出DO长，再根据扇形OAD的面积－△ODF的面积求出阴影部分面积即可.
5．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为5．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，则，由直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，由切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，由正切定义可得，根据勾股定理可得BP，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
6．【答案】（1）解：如图①，连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
（2）解：如图②，连接．
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据直径所对的圆周角为直角得，然后由直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理得， 根据切线的性质得， 根据等腰三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠EPC=∠DAP+∠ADC可求解.
7．【答案】（1）证明：连接OD，如图：
，∠EAD+∠BAD=180°，
，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠BDF=∠ODA，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDO=∠BDF+∠ODB=∠ODB+∠ODA=∠ADB=90°，
，
是半径，
为的切线；
（2）解：连接AC，如图，
为的直径，
，
，
，
，
设半径为，则，
在中，
，即，
解得，
的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由同角的补角相等得∠BDF=∠BAD，由等边对等角及等量代换得∠BDF=∠ODA，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据角的和差及等量代换可得∠FDO=90°，从而根据切线的判定定理可得EF是圆O的切线；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而易得AC∥EF，由平行线性质及同弧所对的圆周角相等得∠E=∠BAC=∠BDC，设圆的半径为r，则OE=10-r，在Rt△EOD中，由∠E得正弦函数及等角得同名三角函数值相等可建立出关于字母r的方程，求解可得答案.
8．【答案】（1）证明：∵AB为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
即.
（2）解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用直径所对的圆周角的性质可得，再结合OE//BC，可得，从而可证出；
（2）连接，先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BC的长即可.
9．【答案】解：∵是的直径，的半径为，
∴，，
∵，
∴，
∵是圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先求出AC的长，再利用切线的性质可得，根据，可得，求出AE的长，最后利用勾股定理求出即可．
10．【答案】（1）证明：如图所示：
∵，，∴，∴，
在中，，∴，∴，∴，
∴，∵于点H，
∴，∴，又∵AB是的直径，∴CB是的切线；
（2）解：连接AE，DF，
在中，，
又∵，∴，
∴（AAS），∴，则，
在中于点H，∴弧BE=弧BF，，C
∴，∵，
∴，∴，∴，∵，∴，
在中，，
∵AB是的直径，∴，
∴，∴，
∴，∴．
∴， 半径为．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查切线证明，全等三角形性质与判定，三角形相似性质与判定．
（1）根据，，利用角的运算可推出，根据可得，利用等量代换可得：，再结合可求出 ，进而证明结论；
（2）连接，，利用已知条件可证明，结合可得，，进而证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可求出，在中利用勾股定理可求出，最后根据，代入数据可求出答案．
11．【答案】（1）证明：连接，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：如图 2，作，垂足为M，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∵，，，，
∴，，
∵在中，，，
∴；
（3）解：如图3，连接，由题意可知，，
∵，
，
∴，
∵在与中，
，，，
∴，
∵，
∴，
即.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作，垂足为M，根据等腰直角三角形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）连接，由题意可知，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切
（2）解：如图，连接BE．
∵AB为⊙O直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，则．
又∵，
在中，，即：，
解得，则，
∴，
解得，，
∵，为公共角，
∴，
∴，
设，
∴，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴BC的长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接BE，根据圆周角定理可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据正切定义可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据边之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，代值计算即可求出答案.
13．【答案】（1）证明：连接，如下图所示：
是的直径，弦，
，
，
四边形内接于，
，
即；
（2）解：，，
，
是的直径，弦，，
，
在中，，
即，
，
由勾股定理得：，
为的切线，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
设，则，
，
∽，
：：，
即：：，
解得：，即，
在中，由勾股定理得：．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质；切线的性质；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）连接AD后，通过垂径定理可得，根据等弧所对圆周角相等，即可得，再利用圆内接四边形得性质即可证明；
（2）根据利用正切的定义可得；根据垂径定理可得，利用正切的定义可求得；根据勾股定理即可求得AD；结合切线的性质以及点G为的中点，可得；设，则，利用相似三角形的性质建立比例关系即可求解x的值，利用勾股定理最终求出MK的长度.
14．【答案】（1）证明：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到，即可证得到结论；
（2）连接，即可得到，然后得到AB=DC，根据正弦计算解答即可．
（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
15．【答案】（1）证明：如下图所示，设交于点F，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：如下图所示，设交于点N，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）设交于点F，根据圆周角定理可得，再根据直线平行性质可得，子啊根据圆周角定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据线段垂直平分线判定定理即可求出答案.
（2）设交于点N，根据垂直平分线性质可得，，则，即，再根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线性质可得，再根据边之间的关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如下图所示，设交于点F，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：如下图所示，设交于点N，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
16．【答案】（1）解：过点A作于F，连接，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
∴，
的长度为；
（2）解：设与直线相切于点H，连接，
设点A的坐标为，
则，
，
，
∽，
，
，
，
或1，
点A的坐标为或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)过点A作AF⊥BC于F，连接AD，AE，由三线合一的性质得出EF=DF，由等面积法得出AF，再根据勾股定理求出DF，进而可求出DE；
(2)设⊙A与直线BC相切于点H，连接AH，设点A的坐标为(m，0)，则AH⊥BC，证明△BOC~△BHA，由相似三角形的性质得出，代数数值计算即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AE=8，则，根据垂径定理可得，，根据弧长之间的关系可得，再根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
18．【答案】解：（1）存在最小值，理由：证明：连接，如图1：
∵是的切线，
∴，
∴，其中为常数，
故当直线l时，最小，此时最小；
（2）；（3）；
（4）设直线和x轴正方向的夹角为，
设点，过点作于点，
∴，
则，
如图，过点A作直线l，
∴
∴，
∵为的切线，
∴，
∴面积，
∵
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
当直线l时，即点P、N重合时，最小，
此时，
∵，，
∴，
即，
解得：或
【知识点】切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）连接，如图：
由（1）知，，
∴当最小时，取得最小值，
∴当点P和点C重合时，为最小，此时，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，
故
故答案为：；
（3）直线向下平移5个单位得到直线，
当，当，，
解得：，
∴点C、D的坐标分别为：，
∴，
设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接，
∴，
∴，
对于直线，当，
∴，
∴，
∴，
而的最小值，
∴同上可得：，
∵四边形面积最小值，
故答案为：；
【分析】（1）根据切线的性质，利用勾股定理表示AP长，即可得到AP的值随着OP的值变化而变化，然后得到最小值即可；
（2）当点P和点C重合时，为最小，这时求得PE长，当点P和点B重合时，为最大，求出PE长解题即可解；
（3）根据四边形面积最小值解答即可；
（4）先得到面积，根据，即可得到，进而求出PA2的取值范围即可．
19．【答案】（1）解：①；
②∵直线：与x轴夹角为，
∴线段直线，
∴线段关于直线的对称线段还在直线上，不可能是的弦，
∵的最长的弦即直径为4，
，
∴线段的对称线段不可能是的弦；
∵线段直线，且，
∴线段的对称线段可以是的弦．
线段的对称线段，
且．
如图，平移线段使之成为的弦，有两种情况：
(ⅰ)，的坐标分别为，，此时；
(ⅱ)，的坐标分别为，，此时．
综上所述，或3．
（2）m的最大值为，；m的最小值为，．
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①如图所示：
∴以直线：为轴的的“关联线段”是；
故答案为：；
（2）画与关于直线：对称，
∵，
以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，
∵与关于直线对称，
则与至少有一个交点，如图所示，
此时m取得最小值；
此时m取得最大值；
把代入直线：得：，
∴点A的坐标为，
∵与至少有一个交点，
∴，
解得：，
∴m的最大值为，m的最小值为；
连接、、，过点C作，如图所示，
∵，的半径为2，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
连接、、，过点C作如图所示，
∵，的半径为2，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【分析】
（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断直线，的最长的弦即直径为4，可排除，，所以成为的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论，即可得出b的值，解答即可；
（2）画与关于直线：对称，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，再通过勾股定理即可求出，解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵与相切于点N，
∴，又，，
∴，
∴，即，
∴
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
∴，整理得，
∴，
解得，或（舍去），
∴（负值已舍去），
∴
（3）解：如图2，连接、，过Q作于T，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由（2）知，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得或，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）分别得到，，即可得到，进而得到结论即可；
（2）根据全等得到，即可得到，根据对应边成比例得到，求得的值即可求出正切；
（3）连接、，过Q作于T，即可得到，根据对应边成比例得到得到，，然后推导得到，求出，，进而得到，根据题意列方程求出OS解题即可．
（1）证明：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵与相切于点N，
∴，又，，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
∴，整理得，
∴，
解得，或（舍去），
∴（负值已舍去），
∴；
（3）解：如图2，连接、，过Q作于T，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由（2）知，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得或，
∵，
∴，
∴．
1 / 1沪科版数学九年级下册24.4直线与圆的位置关系解答题专项练习
一、基础夯实
1．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）证明：连接，如下图所示，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵过半径的外端点B，
∴与相切；
（2）解：设，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半径长为．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到，即可证明，进而得到证明结论；
（2）设，则，在中利用勾股定理求出AD长，然后根据平行推出，利根据对应边成比例解答即可．
2． 如图， AB是⊙O的直径， C是 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.
（1） 求证： △ACE∽△ABC；
（2） 求证： CE 是⊙O的切线；
（3） 若 求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明： ∵C是 的中点，
∴，
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC。
（2）证明： 连接OC， 如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
由（1） 知： ∠EAC=∠BAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，即∠E=90°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE 是⊙O的切线。
（3）解：连接OD， 过点O作OF⊥AD于点F， 如图，
则
∵AD=2CE，
∴AF=CE.
∵OF⊥AD， CE⊥AE， OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF=CE，
∴OF=AF，
则△AFO 为等腰直角三角形，
，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠FAO=45°，
∴∠AOD=90°.
S扇形
∴阴影部分的面积=
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；扇形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先利用等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC；然后利用圆周角定理综合得出∠AEC=∠ACB=90°，此时利用AA即可得出△ACE∽△ABC；
（2）结合圆的性质以及等腰三角形的性质，得出∠OAC=∠OCA，结合（1）中的等弧所对的圆周角相等得出∠EAC=∠BAC，因此综合得出∠EAC=∠OCA，此时利用“内错角相等、两直线平行”推出OC∥AE，再依据“两直线平行、同旁内角互补”综合推出OC⊥CE.，最后依据切线的判断即可得出答案；
（3）做辅助线后，依据垂径定理得出然后结合矩形判定条件得出四边形EFOC为矩形，从而综合推出OF=AF，此时即可得出△AFO 为等腰直角三角形，继而依据等腰直角三角形的性质得出，依据圆的性质以及等腰三角形的性质得出∠ODA=∠FAO=45°，从而计算出∠AOD=90°，这时阴影部分的面积可以看成是扇形OAD的面积减去△OAD的面积，最后代入计算即可。
3．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E．
（1）求证：是的角平分线；
（2）若，．
①求的半径；
②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
【答案】（1）证明：连接，
∵直线与相切，
∴．
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：①设，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得；
②在中，，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴阴影总分的面积为．
【知识点】三角形的面积；切线的性质；扇形面积的计算；角平分线的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，进而证明OD//AC，得到∠CAD=∠ODA，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠OAD，即可证明AD是∠BAC的角平分线；
(2)①设OA=OD=r，根据30度角的性质得到OB=2r，AB=2AC=6，可得3r=6，求解即可；
②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积.
4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， 的平分线交⊙O于点D， 于点E.
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）过点 D 作. 于点F，若 求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：DE与⊙O相切.理由：
如图，连结DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切
（2）解：∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∵sin∠DBF= = ，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
则
故图中阴影部分的面积为
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连结DO，根据等边对等角和角平分线的定义得到∠EBD=∠BDO，即可得到DO∥BE，然后证明∠DEB=∠EDO=90°，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到DE=DF=3，然后根据勾股定理求出BD长，再根据正弦的定义求出∠DBA的度数，进而求出DO长，再根据扇形OAD的面积－△ODF的面积求出阴影部分面积即可.
5．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为5．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，则，由直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，由切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，由正切定义可得，根据勾股定理可得BP，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
6．如图，是的直径，弦与相交于点P，若．
（1）如图①，求的度数；
（2）如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点E，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图①，连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
（2）解：如图②，连接．
∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据直径所对的圆周角为直角得，然后由直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）连接，根据圆周角定理得， 根据切线的性质得， 根据等腰三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠EPC=∠DAP+∠ADC可求解.
7．如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图：
，∠EAD+∠BAD=180°，
，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠BDF=∠ODA，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDO=∠BDF+∠ODB=∠ODB+∠ODA=∠ADB=90°，
，
是半径，
为的切线；
（2）解：连接AC，如图，
为的直径，
，
，
，
，
设半径为，则，
在中，
，即，
解得，
的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由同角的补角相等得∠BDF=∠BAD，由等边对等角及等量代换得∠BDF=∠ODA，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据角的和差及等量代换可得∠FDO=90°，从而根据切线的判定定理可得EF是圆O的切线；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而易得AC∥EF，由平行线性质及同弧所对的圆周角相等得∠E=∠BAC=∠BDC，设圆的半径为r，则OE=10-r，在Rt△EOD中，由∠E得正弦函数及等角得同名三角函数值相等可建立出关于字母r的方程，求解可得答案.
8．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
即.
（2）解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用直径所对的圆周角的性质可得，再结合OE//BC，可得，从而可证出；
（2）连接，先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BC的长即可.
9．如图，内接于圆，是圆的直径，是圆的切线，是圆上的一点，的延长线于点，与交于点，若圆的半径为，时，求的长．
【答案】解：∵是的直径，的半径为，
∴，，
∵，
∴，
∵是圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先求出AC的长，再利用切线的性质可得，根据，可得，求出AE的长，最后利用勾股定理求出即可．
10．如图，AB是的直径，点C是外一点，点D在上，且，连接CD交于点E．过点E作于点H，交BD于点G，交于点F，且．
（1）求证：CB是的切线；
（2）连接BE，若，，求BE的长和的半径．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵，，∴，∴，
在中，，∴，∴，∴，
∴，∵于点H，
∴，∴，又∵AB是的直径，∴CB是的切线；
（2）解：连接AE，DF，
在中，，
又∵，∴，
∴（AAS），∴，则，
在中于点H，∴弧BE=弧BF，，C
∴，∵，
∴，∴，∴，∵，∴，
在中，，
∵AB是的直径，∴，
∴，∴，
∴，∴．
∴， 半径为．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查切线证明，全等三角形性质与判定，三角形相似性质与判定．
（1）根据，，利用角的运算可推出，根据可得，利用等量代换可得：，再结合可求出 ，进而证明结论；
（2）连接，，利用已知条件可证明，结合可得，，进而证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可求出，在中利用勾股定理可求出，最后根据，代入数据可求出答案．
11．如图1，在中，，，经过A，C两点的交于点D，连接并延长交于点 F，作交于点E.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长；
（3）如图2，将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应，连接，求的大小.
【答案】（1）证明：连接，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：如图 2，作，垂足为M，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∵，，，，
∴，，
∵在中，，，
∴；
（3）解：如图3，连接，由题意可知，，
∵，
，
∴，
∵在与中，
，，，
∴，
∵，
∴，
即.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据直线平行性质可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作，垂足为M，根据等腰直角三角形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）连接，由题意可知，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
二、提升拓展
12．如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，的平分线AE交⊙O于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，，求BC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切
（2）解：如图，连接BE．
∵AB为⊙O直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，则．
又∵，
在中，，即：，
解得，则，
∴，
解得，，
∵，为公共角，
∴，
∴，
设，
∴，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴BC的长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接BE，根据圆周角定理可得，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据正切定义可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据边之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，代值计算即可求出答案.
13．如图，是的直径，弦于点，是上的一点，，的延长线交于一点．
（1）求证：．
（2）过作的切线，交的延长线于点，与交于点，若，点是的中点时，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如下图所示：
是的直径，弦，
，
，
四边形内接于，
，
即；
（2）解：，，
，
是的直径，弦，，
，
在中，，
即，
，
由勾股定理得：，
为的切线，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
设，则，
，
∽，
：：，
即：：，
解得：，即，
在中，由勾股定理得：．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质；切线的性质；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）连接AD后，通过垂径定理可得，根据等弧所对圆周角相等，即可得，再利用圆内接四边形得性质即可证明；
（2）根据利用正切的定义可得；根据垂径定理可得，利用正切的定义可求得；根据勾股定理即可求得AD；结合切线的性质以及点G为的中点，可得；设，则，利用相似三角形的性质建立比例关系即可求解x的值，利用勾股定理最终求出MK的长度.
14．如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到，即可证得到结论；
（2）连接，即可得到，然后得到AB=DC，根据正弦计算解答即可．
（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
15．如1图，是直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作，交于点E，连接．
（1）连接，求证：垂直平分．
（2）如2图，过点D作的切线交的延长线于点F，连接交于点M，连接，若且，求的长．
【答案】（1）证明：如下图所示，设交于点F，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：如下图所示，设交于点N，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）设交于点F，根据圆周角定理可得，再根据直线平行性质可得，子啊根据圆周角定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据线段垂直平分线判定定理即可求出答案.
（2）设交于点N，根据垂直平分线性质可得，，则，即，再根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线性质可得，再根据边之间的关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，由相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如下图所示，设交于点F，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：如下图所示，设交于点N，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
16．如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为
（1）当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度；
（2）若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标．
【答案】（1）解：过点A作于F，连接，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
∴，
的长度为；
（2）解：设与直线相切于点H，连接，
设点A的坐标为，
则，
，
，
∽，
，
，
，
或1，
点A的坐标为或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)过点A作AF⊥BC于F，连接AD，AE，由三线合一的性质得出EF=DF，由等面积法得出AF，再根据勾股定理求出DF，进而可求出DE；
(2)设⊙A与直线BC相切于点H，连接AH，设点A的坐标为(m，0)，则AH⊥BC，证明△BOC~△BHA，由相似三角形的性质得出，代数数值计算即可得出答案.
三、创新应用
17．如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
（1）求证：为的切线；
（2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AE=8，则，根据垂径定理可得，，根据弧长之间的关系可得，再根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
18．【问题提出】（1）小明通过“直线与圆的位置关系”的学习，已经知道过圆外一点可以作圆的两条切线．在对这一知识的学习过程进行反思时，小明突发奇想：如图1，直线l与相离，点P在直线l上运动，过点P作的切线，切点为A，则的长是否存在最小值？
小明探究后发现，当直线l时，的长最小．
请帮小明证明该结论：
【理解内化】（2）如图2，正方形的边长为4，以D为圆心，2为半径作圆．点P是边上动点，过点P作的切线，切点为E，则的取值范围为______．
【拓展应用】（3）如图3，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，P是该直线上的任一点．将直线向下平移5个单位，与交x轴和y轴分别相交D，C两点，过点D向以P为圆心，2为半径的作右侧作切线，切点为E．则四边形面积的最小值为______．
（4）在平面直角坐标系中，的半径为2，，过直线上一点P，作的切线，切点为E，最小面积为S．若．请直接写出k的取值范围．
【答案】解：（1）存在最小值，理由：证明：连接，如图1：
∵是的切线，
∴，
∴，其中为常数，
故当直线l时，最小，此时最小；
（2）；（3）；
（4）设直线和x轴正方向的夹角为，
设点，过点作于点，
∴，
则，
如图，过点A作直线l，
∴
∴，
∵为的切线，
∴，
∴面积，
∵
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
当直线l时，即点P、N重合时，最小，
此时，
∵，，
∴，
即，
解得：或
【知识点】切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）连接，如图：
由（1）知，，
∴当最小时，取得最小值，
∴当点P和点C重合时，为最小，此时，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴当点P和点B重合时，为最大，此时，为最大，
故
故答案为：；
（3）直线向下平移5个单位得到直线，
当，当，，
解得：，
∴点C、D的坐标分别为：，
∴，
设直线和的距离为h，过点B作于点M，连接，
∴，
∴，
对于直线，当，
∴，
∴，
∴，
而的最小值，
∴同上可得：，
∵四边形面积最小值，
故答案为：；
【分析】（1）根据切线的性质，利用勾股定理表示AP长，即可得到AP的值随着OP的值变化而变化，然后得到最小值即可；
（2）当点P和点C重合时，为最小，这时求得PE长，当点P和点B重合时，为最大，求出PE长解题即可解；
（3）根据四边形面积最小值解答即可；
（4）先得到面积，根据，即可得到，进而求出PA2的取值范围即可．
19．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦 (，分别是B，C的对应点)，则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如，图1中线段是以直线l为轴的的“关联线段”．
（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．
① 在线段，，中，以直线：为轴的的“关联线段”是 ；
② 在线段，，中，存在以直线：为轴的的“关联线段”，求b的值；
（2）已知直线：交x轴于点A．在中，，，若线段是以直线为轴的的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的的长．
【答案】（1）解：①；
②∵直线：与x轴夹角为，
∴线段直线，
∴线段关于直线的对称线段还在直线上，不可能是的弦，
∵的最长的弦即直径为4，
，
∴线段的对称线段不可能是的弦；
∵线段直线，且，
∴线段的对称线段可以是的弦．
线段的对称线段，
且．
如图，平移线段使之成为的弦，有两种情况：
(ⅰ)，的坐标分别为，，此时；
(ⅱ)，的坐标分别为，，此时．
综上所述，或3．
（2）m的最大值为，；m的最小值为，．
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①如图所示：
∴以直线：为轴的的“关联线段”是；
故答案为：；
（2）画与关于直线：对称，
∵，
以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，
∵与关于直线对称，
则与至少有一个交点，如图所示，
此时m取得最小值；
此时m取得最大值；
把代入直线：得：，
∴点A的坐标为，
∵与至少有一个交点，
∴，
解得：，
∴m的最大值为，m的最小值为；
连接、、，过点C作，如图所示，
∵，的半径为2，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
连接、、，过点C作如图所示，
∵，的半径为2，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【分析】
（1）①根据题中定义即可画图得出；②通过判断直线，的最长的弦即直径为4，可排除，，所以成为的弦，根据圆的对称性，分两种情况讨论，即可得出b的值，解答即可；
（2）画与关于直线：对称，以点A为圆心，6为半径画，则与至少有一个交点，才能满足题目条件，画出图形即可求出m的最大值和最小值，再通过勾股定理即可求出，解答即可．
20．如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出尺度的直尺．不可能把这个角三等分．其实，在数学上，从未没有不允许使用其他工具来三等分一个角度．为了实现这一目的．人们想出了很多机械工具，并把这种工具称为三分角器，我们每个人都可以制作出这样一个三分角器，用厚纸板或者薄铁片都可以，这样，绘图的时候就可以使用它了．如图所示的阴影部分就是一个实际大小的三分角器，其简图如图2所示．已知A、B、O三点共线，其中，，以点O为圆心，为直径作圆，直线与相切于点B，的顶点S放到这个三分角器的直线上，的一边过点A、另一边与相切于点N，与相交于点Q．
（1）求证：
（2）连接，如果，求的值；
（3）连接，记，，的面积分别为，，，若，1，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵与相切于点N，
∴，又，，
∴，
∴，即，
∴
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
∴，整理得，
∴，
解得，或（舍去），
∴（负值已舍去），
∴
（3）解：如图2，连接、，过Q作于T，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由（2）知，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得或，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）分别得到，，即可得到，进而得到结论即可；
（2）根据全等得到，即可得到，根据对应边成比例得到，求得的值即可求出正切；
（3）连接、，过Q作于T，即可得到，根据对应边成比例得到得到，，然后推导得到，求出，，进而得到，根据题意列方程求出OS解题即可．
（1）证明：∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∵与相切于点N，
∴，又，，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，则，
∴，整理得，
∴，
解得，或（舍去），
∴（负值已舍去），
∴；
（3）解：如图2，连接、，过Q作于T，
∴，又，
∴，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由（2）知，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得或，
∵，
∴，
∴．
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