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苏科版数学八年级下册第11章二次根式计算题专项练习
一、混合运算
1．计算：.
2．计算：．
3．计算：．
4．计算：
（1）
（2）
5．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
二、化简求值
6．已知，，求的值．
7．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）求的值．
8．已知 求 的值.
9．先化简，再求值：，其中．
10．先化简，再求值：，其中．
11．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
12．我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
（1）化简：；
（2）若，求的值；
13．已知．
（1）求的值；
（2）若为的小数部分，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
14．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）；
以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）化简______．
（2）化简：．
三、规律探索
15．观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
（1）按上面规律填空：_________________；
（2）利用以上规律计算：；
（3）求的值．
16．观察与计算：
；；
__________；__________．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；
【应用】
（1）化简：
①；
②；
（2）化简：．
17．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果．
【解决问题】
（1）仿照上面的解题过程，化简：______．
（2）计算：．
（3）已知，求的值．
18．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出_____；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）和的值哪个较大，请说明理由．
19．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）化简： ； ．
（2）计算：．
（3）已知m是正整数，，，，求m．
四、创新应用
20．阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若，则的“对偶式”为_____，__________；
（2）解方程：．
21．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：
．
因为，所以，．
再例如，求的最大值、做法如下：
解：由可知，而．
当时，分母有最小值2．所以的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
22．阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：
，
．
（1）请用以上方法化简：________；（直接填空）
（2）计算：（没有过程不给分）
（3）若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】解：原式=
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；实数的绝对值；分数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
2．【答案】解：原式
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的乘除运算，二次根式混合运算等计算求解即可。
3．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用负整数指数幂、立方根的性质、0指数幂和分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
4．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
5．【答案】（1）解：原式==
（2）解：原式==18
（3）解：×===
（4）解：原式===
（5）解：原式==2000
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【分析】根据“”计算并化简即可.
6．【答案】解：∵，，∴，，
∴.
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值；二次根式的乘法
【解析】【分析】将表示x，y的式子代入，分别求得，利用平方差公式得，分解因式xy(x+y)=；
7．【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先将已知和的值进行分母有理化化简得到，，再根据二次根式的加法法则求出x+y的值，进而根据二次根式的乘法法则及平方差公式计算出xy的值；
（2）根据完全平方公式将原式变为，再整体代入x+y与xy的值，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
8．【答案】解：
∴原式
=970.
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】先将x、y的值分母有理化，再代入原式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得.
9．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再作减法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代值并对结果进行分母有理化即可．
10．【答案】解：
．
当时，原式．

【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再将代入计算求解即可.
11．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据分母有理化化简二次根式，然后求出a-b和ab的值，然后根据完全平方公式的变形解答即可；
（2）把式子配方得到，然后代入计算解答.
12．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴原式
．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）分子分母同时乘以（4-），即可将分母中的根号去掉，进而再把分母上的有理数进行加减运算即可；
（2）首先把进行分母有理化，化简得出a= ，进而把a的值代入整式中，进行二次根式的混合运算即可。
（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴原式
．
13．【答案】（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；分母有理化；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据分母有理化化简a和b，接着根据二次根式乘法法则及加减法法则算得ab以及a-b，然后将待求式子利用配方法变形为(a-b)2+ab，最后整体代入计算即可得出答案；
（2）根据被开方数越大其算术平方根越大得出，然后根据不等式性质得出，从而得出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可；
（3）先算出m2，将目标式子变形为m2(m+2)+m2-5m+2022，然后代入m2和m，算得答案即可．
（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
14．【答案】（1）
（2）解：，
，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：.
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可.
（1）解：∵，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
．
15．【答案】（1）；；
（2）解：原式
.
（3）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；；.
【分析】（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式.
（2）把所给式子相加得，找出规律即可进行计算.
（3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果.
（1）解：，
故答案为：；；；
（2）
；
（3）
．
16．【答案】（1）①；
②；
（2）∴
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化
【解析】【解答】
解：观察与计算：
；
；
故答案为：，，
【分析】
根据二次根式的乘法运算及平方差公式计算，即可填空；
（1）根据例题示范，先确定有理化因式，再分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简即可解答；
（2）先对原式每一项进行分母有理化，再整理计算即可解答.
17．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：
【分析】（1）根据分母有理化，将分子分母同时乘以，化简即可求解．
（2）根据分母有理化，对每个式子进行化简，即可求解；
（3）对 式子进行平方，得到，再计算出，即可求解．
（1）解：
（2）解：
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
18．【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：，
理由如下：∵，，且，
∴，
∴．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：
故答案为：
【分析】
（1）观察题目中的解题过程可知：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可；
（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可求解；
（3）根据，，即可求解．
（1）解：
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：，理由如下：
∵，，且，
∴，
∴．
19．【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
（3）解：，
，
，，
可得，
解得．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：；，
故答案为：；；
【分析】（1）由题意，仿照阅读材料即可求解；
（2）由题意，将括号内的各式分母有理化，再合并同类二次根式，然后根据平方差公式计算即可求解；
（3）先将化简，再计算，代入已知的等式可得关于m的方程，解方程即可求解．
（1）解：；，
故答案为：；；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，，
可得，
解得．
20．【答案】（1），；
（2）解：，
∴．
∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（1）解：，
其“对偶式”；
；
故答案为：（1），．
【分析】（1）根据题目中对偶式的定义，结合条件可以直接写出，再根据材料中的计算步骤，利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，此时可以利用平方差公式求出两个式子的乘积为5；然后结合原方程的值为5得到对偶式的式子的值为1，再通过加减消元计算求解，最后检验即可。
（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
21．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式有无意义的条件；分母有理化
22．【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意进行分母有理化化简即可求出答案.
（2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可；
（3）先求得a值，然后代入求解即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
．
1 / 1苏科版数学八年级下册第11章二次根式计算题专项练习
一、混合运算
1．计算：.
【答案】解：原式=
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；实数的绝对值；分数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
2．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的乘除运算，二次根式混合运算等计算求解即可。
3．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用负整数指数幂、立方根的性质、0指数幂和分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
4．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
5．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：原式==
（2）解：原式==18
（3）解：×===
（4）解：原式===
（5）解：原式==2000
【知识点】二次根式的乘法
【解析】【分析】根据“”计算并化简即可.
二、化简求值
6．已知，，求的值．
【答案】解：∵，，∴，，
∴.
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值；二次根式的乘法
【解析】【分析】将表示x，y的式子代入，分别求得，利用平方差公式得，分解因式xy(x+y)=；
7．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先将已知和的值进行分母有理化化简得到，，再根据二次根式的加法法则求出x+y的值，进而根据二次根式的乘法法则及平方差公式计算出xy的值；
（2）根据完全平方公式将原式变为，再整体代入x+y与xy的值，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
8．已知 求 的值.
【答案】解：
∴原式
=970.
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】先将x、y的值分母有理化，再代入原式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得.
9．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再作减法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后再代值并对结果进行分母有理化即可．
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，原式．

【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简分式，再将代入计算求解即可.
11．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据分母有理化化简二次根式，然后求出a-b和ab的值，然后根据完全平方公式的变形解答即可；
（2）把式子配方得到，然后代入计算解答.
12．我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
（1）化简：；
（2）若，求的值；
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴原式
．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）分子分母同时乘以（4-），即可将分母中的根号去掉，进而再把分母上的有理数进行加减运算即可；
（2）首先把进行分母有理化，化简得出a= ，进而把a的值代入整式中，进行二次根式的混合运算即可。
（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴原式
．
13．已知．
（1）求的值；
（2）若为的小数部分，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；分母有理化；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据分母有理化化简a和b，接着根据二次根式乘法法则及加减法法则算得ab以及a-b，然后将待求式子利用配方法变形为(a-b)2+ab，最后整体代入计算即可得出答案；
（2）根据被开方数越大其算术平方根越大得出，然后根据不等式性质得出，从而得出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可；
（3）先算出m2，将目标式子变形为m2(m+2)+m2-5m+2022，然后代入m2和m，算得答案即可．
（1）解：，
，，
，，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
的整数部分是4，小数部分是，
为的小数部分，
；
（3）解：，
，
．
14．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）；
以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）化简______．
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）解：，
，
，
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：.
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可.
（1）解：∵，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
．
三、规律探索
15．观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
（1）按上面规律填空：_________________；
（2）利用以上规律计算：；
（3）求的值．
【答案】（1）；；
（2）解：原式
.
（3）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；；.
【分析】（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式.
（2）把所给式子相加得，找出规律即可进行计算.
（3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果.
（1）解：，
故答案为：；；；
（2）
；
（3）
．
16．观察与计算：
；；
__________；__________．
像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；；
【应用】
（1）化简：
①；
②；
（2）化简：．
【答案】（1）①；
②；
（2）∴
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化
【解析】【解答】
解：观察与计算：
；
；
故答案为：，，
【分析】
根据二次根式的乘法运算及平方差公式计算，即可填空；
（1）根据例题示范，先确定有理化因式，再分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简即可解答；
（2）先对原式每一项进行分母有理化，再整理计算即可解答.
17．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果．
【解决问题】
（1）仿照上面的解题过程，化简：______．
（2）计算：．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：
【分析】（1）根据分母有理化，将分子分母同时乘以，化简即可求解．
（2）根据分母有理化，对每个式子进行化简，即可求解；
（3）对 式子进行平方，得到，再计算出，即可求解．
（1）解：
（2）解：
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
18．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出_____；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）和的值哪个较大，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：，
理由如下：∵，，且，
∴，
∴．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：
故答案为：
【分析】
（1）观察题目中的解题过程可知：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的差，即可；
（2）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算即可求解；
（3）根据，，即可求解．
（1）解：
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：，理由如下：
∵，，且，
∴，
∴．
19．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）化简： ； ．
（2）计算：．
（3）已知m是正整数，，，，求m．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
（3）解：，
，
，，
可得，
解得．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：；，
故答案为：；；
【分析】（1）由题意，仿照阅读材料即可求解；
（2）由题意，将括号内的各式分母有理化，再合并同类二次根式，然后根据平方差公式计算即可求解；
（3）先将化简，再计算，代入已知的等式可得关于m的方程，解方程即可求解．
（1）解：；，
故答案为：；；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，，
可得，
解得．
四、创新应用
20．阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若，则的“对偶式”为_____，__________；
（2）解方程：．
【答案】（1），；
（2）解：，
∴．
∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（1）解：，
其“对偶式”；
；
故答案为：（1），．
【分析】（1）根据题目中对偶式的定义，结合条件可以直接写出，再根据材料中的计算步骤，利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，此时可以利用平方差公式求出两个式子的乘积为5；然后结合原方程的值为5得到对偶式的式子的值为1，再通过加减消元计算求解，最后检验即可。
（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
21．我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下：
．
因为，所以，．
再例如，求的最大值、做法如下：
解：由可知，而．
当时，分母有最小值2．所以的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式有无意义的条件；分母有理化
22．阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如：
，
．
（1）请用以上方法化简：________；（直接填空）
（2）计算：（没有过程不给分）
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意进行分母有理化化简即可求出答案.
（2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可；
（3）先求得a值，然后代入求解即可．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
．
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