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苏科版数学九年级下册5.5用二次函数解决问题之几何最值培优练习
一、线段最值
1．如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，设 且 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线经过坐标原点故常数项为零，从而可设抛物线为将点A的坐标代入可得关于字母、b的方程，进而根据对称轴直线公式结合对称轴直线为x=2列出关于字母a、b的方程，联立两方程，求解即可得出a、b的值，从而求出平分线的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质设 且 记OA与对称轴的交点为Q，利用待定系数法求出直线OA的解析式， 然后联立直线x=2与直线OA的解析式可求出点Q的坐标，利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，利用那个平面内两点间的距离公式可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
2．如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标．
②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标．
（3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值．
【答案】（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②或
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-SAS；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
【分析】(1)中将点和代入抛物线解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定抛物线表达式；
(2)①中过作交抛物线于，同底等高的三角形面积相等，先求出直线的解析式，再根据平行关系求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，解方程组求出坐标；②中过作交x轴于，利用三角形面积公式求出的长度，确定点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；
(3)中过作轴且，证明，得，根据三角形三边关系，当、、共线时取最小值，利用勾股定理求出的长度即为最小值。
（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
3．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．
（1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；
①；②；③；④
（2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；
（3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．
【答案】（1）①④；
（2）如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
（3）把代入得：，把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；切线的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
【分析】本题综合考查二次函数、一次函数与几何图形的关系，涉及勾股定理、等腰直角三角形性质及圆的切线性质等知识。解题的关键在于灵活运用数形结合的思想方法。（1）根据题目描述绘制图形，结合“奇妙点”的定义进行求解；
（2）如图所示，先确定点和点的坐标。假设轴上存在点，根据题意需满足。代入坐标后得到方程，通过判别式分析解的情况；
（3）首先求出抛物线为，直线为，求出，，如图，过点作轴，交于点，在轴上作点，连接，得到，推出当、、共线时，最长，，进而求解即可．
（1）如图所示，①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
（2）方法一：如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
方法二：∵、，
∴，
∵轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，
∴在为直径的圆上，设圆心为点，
如图，
①当在轴下方且与轴相切时，，
点坐标为，此时；
②当在轴上方且与轴相切时，，
点坐标为，此时，
∴；
（3）把代入得：，
把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
4．如图1，抛物线经过点，点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
【答案】（1）解：∵经过 A（-5，0），B（-1，-2），
∴ ，
解得： ，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PTy轴交x轴于点T，
设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，
∵Q（-4，0），
∴AQ=1，OQ=4 ，
∵NQy轴，PTy轴，
∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，
∴，，
∴QN=，
QM=，
∴4 QM+ QN=4×+=10；
（3）解：定点F（－2，1），的最小值是．
如图，过O作OFAB交CE于点F．
设直线AB的解析式为，
∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2）
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
∵OFAB，且过O（0，0），
∴直线OF的解析式为，
∴设F（n，），
∵CEOD，
∴四边形CDOF是平行四边形．
∴OF=CD=，
∴ ，
∴n=±2
∵n<0
∴n=－2
∴F（－2，1）为直线CE经过的定点．
过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H．
则G的横坐标为-2，
∵G在直线AB上，
∴G（-2，），
∴FG=1-（）=，
设E（t，）则H（t，），
∴EH=() - ()==，
∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，
∴△EHC∽△FGC，
∴，
又∵FG= ，
∴当EH取最大值时，的值最小，
∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时，
∴的最小值是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）过P作PTy轴交x轴于点T，设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，于是可将QN、QM用含t的代数式表示出来，将QN、QM代入所求代数式4 QM+ QN计算即可求解；
（3）过O作OFAB交CE于点F．用待定系数法求得直线AB的解析式为，再证四边形CDOF是平行四边形，从而得出F（－2，1）为直线CE经过的定点．过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H，则FG=，设E（t，）则H（t，），所以EH=() - ()==，再证△EHC∽△FGC，得，又FG= ，所以∴当EH取最大值时，的值最小，所以当n=-3时，EH最大值是2． 此时，即可求解．
（1）解：∵经过 A（-5，0），B（-1，-2），
∴ ，
解得： ，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PTy轴交x轴于点T，
设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，
∵Q（-4，0），
∴AQ=1，OQ=4 ，
∵NQy轴，PTy轴，
∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，
∴，，
∴QN=，
QM=，
∴4 QM+ QN=4×+=10；
（3）解：定点F（－2，1），
的最小值是．
如图，过O作OFAB交CE于点F．
设直线AB的解析式为，
∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2）
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
∵OFAB，且过O（0，0），
∴直线OF的解析式为，
∴设F（n，），
∵CEOD，
∴四边形CDOF是平行四边形．
∴OF=CD=，
∴ ，
∴n=±2
∵n<0
∴n=－2
∴F（－2，1）为直线CE经过的定点．
过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H．
则G的横坐标为-2，
∵G在直线AB上，
∴G（-2，），
∴FG=1-（）=，
设E（t，）则H（t，），
∴EH=() - ()==，
∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，
∴△EHC∽△FGC，
∴，
又∵FG= ，
∴当EH取最大值时，的值最小，
∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时，
∴的最小值是．
5．近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO，BC是两根水泥柱，AO，BC垂直于地面上的水平线OC，且米，米，以OC所在直线为轴，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，且．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE，FG，DE，FG两根钢条之间用钢条MN连接，米，（D，F在抛物线上，E，G在OC上，分别在DE，FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
将代入，
解得：
顶棚拋物线的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，DE与FG之间的距离为2米．
设点的坐标为，
则，
．
，
有最大值，
当时，的最大值为米，
钢条DE与FG的长度之和存在最大值，最大值为米．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）需要确定抛物线的函数关系式。已知顶棚抛物线的函数形式为 y=ax2+bx+c ，且顶点在坐标系中满足特定条件。由于AO和BC是垂直于OC的水泥柱，且AO=BC=2米，OC=8米，可以确定抛物线经过点A(0，2)和点B(8，2)，代入函数式即可解出a和c的值；
（2） 需要判断DE与FG的长度之和是否存在最大值。由于DE和FG均垂直于OC，且MN平行于OC且长度为2米，可以设D点坐标为 ( x，y） ，则F点坐标为 ( x + 2 ， y ) 。根据抛物线方程，DE和FG的长度分别为y值，因此总长度为 2 y 。根据二次函数性质可判断最大值是否存在，并求出最大值。
6．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
7．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：在一次函数中，当时，，∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为
（3）解：直线过定点，理由如下：设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式；
（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由得到点，求出DG长，根据，得到最值解题即可．
（3）设直线的解析式为，，，当时，得到，，设直线的解析式为，直线的解析式为，即可得到，然后代入整理得，求出定点的坐标即可．
（1）解：在一次函数中，当时，，
∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为．
（3）直线过定点，理由如下：
设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点.
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，且四边形是平行四边形.
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值.
【答案】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，
解得：
；
（2）解：①
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
为与轴交点，
，
，
四边形是平行四边形，
且，且点在点下方，
点在轴上，点在平面内，，
，
，
或，
若为，
，
故，
若为，
，此时，矛盾，舍去，
综上，点的坐标为；
②如图，设的解析式为
抛物线交轴于点，
点的坐标为，，
将点、的坐标代入得：
，
解得，
的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
所以点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入直线的解析式得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
点的坐标为，
当旋转到轴上时，此时最短，
的最小值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）①由题意可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，Q坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得AN，再根据平行四边形性质可得且，且点在点下方，根据全等三角形性质可得，再根据点的坐标即可求出答案.
②设的解析式为 根据y轴上点的坐标特征可得点的坐标为，，根据待定系数法将点A，M坐标代入直线解析式可得的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得点的坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，E坐标代入解析式可得直线的解析式为，再联立两直线解析式可得点的坐标为，根据两点间距离可得BP，BH，当旋转到轴上时，此时最短，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、面积最值
9．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积相等，矩形面积等于矩形面积的二分之一，设长为，矩形区域的面积为．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形和矩形区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：题意得，，．
∴．
∴．
（2）解：
∵，开口向下，对称轴且，
∴当时，有最大值，（元）
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）矩形，矩形面积，
∴，
整理得：，
设，
如图，画出w关于x的函数图象．
由图可知，当或时，，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】
（1）观察图形由长方形的性质可得，表示出，再根据矩形面积公式列式化简，即可解答；
（2）将（1）中解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，开口向下时当时有最大值，解答即可；
（3）先计算出矩形和矩形的面积，再求出总费用w的函数关系式，再画出w关于x的函数图象，观察图像即可得出x的取值范围，解答即可．
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
【答案】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，根据两点间距离可得，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得，当取得最大值时，也取得最大值，设，则，根据两点间距离可得PD，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】（1）解：把代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx-4可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点C的坐标，从而利用待定系数法求出直线BC的解析式，利用抛物线对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线，把代入直线BC的解析式算出对应的函数值，从而求出点G的坐标；
（3）连接PC，过点P作轴，交BC于点Q，由等底同高三角形面积相等得出，当面积最大时，面积最大，设，则，根据三角形面积计算公式用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
（2）解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
【分析】（1）先根据题意设顶点式，进而代入得到，再结合题意即可求解；
（2）运用待定系数法求直线的解析式为，设，，根据题意结合面积得到，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）先根据题意补全图形，根据旋转结合三角形全等的判定证明，运用待定系数法求直线的解析式为，进而根据二次函数与一次函数的交点结合题意即可求解。
（1）解：∵抛物线的顶点为
∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
（2）解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
（3）解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
1 / 1苏科版数学九年级下册5.5用二次函数解决问题之几何最值培优练习
一、线段最值
1．如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
2．如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标．
②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标．
（3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值．
3．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．
（1）已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有 ；
①；②；③；④
（2）如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；
（3）如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．
4．如图1，抛物线经过点，点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
5．近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO，BC是两根水泥柱，AO，BC垂直于地面上的水平线OC，且米，米，以OC所在直线为轴，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，且．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE，FG，DE，FG两根钢条之间用钢条MN连接，米，（D，F在抛物线上，E，G在OC上，分别在DE，FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．
6．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
（1）若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
（2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
7．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，连接、、，与轴交于点.
（1）求抛物线表达式；
（2）点，点在轴上，点在平面内，且四边形是平行四边形.
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值.
二、面积最值
9．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形面积相等，矩形面积等于矩形面积的二分之一，设长为，矩形区域的面积为．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形和矩形区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，设 且 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线为：
解得：
直线为：
解得：或
∵ 则
（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，
设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：
解得：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形三边关系；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线经过坐标原点故常数项为零，从而可设抛物线为将点A的坐标代入可得关于字母、b的方程，进而根据对称轴直线公式结合对称轴直线为x=2列出关于字母a、b的方程，联立两方程，求解即可得出a、b的值，从而求出平分线的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质设 且 记OA与对称轴的交点为Q，利用待定系数法求出直线OA的解析式， 然后联立直线x=2与直线OA的解析式可求出点Q的坐标，利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，利用那个平面内两点间的距离公式可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
2．【答案】（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②或
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-SAS；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
【分析】(1)中将点和代入抛物线解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定抛物线表达式；
(2)①中过作交抛物线于，同底等高的三角形面积相等，先求出直线的解析式，再根据平行关系求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，解方程组求出坐标；②中过作交x轴于，利用三角形面积公式求出的长度，确定点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；
(3)中过作轴且，证明，得，根据三角形三边关系，当、、共线时取最小值，利用勾股定理求出的长度即为最小值。
（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
3．【答案】（1）①④；
（2）如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
（3）把代入得：，把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；切线的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
【分析】本题综合考查二次函数、一次函数与几何图形的关系，涉及勾股定理、等腰直角三角形性质及圆的切线性质等知识。解题的关键在于灵活运用数形结合的思想方法。（1）根据题目描述绘制图形，结合“奇妙点”的定义进行求解；
（2）如图所示，先确定点和点的坐标。假设轴上存在点，根据题意需满足。代入坐标后得到方程，通过判别式分析解的情况；
（3）首先求出抛物线为，直线为，求出，，如图，过点作轴，交于点，在轴上作点，连接，得到，推出当、、共线时，最长，，进而求解即可．
（1）如图所示，①；②；③；④
由图可得，，，，
∴是线段的“奇妙点”的有①④；
（2）方法一：如图，
∵直线上有两点、，
∴、，
设轴上存在点，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∴，
∴；
方法二：∵、，
∴，
∵轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，
∴在为直径的圆上，设圆心为点，
如图，
①当在轴下方且与轴相切时，，
点坐标为，此时；
②当在轴上方且与轴相切时，，
点坐标为，此时，
∴；
（3）把代入得：，
把代入得：，
∴，即，
∴抛物线为，直线为，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴，交于点，
则点的坐标为，
∵为线段的“奇妙点”，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上，
在轴上作点，连接，
∴，
∴，
当、、共线时，最长，，
∴．
4．【答案】（1）解：∵经过 A（-5，0），B（-1，-2），
∴ ，
解得： ，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PTy轴交x轴于点T，
设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，
∵Q（-4，0），
∴AQ=1，OQ=4 ，
∵NQy轴，PTy轴，
∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，
∴，，
∴QN=，
QM=，
∴4 QM+ QN=4×+=10；
（3）解：定点F（－2，1），的最小值是．
如图，过O作OFAB交CE于点F．
设直线AB的解析式为，
∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2）
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
∵OFAB，且过O（0，0），
∴直线OF的解析式为，
∴设F（n，），
∵CEOD，
∴四边形CDOF是平行四边形．
∴OF=CD=，
∴ ，
∴n=±2
∵n<0
∴n=－2
∴F（－2，1）为直线CE经过的定点．
过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H．
则G的横坐标为-2，
∵G在直线AB上，
∴G（-2，），
∴FG=1-（）=，
设E（t，）则H（t，），
∴EH=() - ()==，
∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，
∴△EHC∽△FGC，
∴，
又∵FG= ，
∴当EH取最大值时，的值最小，
∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时，
∴的最小值是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）过P作PTy轴交x轴于点T，设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，于是可将QN、QM用含t的代数式表示出来，将QN、QM代入所求代数式4 QM+ QN计算即可求解；
（3）过O作OFAB交CE于点F．用待定系数法求得直线AB的解析式为，再证四边形CDOF是平行四边形，从而得出F（－2，1）为直线CE经过的定点．过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H，则FG=，设E（t，）则H（t，），所以EH=() - ()==，再证△EHC∽△FGC，得，又FG= ，所以∴当EH取最大值时，的值最小，所以当n=-3时，EH最大值是2． 此时，即可求解．
（1）解：∵经过 A（-5，0），B（-1，-2），
∴ ，
解得： ，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PTy轴交x轴于点T，
设P（t，）则T（t，0），AT=t+5，TP=，OT=-t，
∵Q（-4，0），
∴AQ=1，OQ=4 ，
∵NQy轴，PTy轴，
∴△OTP∽△OQN，△AQM∽△ATP，
∴，，
∴QN=，
QM=，
∴4 QM+ QN=4×+=10；
（3）解：定点F（－2，1），
的最小值是．
如图，过O作OFAB交CE于点F．
设直线AB的解析式为，
∵直线AB经过A（-5，0）、B（-1，-2）
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为，
∵OFAB，且过O（0，0），
∴直线OF的解析式为，
∴设F（n，），
∵CEOD，
∴四边形CDOF是平行四边形．
∴OF=CD=，
∴ ，
∴n=±2
∵n<0
∴n=－2
∴F（－2，1）为直线CE经过的定点．
过F作FG⊥x轴，交AB于点G，过E作EH⊥x轴，交AB于点H．
则G的横坐标为-2，
∵G在直线AB上，
∴G（-2，），
∴FG=1-（）=，
设E（t，）则H（t，），
∴EH=() - ()==，
∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，
∴△EHC∽△FGC，
∴，
又∵FG= ，
∴当EH取最大值时，的值最小，
∴当n=-3时，EH最大值是2． 此时，
∴的最小值是．
5．【答案】（1）解：
将代入，
解得：
顶棚拋物线的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，DE与FG之间的距离为2米．
设点的坐标为，
则，
．
，
有最大值，
当时，的最大值为米，
钢条DE与FG的长度之和存在最大值，最大值为米．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）需要确定抛物线的函数关系式。已知顶棚抛物线的函数形式为 y=ax2+bx+c ，且顶点在坐标系中满足特定条件。由于AO和BC是垂直于OC的水泥柱，且AO=BC=2米，OC=8米，可以确定抛物线经过点A(0，2)和点B(8，2)，代入函数式即可解出a和c的值；
（2） 需要判断DE与FG的长度之和是否存在最大值。由于DE和FG均垂直于OC，且MN平行于OC且长度为2米，可以设D点坐标为 ( x，y） ，则F点坐标为 ( x + 2 ， y ) 。根据抛物线方程，DE和FG的长度分别为y值，因此总长度为 2 y 。根据二次函数性质可判断最大值是否存在，并求出最大值。
6．【答案】（1）（1）①如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是
（2）解：的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)①由顶点A(2，2)得， 设 再根据抛物线过点(0，1.5)，可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点(0，1.5)的对称点为(4，1.5)， 则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据 求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
(2)当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，设点，，，代入解析式求出m，h值解题即可.
7．【答案】（1）解：在一次函数中，当时，，∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为
（3）解：直线过定点，理由如下：设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式；
（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由得到点，求出DG长，根据，得到最值解题即可．
（3）设直线的解析式为，，，当时，得到，，设直线的解析式为，直线的解析式为，即可得到，然后代入整理得，求出定点的坐标即可．
（1）解：在一次函数中，当时，，
∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为．
（3）直线过定点，理由如下：
设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点．
8．【答案】（1）解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，
解得：
；
（2）解：①
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
直线的解析式为，
为与轴交点，
，
，
四边形是平行四边形，
且，且点在点下方，
点在轴上，点在平面内，，
，
，
或，
若为，
，
故，
若为，
，此时，矛盾，舍去，
综上，点的坐标为；
②如图，设的解析式为
抛物线交轴于点，
点的坐标为，，
将点、的坐标代入得：
，
解得，
的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
所以点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、的坐标代入直线的解析式得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
与相交于点，
，
解得，
点的坐标为，
当旋转到轴上时，此时最短，
的最小值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）①由题意可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，Q坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得AN，再根据平行四边形性质可得且，且点在点下方，根据全等三角形性质可得，再根据点的坐标即可求出答案.
②设的解析式为 根据y轴上点的坐标特征可得点的坐标为，，根据待定系数法将点A，M坐标代入直线解析式可得的解析式为，联立两直线解析式，解方程组可得点的坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，E坐标代入解析式可得直线的解析式为，再联立两直线解析式可得点的坐标为，根据两点间距离可得BP，BH，当旋转到轴上时，此时最短，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】（1）解：题意得，，．
∴．
∴．
（2）解：
∵，开口向下，对称轴且，
∴当时，有最大值，（元）
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）矩形，矩形面积，
∴，
整理得：，
设，
如图，画出w关于x的函数图象．
由图可知，当或时，，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】
（1）观察图形由长方形的性质可得，表示出，再根据矩形面积公式列式化简，即可解答；
（2）将（1）中解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，开口向下时当时有最大值，解答即可；
（3）先计算出矩形和矩形的面积，再求出总费用w的函数关系式，再画出w关于x的函数图象，观察图像即可得出x的取值范围，解答即可．
10．【答案】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，根据两点间距离可得，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得，当取得最大值时，也取得最大值，设，则，根据两点间距离可得PD，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
11．【答案】（1）解：把代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx-4可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点C的坐标，从而利用待定系数法求出直线BC的解析式，利用抛物线对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线，把代入直线BC的解析式算出对应的函数值，从而求出点G的坐标；
（3）连接PC，过点P作轴，交BC于点Q，由等底同高三角形面积相等得出，当面积最大时，面积最大，设，则，根据三角形面积计算公式用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
12．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
（2）解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
【分析】（1）先根据题意设顶点式，进而代入得到，再结合题意即可求解；
（2）运用待定系数法求直线的解析式为，设，，根据题意结合面积得到，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）先根据题意补全图形，根据旋转结合三角形全等的判定证明，运用待定系数法求直线的解析式为，进而根据二次函数与一次函数的交点结合题意即可求解。
（1）解：∵抛物线的顶点为
∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
（2）解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
（3）解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
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