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2026年高三模拟考试（二模）
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.【答案】D.
5 5 i 2 5 i 2
【解析】 2 2 i，在复平面内对应点为 2， 1 ，故选 D.i 2 i 2 i 2 i 4
2.【答案】C.
【解析】 A 1 x Z ＜2 x＜8

2
0，1，2 ,所以其真子集有 7个，故选 C.

3.【答案】D.
2
【解析】 a a b a a b cos60 1，所以 a a b 1，由于 a 2，所以 a b 3，故选 D.
4.【答案】B.
a 2 3a 22 5 10
【解析】由题意知，a n nn 1 a
2
n ，由于 an＞0，故a4 4 8 n 1
an，所以数列 a4 n 是
4
10 10 25
首项为 1，公比为 的等比数列，故 a5 ，故选 B.4 4 64
5.【答案】A.
【解析】由题知 a b，c 2，c 2 2a 2，a 2 ，则双曲线的一个顶点为 2，0 ，一条渐近线为
y x，距离为1.故选 A.
6.【答案】B.
1 112
【解析】由条件知圆台的高为 4，所以该圆台体积为V 4 16 8 4 ，故选 B.
3 3
7.【答案】C.
m 1 1 m 1
【解析】 E X 0 m 1 ，
2 2 2 2
数学答案第 1页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
2 2
D X E X 2 E X 2 m 0 m2 1 1 m 1 1 1 1 1 1 m ，D X 最小值为 ，
2 2 2 2 2 2 8 8
故选 C.
8.【答案】A.
【解析】建立平面直角坐标系 xOy，不妨设M 2，0 ， N 0，2 ，则直线MN的方程为 x y 2 0，
2 2 2 2
设 A x1，y1 ，B x2，y2 ，则 x1 y1 1，x2 y2 2，由OB AB 1得 x2 x2 x1 y2 y2 y1 1
可得 x1x2 y1y2 1， cos
x x y y 2 π
AOB 1 2 1 2 ，故 AOB ，
x2 y2 x2 y2 2 41 1 2 2
π π
不妨设 A cos ，sin ，B 2 cos

，2 sin ，于是
4 4
x y 2 x
d d 1 1 2
y2 2
1 2 2 2
2
cos sin 2 2 2 cos π π 2 sin 2
2 2 4 4
2
2 cos sin 2 2cos 2 4 sin 3cos 2 4 10sin
2 2 2
2
≤ 4 10 2 2 5 .故选 A.
2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.【答案】AB.
【解析】由题意可知数据 yi i 1,2, ,n 的平均数为 2x 3 2，方差为 4s ，标准差为 2s，极差为2a，
于是选项 A、B正确，选项 C、D错误，故选 AB.
10.【答案】ACD.
2
【解析】由条件知 a c2 b2 2ac 2cos2 A 1 2ac cos 2A ，
2 2 2
根据余弦定理可得 a c b 2ac cosB ，所以 cos B cos 2A ,因此 B 2A .
数学答案第 2页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
于是 sin B sin 2A 2sin Acos A，根据正弦定理得b 2a cos A，于是选项 A正确；又 a 4,b 6，
3 22 3 7
解得 cos A ,所以 sin A 1 cos A 1 ,4 4 4
2
cos B 2cos2 A 1 2 3 1 1 ，所以选项 B错误；
4 8
2
sin B 1 cos 2 B 1 1 3 7 ，
8 8
sinC sin A B sin Acos B cos Asin B 7 1 3 3 7 5 7所以 ，
4 8 4 8 16
5 7
c a sinC
4
根据正弦定理知 16 5，选项 C正确；
sin A 7
4
因 此 S 1 1 ABC ab sinC 4 6
5 7 15 7
， 设 ABC 内 切 圆 半 径 的 大 小 为 r ， 则
2 2 16 4
S 1 15 15 7 7 7 ABC a b c r r ，解得 r ，所以 ABC内切圆半径的大小为 ，选项2 2 4 2 2
D正确.故选 ACD.
11.【答案】ABC.
【解析】由抛物线标准方程可知， F 1，0 ，设直线 PQ方程为 x my 1，P x1，y1 ，Q x2，y2 ，
2
将直线方程代入抛物线方程可得， y 4my 4 0，则 y1 y2 4m，y1 y2 4，
PQ x1 x2 2 m y 21 y2 4 4m 4，
AB 2 y1 y
2
2 y1 y2 2 4y1 y2 16 m 2 1 ，
当 tan PQB 2 m 2 AB 16 1 时，直线 ，所以 1 2 6，A正确；
2 2
数学答案第 3页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
直线 PO的方程为 y y 1 x，直线 BQ的方程为 y y2，x1
y1 y2 my1 1 my1 y2 y2 4m y所以 y2 x，x 2 1，x1 y1 y1 y1
所以直线 PO与 BQ的交点在定直线 x 1上，B正确；
过点M 作ME AP于点 E，MH BQ于点H ，MG PQ于点G，
因为 APQ， PQB的角平分线交于点M ，所以 ME MG ，
MH MG ，又 AP//BQ ,所以点 E，M，H 三点共线，所以点M
为 EH 中点，因为 AB x轴，所以四边形 ABHE 为矩形，所以
MA MB ，所以点M 在线段 AB的垂直平分线上，C正确；
取 PQ的中点 R，则MR//AP//BQ，且 MR 1 PQ ,
2
所以 PQM 的面积为
S 1
3
MR EH 1 PQ AB 1 4 m2 1 4 m2 1 4 m2 1 2 ，
2 4 4
当m 0时， PQM 的面积有最小值 4，D错误.故选 ABC.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.【答案】 35 .
7
n 1
【解析】二项式系数和为 2 128，n 7， 1 展开式的通项为
x
r
T r 1 r 1 C7 1 rC r x r r 0，1，2 ，7 ，所以当 r 3时，项的系数最小，为 1 3C 3 35 .
x 7 7
3
13.【答案】 .
4
T 1 2π 5π
【解析】因为 ≥ 2π - π，所以 0＜ω≤1，因为函数图象关于 ，0 中心对称，所以
2 2 ω 3
数学答案第 4页（共 11 页）
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5π ω π 3 3 3 3 3 kπ k Z ，ω k k Z ，所以ω 或 .若ω ，当 x π，2π 时，
3 4 20 5 20 4 20
3 x π π π 3 π 3 ， ， 函 数 f x sin x 递 增 ； 若 ω ， 当 x π，2π 时 ，
20 4 10 20 20 4 4
3 x π π 5π ， ，函数 f x 3 sin x π ω 3 递减.所以 .
4 4 2 4 4 4 4
2
14.【答案】 .
2
f x 2 f x f x f x 2x
【解析】由已知有
e2x
1，即 e2x
1，设
e2x
x m，则 f x x m e ，由
f 1 e2 ，得m 0，故 f x xe2x，设与 x y 1 0平行且与 y f x 相切的直线方程为
x y c 0，由 f x 1 2x e2x 1，得 x 0，故切点坐标为 0，0 ，切线为 x y 0，且
1f x 2≥ x，得 AB .
min 2 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13分）
2 2
【解析】（1）由条件知 an 1 2an 1an an an 1 an 2 0，
即 an 1 an 2 an 1 an 2 0， ……………………1分
所以 an 1 an 2 an 1 an 1 0
于是 an 1 an 2 0或 an 1 an 1 0 ……………………3分
由 an 为递增数列，得 an 1 an＞0，
故 an 1 an 2，
所以数列 an 是首项为 1，公差为 2的等差数列， ……………………5分
故 an 1 2 n 1 2n 1 n N . ……………………7分
数学答案第 5页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
n n 1 1 1
（2）由（1）知bn 2 2 ， ……………………10anan 1 2n 1 2 2n 1 2 8 2n 1 2 2n 1 2


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分Tn 1 8 12 32 8 32 52 8 2n 1 2 2n 1 2 8

2n 1 2


n2 n
. ……………………13分
2 2n 1 2
16.（本小题满分 15分）
c 1
【解析】（1）由题意可知b 3，e ，
a 2
2 2 2 2 2
所以 a b c ，4c 3 c ，c 1，a 2，
x 2 y 2
所以椭圆的方程为 1 . ……………………4分
4 3
（2）由（1）可知点 A 2，0 ，B 0， 3 ，设点M 坐标为 m，n ，m＞0，n＞0，则
m 2 n 2
1，3m 2 4n 2 12①， ……………………5分
4 3
n 2n
则直线MA的方程为 y x 2 ，与 y轴交于点D 0， ，………………7分
m 2 m 2
MB y n 3
3m
直线 的方程为 x 3，与 x轴交于点C ，0 ，………………9分m n 3
AC 3m 3m 2n 2 3所以 2 ，
n 3 n 3
BD 2n 3 2n 3m 2 3 ， ……………………11分
m 2 m 2
所以四边形 ABCD的面积为
1 1 3m 2n 2 3 2n 3m 2 3 1 4n2 3m2 12 4 3mn 12m 8 3nS AC BD ，
2 2 n 3 m 2 2 mn 2n 3m 2 3
……………………13分
数学答案第 6页（共 11 页）
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S 1 12 12 4 3mn 12m 8 3n 2 3 2 3 mn 3m 2n 由①有 2 3 ，
2 mn 2n 3m 2 3 mn 2n 3m 2 3
所以四边形 ABCD的面积为定值 2 3 . ……………………15分
17.（本小题满分 15分）
1
【解析】每一题甲抢到并回答正确的概率为 p1 p， ……………………1分2
1
每一题乙抢到并回答错误的概率为 p2 1 q ， ……………………2分2
所以，每题甲得1分的概率均为 r 1 p1 p2 1 p q ， ……………………4分2
1 3
（1）当 p 0.8，q 0.6时， r 1 p q
2 5
3
又甲、乙回答每道题正确与否均相互独立，所以 X B 3, ， ……………………6分
5
于是 E X 9 . ……………………7分
5
（2）设回答 3题时甲获胜的概率为 P1，回答 5题时甲获胜的概率为 P2，
P r3 C 2则 1 3 r
2 1 r ， ……………………9分
回答 5题时甲获胜有三种可能：前 3题甲均得分；前 3题甲有 2题得分，增加两道题甲至少有 1
题得分；前 3题甲有 1题得分，增加两道题甲都得分，则有
P2 r
3 C 2r 2 1 r 1 3 1 1 r
2
C
1 1
3r 1 r
2 r 2 ……………………11分
所以 P2 P1 C
2
3 r
2 1 r 1 r 2 C1r13 1 r
2 r 2
3r 2 1 r 2 (2r 1) 3r 2 1 r 2 ( p q) ……………………12分
于是当 p＞q时， P2＞P1，甲获胜的概率增大；
当 p q时， P2 P1，甲、乙获胜的概率相同；
当 p＜q时， P2＜P1，甲获胜的概率减小.
综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大.
数学答案第 7页（共 11 页）
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……………………15分
18.（本小题满分 17分）
【解析】（1）证明：因为在直四棱柱中，DD1 平面 ABCD ,
所以D1D BD，D1D AB， ……………………1分
因为DD1 AA1 2，BD1 2 2，
BD D 2 2所以 1B D1D 2 ,
在 ABD中， AD 2 2，AB BD 2，AB 2 BD 2 AD 2 ，
所以 AB BD， ……………………3分
因为DD1 BD D，
所以 AB 平面 BDD1B1 . ……………………4分
（2）因为在直四棱锥中， AB CD，AD BC， AB AA1， AA1 AB，
所以四边形 ABCD为平行四边形，四边形 ABB1A1为正方形，
所以CD 平面 BDD1B1，
所以DB，DC，DD1两两互相垂直，以点D为原点，分别以DB，DC，DD1所在直线为 x轴，y轴，
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz， ……………………6分
根据题意可得：D 0，0，0 ， B 2，0，0 ，C 0，2，0 ，D1 0，0，2 ，
A 2， 2，0 ， A1 2， 2，2 ，B1 2，0，2 ，
（i）取 A1D1中点O1 1， 1，2 ， AD中点O2 1， 1，0 ，
因为球O经过点 A1，B1，D1，且 A1B1D1为等腰直角三角形， 所
以球心O在直线O1O2上， ……………………8分
数学答案第 8页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
设O 1， 1，m ，则
A1E A1B λA1D1 0，2， 2 λ 2，2，0 2λ，2 2λ， 2 ，
OA1 1， 1，2 m ，OE OA1 A1E 1 2λ，2λ 1， m ，
点E 2 2 2在球O上，所以 OA1 OE R ，
即1 1 2 m 2 1 2λ 2 2λ 1 2 m 2，
2
故 2λ 1 m， ……………………10分
因为 λ 0，1 ，所以1 m 0，2 ，m 1，1 ,
R 2 2所以 2 2 m 3，11 ，R 3，11 ，
所以球的半径 R的取值范围是 3，11 . ……………………12分
（ii）当球的半径 R最大时， λ 1，m 1，O 1， 1， 1 ，E 0，2，0 ，即点 E与点C重合，
此时OB 1，1，1 ，OE 1，3，1 ，设平面OBE的法向量为m x，y，z ，则有
x y z 0， x y，
解得
x 3y z 0

， z 2y，
取 y 1，得平面OBE的一个法向量为m 1，1， 2 ， ……………………15分
因为DD1 平面 ABE，得到平面 ABE的一个法向量 n 0，0，1 ，
m n 2
cos m，n 6 ，
m n 1 1 4 1 3
6
所以平面 ABE与平面OBE的夹角的余弦值为 . ……………………17分
3
19.（本小题满分 17分）
【解析】（1）定义域为 0， ，求导得 f x a ln x a 1， ……………………1分
数学答案第 9页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
当 a 0时， f x 1＜0，所以函数 f x 在 0, 上单调递减； ……………… 2分
1 a
当 a 0时，令 f x 0，解得 x e a ，
1 a 1 a
当 a＞0时， x 0，e
a
， f x ＜0， x e a ， ， f x ＞0，

1 a 1 a
故函数 f x 在 0,e a 上单调递减，在 e a , 上单调递增； …………4分

1 a 1 a
当 a＜0时， x 0，e
a
， f x ＞0， x a e ， ， f x ＜0，

1 a 1 a
故函数 f x 在 0,e a 上单调递增，在 e a , 上单调递减； …………5分

综上所述， 当 a 0时，函数 f x 在 0, 上单调递减；
1 a 1 a
当 a＞0时，函数 f x 在 0,e a 上单调递减，在 e a , 上单调递增；

1 a 1 a
当 a＜0时，函数 f x 在 0,e a 上单调递增，在 e a , 上单调递减. …………6分

（2）因 f 1 0，所以由（1）知 a≤0不符合题意，于是 a＞0 . …………7分
1 a 1 a
若 a＞1，则0＜e a ＜1，于是由（1）可知当 x e a ,1 时， f x ＜0，不符合题意；

……………………8分
1 a 1 a
若0＜a＜1，则 e a ＞1，于是由（1）可知当 x 1,e a 时， f x ＜0，不符合题意.

……………………9分
所以实数 a的值为 1. ……………………10分
n
（3）证明：要证 1 n n＞n!e 2 n N ，
n
即证 n ln 1 n ＞ ln 1 ln 2 ln n ，
2
数学答案第 10页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}
即证 ln 1 n ln 1 n ln 1 n＞n ， ……………………11分
1 2 n 2
由（2）知 x ln x x 1≥0在 x 0, 上恒成立，其中当且仅当 x 1时等号成立，
于是 ln x＞1 1 对 x 1, 恒成立. ……………………13分
x
x 1 n ,1 n , ,1 n分别令 代入上式，
1 2 n
ln 1 n＞1 1 ln1 n 2可得 ， ＞1 ，……， ln 1 n＞1 n ，
1 1 n 2 1 n n 1 n
……………………14分
将上述 n个不等式左右两边分别相加得
ln 1 n ln 1 n ln 1 n＞ 1
1
1
2 n
1 ，
1 2 n 1 n 1 n 1 n

1
1
1 2
n 1 2 n
1 n n
1 n n 1 n
，
1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 2
ln1 n ln 1 n 1 n n所以 ln ＞ ， ……………………16分
1 2 n 2
n
所以 1 n n＞n!e 2 n N . ……………………17分
数学答案第 11页（共 11 页）
{#{QQABZYCwwwiQ0IQACS6bU0X6CAsYkJETJAgGARCcOAxKSAFIFAA=}#}

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