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浙教版数学八年级下册第五章 特殊平行四边形核心素养评估测试
一、单选题
1．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有(　　)
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
4．在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
6．如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
7．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连结AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=（k>0，x>0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题
9．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则　 　．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（-2，3），则对角线AC的长度是　 　.
11． 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
12．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是　 　cm.
13．如图，在矩形ABCD中， AD>AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE， BE，且满足∠AED=2∠DAE.已知AE=3CE，则 　 　.
14．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为　 　.
三、解答题
15．如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F。求证：AF=CE。
16．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，于E，于F．
（1）求证：；
（2）若，求BF的长．
17．在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点B在y轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C，D都位于第一象限。
（1）当 时，求点P的坐标。
（2）求证：无论点A在x轴的正半轴上、点B在y轴的正半轴上怎样运动，点P都在 的平分线上。
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCD=2∠BCA=52°，
∴∠ADC=180°-∠BCD=128°.
故答案为：C.
【分析】由菱形的对边平行得AD∥BC，根据菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BCD=2∠BCA=52°，进而根据二直线平行，同旁内角互补可得∠ADC=180°-∠BCD，从而代值计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意；
添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
添加，能判定是菱形；选项C符合题意；
添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
故选：C．
【分析】根据菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；十字架模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，
同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据正方形的性质，得到BE=AB判断A选项；然后根据SAS得到△ABE≌△DAF，进而得到∠BCF=∠ADF，推理得到∠EAF+∠AFD=90°判断C选项；然后证明△CBF≌△DAF得到∠PDC=∠FCD>∠PCD，即可得带PC和PD的大小关系判断B选项；然后得到∠CPE<∠PCE，即可得到PE、 CE的大小判断D选项解答即可．
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
故答案为：D．
【分析】由已知条件得到，，C'D'=CD=2，C'D'∥AB，根据勾股定理算出OD'的长，然后根据点的坐标与图形的性质可求出.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN//FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∵，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∴AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE// BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.即可得到，求出ON=MN=EM，得到S△FME=S△FOE，进而得到S△ABE=S△AOE，然后根据解答即可.
9．【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
10．【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∵B（-2，3），O（0，0），
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得AC=OB，然后利用坐标系中两点距离公式即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长= cm.
故答案为 .
【分析】根据菱形的面积=两对角线的积的一半可求得另一条对角线BD的长；再根据菱形的对角线互相垂直平分，可用勾股定理求得菱形的边长。
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点E作 于点F，
设EC=x，则AE=3CE=3x，
∴AC=AE+EC=4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB=OC=2x，
∴设∠OAD=∠ODA=α，
∴∠DOE=∠OAD+∠ODA=2α，
∵∠AED=2∠DAE=2α，
∴∠DOE=∠DEO，
∴DE=DO=2x，
∴OE=OC-EC=x，
设OF=y，则DF=OD-OF=2x-y，
∵EF⊥BD，
即
在直角三角形EOF中，由勾股定理得：
在直角三角形BEF中，由勾股定理得：
故答案为：
【分析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作 于点F，设EC=x，表示出OA=OD=OB=OC=2x，设 得 到 推出DE=DO=2x，OE=OC-EC=x，设OF=y，利用勾股定理表示出 进而求解即可.
14．【答案】45
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：45.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，然后推理可得，即可得到，进而可得求出AC2，再根据勾股定理解答即可．
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD。
∴∠BAE=∠DCF。
∵过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE。
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： 过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，∠BAD=135°，∠EAG=75°，
∴∠BAE=∠DAG=30°，∠B=45°，
∵AE=2，
∴ME=1，AM=，
∴BM=ME=1，
∴AB=1+
故答案为：1+.
【分析】 利用菱形的性质，对角线平分每组对角得出∠BAE的度数，进而得出∠B的度数，即可得出BM，AM的长，进而得出答案即可．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得， 根据正方形的性质可得，推出∠BAF=∠ADE，依据AAS判定△ABF≌△DAE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=BF，DE=AF，根据位置关系可得AE=AF-EF，即可求得BF.
17．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，利用平行线的性质可得，，因而根据AAS可证明，即可证明．
（2）根据矩形的性质可得由勾股定理得再根据全等三角形的性质以及中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴PB=PA，∠BPA=90°，∠BAP=45°。
当∠BAO=45°时，∠PAO=90°。
在Rt△AOB中，
在Rt△APB中，
∴点P的坐标为
（2）证明：如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°。
∴∠MPA=∠NPB。
又PA=PB，∴△PAM≌△PBN。
∴PM=PN。∴点P在∠AOB的平分线上。
（3）解：当点B与点O重合时，点P到x轴的距离为a/2，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到x轴的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到x轴的距离最大为 ，然后又逐渐减小到。∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O，∴点P到x轴的距离h的取值范围是
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 （1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．
（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．
1 / 1浙教版数学八年级下册第五章 特殊平行四边形核心素养评估测试
一、单选题
1．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有(　　)
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解： ∵AB=AD， BC=DC，
∴AC垂直平分BD，
当添加：“AB∥CD”， 则∠ABD =∠BDC，
∵∠BDC=∠DBC，
∴∠ABO=∠CBO，
又∵BO=BO， ∠BOA =∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA=BC，
∴AB= BC =CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故①符合题意；
当添加“∠BAD=90°”， 无法证明四边形ABCD是矩形，故②符合题意；
当添加条件“OA=OC"时，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故③符合题意；
当添加条件“∠ABC =∠BCD =90°”时，则∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
由证选项A可知四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，故④符合题意；
故选： C.
【分析】根据AB=AD， BC = DC， 可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.
3．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连结，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=26°时，则∠ADC的度数为（　　）
A．26° B．52° C．128° D．154°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BCD=2∠BCA=52°，
∴∠ADC=180°-∠BCD=128°.
故答案为：C.
【分析】由菱形的对边平行得AD∥BC，根据菱形的每一条对角线平分一组对角得∠BCD=2∠BCA=52°，进而根据二直线平行，同旁内角互补可得∠ADC=180°-∠BCD，从而代值计算可得答案.
4．在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意；
添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
添加，能判定是菱形；选项C符合题意；
添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
故选：C．
【分析】根据菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
6．如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；十字架模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，
同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据正方形的性质，得到BE=AB判断A选项；然后根据SAS得到△ABE≌△DAF，进而得到∠BCF=∠ADF，推理得到∠EAF+∠AFD=90°判断C选项；然后证明△CBF≌△DAF得到∠PDC=∠FCD>∠PCD，即可得带PC和PD的大小关系判断B选项；然后得到∠CPE<∠PCE，即可得到PE、 CE的大小判断D选项解答即可．
7．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
故答案为：D．
【分析】由已知条件得到，，C'D'=CD=2，C'D'∥AB，根据勾股定理算出OD'的长，然后根据点的坐标与图形的性质可求出.
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连结AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=（k>0，x>0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.
∵AN//FM，AF=FE，
∴MN=ME，
∵，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴ON=MN=EM，
∴ME=OE，
∴S△FME=S△FOE，
∴AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，
∴AE// BD，
∴S△ABE=S△AOE，
∴S△AOE=18，
∵AF=EF，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连结BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.即可得到，求出ON=MN=EM，得到S△FME=S△FOE，进而得到S△ABE=S△AOE，然后根据解答即可.
二、填空题
9．如图，以正方形的对角线为边作菱形，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（-2，3），则对角线AC的长度是　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∵B（-2，3），O（0，0），
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得AC=OB，然后利用坐标系中两点距离公式即可得到答案.
11． 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连结GE并两端延长，交AD于点P，交BC于点Q.若， ，则BQ=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I，
∵△ABE≌△DAH≌△BCF≌△CDG
∴BF=AE=2
∴EF=BF-BE=1
∴E为BF的中点
又∵EI||CF
∴I为BC的中点，EI为△BCF的中位线
∴EI=CF=
∵AP||QI
∴，设QI=a，则AP=4a
在△BEQ和△DGP中
∴△BEQ≌△DGP
∴PD=BQ
设BQ=b，则PD=b
∵I为BC的中点
∴4a+b=2(a+b)得b=2a，故BQ=
故答案为： .
【分析】延长AE交BC于点I，可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4，设QI、BQ的长，由中点可知BQ=2QI，即可得BQ的长.
12．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长= cm.
故答案为 .
【分析】根据菱形的面积=两对角线的积的一半可求得另一条对角线BD的长；再根据菱形的对角线互相垂直平分，可用勾股定理求得菱形的边长。
13．如图，在矩形ABCD中， AD>AB，点E是对角线AC上的一点，连接DE， BE，且满足∠AED=2∠DAE.已知AE=3CE，则 　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点E作 于点F，
设EC=x，则AE=3CE=3x，
∴AC=AE+EC=4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB=OC=2x，
∴设∠OAD=∠ODA=α，
∴∠DOE=∠OAD+∠ODA=2α，
∵∠AED=2∠DAE=2α，
∴∠DOE=∠DEO，
∴DE=DO=2x，
∴OE=OC-EC=x，
设OF=y，则DF=OD-OF=2x-y，
∵EF⊥BD，
即
在直角三角形EOF中，由勾股定理得：
在直角三角形BEF中，由勾股定理得：
故答案为：
【分析】如图，连接BD交AC于点O，过点E作 于点F，设EC=x，表示出OA=OD=OB=OC=2x，设 得 到 推出DE=DO=2x，OE=OC-EC=x，设OF=y，利用勾股定理表示出 进而求解即可.
14．如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，.分别以Rt△ABC的三边为边在AB 的同侧作三个正方形，顶点 H恰为DE的中点，若阴影部分(四边形KNCM)的面积为9，则正方形ABHK的面积为　 　.
【答案】45
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：45.
【分析】根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，然后推理可得，即可得到，进而可得求出AC2，再根据勾股定理解答即可．
三、解答题
15．如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F。求证：AF=CE。
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD。
∴∠BAE=∠DCF。
∵过点B，D作AC的垂线，垂足分别为E，F，
∴∠AEB=∠CFD=90°。在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
∴AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE。
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解： 过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，∠BAD=135°，∠EAG=75°，
∴∠BAE=∠DAG=30°，∠B=45°，
∵AE=2，
∴ME=1，AM=，
∴BM=ME=1，
∴AB=1+
故答案为：1+.
【分析】 利用菱形的性质，对角线平分每组对角得出∠BAE的度数，进而得出∠B的度数，即可得出BM，AM的长，进而得出答案即可．
16．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，于E，于F．
（1）求证：；
（2）若，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得， 根据正方形的性质可得，推出∠BAF=∠ADE，依据AAS判定△ABF≌△DAE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=BF，DE=AF，根据位置关系可得AE=AF-EF，即可求得BF.
17．在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，利用平行线的性质可得，，因而根据AAS可证明，即可证明．
（2）根据矩形的性质可得由勾股定理得再根据全等三角形的性质以及中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
18．如图，在平面直角坐标系中，边长为a（a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点B在y轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C，D都位于第一象限。
（1）当 时，求点P的坐标。
（2）求证：无论点A在x轴的正半轴上、点B在y轴的正半轴上怎样运动，点P都在 的平分线上。
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴PB=PA，∠BPA=90°，∠BAP=45°。
当∠BAO=45°时，∠PAO=90°。
在Rt△AOB中，
在Rt△APB中，
∴点P的坐标为
（2）证明：如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°。
∴∠MPA=∠NPB。
又PA=PB，∴△PAM≌△PBN。
∴PM=PN。∴点P在∠AOB的平分线上。
（3）解：当点B与点O重合时，点P到x轴的距离为a/2，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到x轴的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到x轴的距离最大为 ，然后又逐渐减小到。∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O，∴点P到x轴的距离h的取值范围是
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 （1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD是正方形，P是AC，BD对角线的交点，能证明OAPB是正方形，从而求出P点的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线．
（3）因为点P在∠AOB的平分线上，所以h＞0．
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