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第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 两个计数原理
课程内容标准 学科素养凝练
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.能够利用两个计数原理解决简单问题. 　　在学习两个计数原理的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=______种不同的方法.
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=______种不同的方法.
m+n
m×n
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案的方法可以相同. ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案的方法都能完成这件事. ( )
(3)在分步乘法计数原理中，完成每个步骤的方法各不相同. ( )
(4)在分步乘法计数原理中，若一件事是分两步完成的，则仅完成其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事才算完成. ( )
×
√
√
√
C
2.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从这两类选修课程中选1门，则不同的选法共有(　　)
A.3种 B.4种
C.7种 D.12种
B
3.某乒乓球队里有男队员6名，女队员5名，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，不同的组队方法有 (　　)
A.11种 B.30种
C.56种 D.65种
解析
先选1男有6种方法，再选1女有5种方法.根据分步乘法计数原理，不同的组队方法共有6×5=30(种).
4.用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数　　　　个.
答案 15
解析
分三类：第一类，为一位整数，有3个；第二类，为两位整数，有12，21，13，31，23，32，共6个；第三类，为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个.因此共可以写出没有重复数字的整数3+6+6=15(个).
探究一　分类加法计数原理
［知能解读］　对分类加法计数原理的说明
1.核心：分类.把完成一件事的方法分为若干类.
2.特点：相互独立. 各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，即用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
3.应用：
(1)根据问题的特点确定一个分类标准；
(2)在确定的标准下进行分类；
(3)分类不能重复，不能遗漏.
4.目的：求完成一件事的不同方法数.因此在应用该原理解题时要有问题意识，明确并思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事.
(1)一个科技小组有3名男生和5名女生，从中任选1名学生参加学科竞赛，不同的选派方法共有　　　　种.
(2)实数a，b满足a，b∈｛-1，0，1，2｝，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解，则不同的有序数对(a，b)共有　　　个.
答案 (1)8 (2)13
解析
(1) 任选1名学生参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男生中选1名参加，有3种不同的选法；第二类，从女生中选1名参加，有5种不同的选法.根据分类加法计数原理，不同的选派方法共有3+5=8(种).
解析
(2) 当a=0时，方程2x+b=0总有实数根，不同的有序数对(a，b)有4个.
当a≠0时，需Δ=4-4ab≥0，所以ab≤1.
当a=-1时，b的取值有4个；
当a=1时，b的取值有3个；
当a=2时，b的取值有2个.
所以不同的有序数对(a，b)有4+3+2=9(个).
根据分类加法计数原理，不同的有序数对(a，b)共有4+9=13(个).
2.利用分类加法计数原理解题的一般思路
［训练1］　(1)某同学去书店，发现3本好书，决定至少购买其中1本，则购买方法共有 (　　)
A.3种　　　　　 B.6种
C.7种 D.9种
(2)如右图，一段电路在A，B间有四个焊接点，记为①②③④，若焊接点脱落则导致电路断路. 今发现A，B之间电路断路，则焊接点脱落的不同情况共有　　　种.
C
答案 13
解析
(1) 分三类：买1本书、买2本书和买3本书.各类购买方法依次有3种、3种和1种.根据分类加法计数原理，购买方法共有3+3+1=7(种).
(2) 按照可能脱落焊接点的个数分类讨论.若脱落1个，则有①，④，共2种情况；若脱落2个，则有①④，②③，①②，①③，④②，④③，共6种情况；若脱落3个，则有①②③，①②④，②③④，①③④，共4种情况；若脱落4个，则只有①②③④这1种情况.根据分类加法计数原理，不同的情况共有2+6+4+1=13(种).
探究二　分步乘法计数原理
［知能解读］
1.能用分步乘法计数原理解决的问题的特点
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；
(2)完成每一步都有若干种方法；
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.
2.运用分步乘法计数原理解题应注意的问题
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
(2) “步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但不能重复、交叉；
(3)若完成某件事需n步，则必须依次完成这n个步骤，这件事才算完成.
从-2，-1，0，1，2，3这6个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c，一共可以得到多少条不同的抛物线？
解
分三步：
第一步，确定系数a(a不能为0)，有5种方法.
第二步，确定系数b，有5种方法.
第三步，确定系数c，有4种方法.
根据分步乘法计数原理，共可以得到不同的抛物线5×5×4=100(条).
［变式1］　若本例中抛物线的顶点在第一象限且经过原点，则可以得到多少条不同的抛物线？
解
解
根据题意可知m2≠n2，且m≠0，n≠0.
当m=3时，n可取-2，-1，1，2；
当m=2时，n可取-1，1，3；
当m=1时，n可取-2，2，3；
当m=-2时，n可取-1，1，3；
当m=-1时，n可取-2，2，3.
由分类加法计数原理可知，可以得到不同的椭圆4+3+3+3+3=16(个).
［方法总结］　利用分步乘法计数原理解题的一般思路
［训练2］　已知a∈｛3，4，6｝，b∈｛1，2，7，8｝，r∈｛8，9｝，则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同的圆有　　　　个.
答案 24　
解析
圆(x-a)2+(y-b)2=r2由a，b，r 3个量确定，确定a，b，r分别有3，4，2种方法.由分步乘法计数原理得，可以表示的不同的圆有3×4×2=24(个).
探究三　两个计数原理的综合应用
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
(1)从中任选1幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
思路分析：(1)采用分类加法计数原理求解；(2)采用分步乘法计数原理求解；
(3)先分类再分步求解.
解
(1)分为三类：第一类，从国画中选，有5种不同的选法；第二类，从油画中选，有2种不同的选法；第三类，从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，不同的选法共有5+2+7=14(种).
(2)分为三步：第一步，选国画，有5种不同的选法；第二步，选油画，有2种不同的选法；第三步，选水彩画，有7种不同的选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5×2×7=70(种).
解
(3)分为三类，每一类又分两步：
第一类：1幅选自国画，1幅选自油画.由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×2=10(种).
第二类：1幅选自国画，1幅选自水彩画.由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×7=35(种).
第三类：1幅选自油画，1幅选自水彩画.由分步乘法计数原理知，不同的选法有2×7=14(种).
根据分类加法计数原理，不同的选法共有10+35+14=59(种).
［训练3］　从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
解
从甲地出发分成两类，
第一类：甲→乙→丁.
分两步，根据分步乘法计数原理，不同的走法有2×3=6(种)；
第二类：甲→丙→丁.
分两步，根据分步乘法计数原理，不同的走法有4×2=8(种).
根据分类加法计数原理，不同的走法共有6+8=14(种).
所以从甲地到丁地共有14种不同的走法.
C
1.从甲地到乙地有乘飞机和乘轮船两类交通方式，每天飞机有3班，轮船有4班.李先生从甲地去乙地，不同的交通方式选择方法共有(　　)
A.3种　　 B.4种　　 C.7种　　 D.12种
解析
由分类加法计数原理得，从甲地去乙地不同的选择方法共有3+4=7(种).
B
2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若1条长裤与1件上衣配成1套，则不同的搭配方法有(　　)
A.7种 B.12种 C.64种 D.81种
解析
分两步：第一步，从4件上衣中任取1件，有4种选法；第二步，从3条长裤中任选1条，有3种选法.由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成1套的不同的搭配方法共有4×3=12(种).
3.如右图，从点A到点C有　　　　　　种不同的走法(要求不得再次经过点A).
答案 6　
解析
分为两类：第一类，不过B点，有2种走法；第二类，过B点，有4种走法.
根据分类加法计数原理，不同的走法共有4+2=6(种).
4.已知甲、乙、丙 3个车队分别有4辆、5辆、6辆车，现欲从其中2个车队各抽取1辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为　　　　　.
答案 74
解析
分三类，每一类分两步：
第一类，从甲、乙两车队各抽取1辆，由分步乘法计数原理，不同的抽取方法有4×5=20(种).
第二类，从甲、丙两车队各抽取1辆，由分步乘法计数原理，不同的抽取方法有4×6=24(种).
第三类，从乙、丙两车队各抽取1辆，由分步乘法计数原理，不同的抽取方法有5×6=30(种).
根据分类加法计数原理，不同的抽取方法共有20+24+30=74(种).
5.甲袋中有8个不同的红球，乙袋中有7个不同的白球.
(1)任意取出1个球，有多少种不同的取法？
(2)任意取出2个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解
(1)分为两类：第一类，取出的是红球，有8种取法；第二类，取出的是白球，有7种取法.根据分类加法计数原理，任取出1个球不同的取法共有8+7=15(种).
(2)分为两步：第一步，取红色的球，有8种取法；第二步，取白色的球，有7种取法.根据分步乘法计数原理，任取出2个不同颜色的球不同的取法共有8×7=56(种).

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