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第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.通过实例，理解排列的概念.
2.能利用排列的概念解决简单的排列问题. 　　在学习排列和运用排列解决简单问题的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
排列的概念
1.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的______完全相同，且元素的排列_____也相同.
一定的顺序
元素
顺序
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)1，2，3与3，2，1为同一排列. ( )
(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现. ( )
(3)从1，2，3，4中任选两个元素，只能组成一个排列. ( )
×
×
√
C
2.下列问题属于排列问题的是 (　　)
①从10名学生中抽2名学生开会；
②从班上30名男生中选出5人组成篮球队；
③从数字5，6，7，8中任取2个不同的数进行幂的运算.
A.①　　　　　　　　 B.②
C.③ D.②③
解析
①中无顺序要求，因此不属于排列问题；②中5人组成篮球队也无顺序要求，因此不属于排列问题；③中幂分底数和指数，有顺序要求，因此属于排列问题.
C
3.A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有 (　　)
A.3种 B.4种
C.6种 D.12种
解析
所有的排法有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种.
4.有2张卡片，在正反面分别写上数字1，2和4，5，将它们并排组成两位数，可以组成的不同的两位数共有　　　　　个.
答案 8
解析
若写有1和2的卡片在前，则有14，15，24，25，共4个两位数；若写有4和5的卡片在前，则有41，42，51，52共4个两位数.因此不同的两位数共有4+4=8(个).
探究一　对排列概念的理解
［知能解读］
1.排列定义的两个要素
一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”.
2.排列的特征——顺序性
每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.选取的元素不同或元素相同但元素的排列顺序不同时，都是不同的排列，只有当排列的元素完全相同且元素的顺序一样时才是相同的排列.
判断下列问题是否为排列问题：
(1)选2个小组分别去植树和种菜；
(2)选2个小组去种菜；
(3)选10人组成1个学习小组；
(4)从1，2，3，4，5中任取2个数相除；
(5)10个车站，站与站间的车票.
解
(1)植树和种菜是不同的活动，存在顺序的区别，因此是排列问题.
(2)(3)不存在顺序的区别，因此不是排列问题.
(4)两个数相除与这两个数的顺序有关，因此是排列问题.
(5)车票有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，因此是排列
问题.
［方法总结］　判断一个具体问题是否为排列问题的方法
解
(1)对于选出的2人，由谁担任正、副班长结果有所不同，即与顺序有关，因此是排列问题.
(2)对数值与底数和真数的取值的不同有关系，即与顺序有关，因此是排列问题.
(3)点的坐标与横、纵坐标的取值的不同有关系，即与顺序有关，因此是排列问题.
(4)焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必有a>b，a，b的大小关系一定，即与顺序无关，因此不是排列问题.
探究二　简单的排列问题
写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？请写出这些两位数.
(2)A，B，C，D四个人坐成一排照相，有多少种坐法？将它们用树形图表示出来.
解
(1)画树形图如下：
故所有两位数为：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12个.
解
(2)先安排A，有4种坐法；接着安排B，有3种坐法；再安排C，有2种坐法；最后安排D，有1种坐法.由分步乘法计数原理知，不同的坐法共有4×3×2×1=24(种).
画树形图如下.
［变式1］　在本例(2)中，若在条件中增加“A不坐排头”的条件，则结果如何？
解
画树形图如下：
由树形图可知，共有18种不同的坐法.
［变式2］　在本例(2)中，若在条件中增加“A不坐两头”的条件，则结果如何？
解
画树形图如下：
由树形图可知，共有12种不同的坐法.
［变式3］　在本例(2)中，若在条件中增加“A，B不相邻”的条件，则结果如何？
解
画树形图如下：
由树形图可知，共有12种不同的坐法.
［方法总结］　解决排列问题的技巧
1.解决简单的排列应用题，首先必须认真分析、理解题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么，然后才能运用分类加法或分步乘法计数原理求解.
2.树形图是解决简单的排列问题常用的解题方法.它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体列出各种情况，避免排列重复或遗漏.
［训练2］　从0，1，2，3这4个数字中，取出3个不同的数字排成1个三位数，能组成多少个不同的三位数？请写出这些三位数.
解
方法一：组成三位数分三个步骤.
第一步，选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的方法；
第二步，选十位上的数字，有3种不同的方法；
第三步，选个位上的数字，有2种不同的方法.
由分步乘法计数原理得，不同的三位数共有3×3×2=18(个).
方法二：画出树形图如下.
由树形图知，所有的三位数共有18个，分别为：102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
B
1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数进行加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有(　　)
A.1种　　 B.2种　　 C.3种　　 D.4种
解析
因为加法和乘法运算满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法运算时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法的运算结果与两个数字的位置有关，故是排列问题.
C
2.信号兵有3种不同颜色的旗子各1面，每次打出3面，最多能打出不同的信号 (　　)
A.1种 B.3种 C.6种 D.27种
解析
完成这件事可分三步完成：第一步，打出第一面旗子，有3种方法；第二步，打出第二面旗子，有2种方法；第三步，打出第三面旗子，有1种方法.因此最多能打出3×2×1=6(种)不同信号.
3.在一次班内学习兴趣交流会上，某数学兴趣小组的四名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，若每名学生只讲一位数学家的故事，每位数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有　　　　种.
答案 24
解析
将该小组的四名学生分别记为甲、乙、丙、丁，则需分四步完成：甲从四位数学家中任选1人讲解其故事，有4种选法；乙再从剩余的3位数学家中任选1人，有3种选法；同理丙、丁各有2种、1种选法.根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有4×3×2×1=24(种).
4.从集合｛0，1，2，5，7，9，11｝中任取3个元素，分别作为直线方程Ax+By+C=0中系数A，B，C的值，所得直线经过坐标原点的有_____条.
答案 30
解析
直线过原点，则有C=0.所以只需再从集合｛0，1，2，5，7，9，11｝中任取2个非零元素作为系数A，B的值，共有6×5=30(种)方法.所以符合条件的直线有30条.
5.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加1项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，共有多少种不同的选法？
解析
第一步，确定上午参加活动的同学，即从3人中选1人，有3种选法；第二步，确定下午参加活动的同学，即从剩余2人中选1人，有2种选法.根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有3×2=6(种).

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