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第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 　　1.在学习二项式定理过程中提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.在运用二项式定理解决相关问题的过程中增强逻辑推理、数学运算的核心素养.
二项式定理及相关的概念
概念 公式(a+b)n=____________________________________________称为二项式定理
二项展
开式
二项式
系数
二项式
通项
备注
k+1
×
×
×
D
解析
A
3.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为 (　　)
A.-210 B.210
C.-120i D.-210i
解析
4.若在 的展开式中第4项是常数项，则n=　　　　.
答案 18
解析
探究一　二项式定理的正用、逆用
［知能解读］　(a+b)n二项展开式的特点
1.展开式共有n+1项.
2.各项字母的指数和都等于二项式的幂指数n.
3.字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到n.
(1)用二项式定理展开 .
(2)化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).
解
解
解
解
解
［变式1］　本例条件不变，求二项展开式的常数项.
解
［变式2］　本例条件不变，求二项展开式中所有的有理项.
解
解
解
C
C
解析
解析
解析
［训练3］　(1)在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3)= (　　)
A.45 B.60 C.120 D.210
(2)在(a+x)(1+x)4的展开式中，含x的奇数次幂的项的系数之和为32，则a=　　　　.
C
答案 3
解析
解析
(2) 由已知得
(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4.
故(a+x)(1+x)4的展开式中含x的奇数次幂的项分别为4ax，4ax3，x，
6x3，x5.
其系数之和为4a+4a+1+6+1=32.
解得a=3.
D
1.化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1的结果是(　　)
A.(x-1)4　　　　　 B.x4-1
C.2(x-1)4 D.x4
解析
原式=［(x-1)+1］4=x4.
B
解析
D
3.在(1-x3)(1+x)10的展开式中，含x5的项的系数是 (　　)
A.-297　 B.-252　 C.297　　 D.207
解析
4.(2021·浙江卷)已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1=　　　　，a2+a3+a4=　　　　　.
答案 5　10
解析
(x-1)3=x3-3x2+3x-1，
(x+1)4=x4+4x3+6x2+4x+1，
所以a1=1+4=5，a2=-3+6=3，a3=3+4=7，a4=-1+1=0.
所以a2+a3+a4=3+7+0=10.
解

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