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第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 　　1.在理解离散型随机变量均值的过程中，增强数学抽象的核心素养.
2.在求离散型随机变量均值的过程中，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
离散型随机变量的均值
1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
x1p1+x2p2+…+xnpn
2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的___________，它综合了随机变量的取值和取值的_____，反映了随机变量取值的________.
3.两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=___ (___为成功概率).
4.性质：X为一个离散型随机变量，a，b为常数，则E(X+b)=________；E(aX)=_______；
E(aX+b)=________.
加权平均数
概率
平均水平
p
p
E(X)+b
aE(X)
aE(X)+b
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化. ( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同. ( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)=2，则E(2X)=4.( )
(4)若某人投篮的命中率为0.8，则他投篮10次一定会进8个球. ( )
×
×
×
√
A
2.已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3
P
解析
3.设E(X)=10，则E(3X+5)=_______.
答案 35
解析
E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.
4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.某运动员命中的概率为0.8，则他罚球1次得分X的期望是_____.
答案 0.8
解析
由题意知X服从两点分布，
所以E(X)=0×(1-0.8)+1×0.8=0.8.
5.1个均匀小正方体中，3个面上标有数字0，2个面上标有数字1，1个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，向上的数字之积的数学期望是______.
解析
探究一　求离散型随机变量的均值
某地最近出台一项机动车驾驶证考试规定：每名考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.李明决定参加机动车驾驶证考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加机动车驾驶证考试次数X的分布列和X的均值.
解
X的取值分别为1，2，3，4.
X=1表示“李明第一次参加考试就通过”，
故P(X=1)=0.6.
X=2表示“李明第一次考试未通过，第二次考试通过”，
故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
X=3表示“李明第一、二次考试未通过，第三次考试通过”，
故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
X=4表示“李明第一、二、三次考试都未通过”，
解
故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
故E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
［训练1］　盒子中装有5节同品牌同型号的电池，其中混有2节废电池.现在无放回地每次取1节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值.
解
X 1 2 3
P
探究二　离散型随机变量均值的性质
已知随机变量X的分布列如下表：
X -2 -1 0 1 2
P m
求E(X).
解
［变式1］　本例条件不变，设Y=2X-3， 求E(Y).
解
Y -7 -5 -3 -1 1
P
解
［训练2］　已知随机变量X的分布列如下表：
X -1 0 1
P m
B
解析
探究三　离散型随机变量均值的实际应用
某中药种植基地有两处种植区的药材需在周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.下雨会影响药材品质，从而影响基地收益.根据观察，不同天气下基地收益如下表：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元
已知周一和周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率是0.36.
(1)写出基地收益X的分布列及基地的预期收益.
(2)若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.当天无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元，额外聘请工人的成本为a万元.该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
思路分析：(1)列出基地收益X的取值并求出相应概率，按求随机变量均值的步骤求解；
(2)求出外聘工人时的预期收益，与不外聘工人的预期收益进行比较，通过讨论外聘工人的成本解决问题.
解
(1)设周一无雨的概率为p.
由题意知p2=0.36，即p=0.6.
基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，
则P(X=20)=0.36，
P(X=15)=0.6×(1-0.6)=0.24，
P(X=10)=(1-0.6)×0.6=0.24，
P(X=7.5)=(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.
解
所以基地收益X的分布列如下表：
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4
(万元).
解
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益
E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=(16-a)(万元).
所以E(Y)-E(X)=1.6-a.
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，可以外聘工人；当成本恰为1.6万元时，外聘或不外聘工人均可以.
［训练3］　随机抽取某厂生产的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列.
(2)求生产1件产品的平均利润(即X的数学期望).
(3)经技术革新，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，那么三等品率最多是多少？
解
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
解
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).
(3)设技术革新后的三等品率为x，生产1件产品的利润为Y元.
则此时生产1件产品的平均利润为
E(Y)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29).
依题意，得E(Y)≥4.73，即4.76-x≥4.73.
解得x≤0.03.
所以三等品率最多为3%.
B
1.已知随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3
P 0.2 0.5 m
则X的均值是 (　　)
A.2 B.2.1
C.2.3 D.随m的变化而变化
解析
由0.2+0.5+m=1，得m=0.3.
故E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.
B
2.某船队若出海后天气好，则可获得5 000元；若出海后天气不好，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是 (　　)
A.2 000元　　　　　 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
解析
设出海的效益为X元，则出海的期望效益E(X)=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元).
A
解析
4.已知X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P
设Y=2X+5，则E(Y)=______.
解析

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