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第七章 随机变量及其分布
7.2 离散型随机变量及其分布列
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.理解随机变量的分布列，会求简单的离散型随机变量的分布列. 　　1.在学习离散型随机变量过程中，提升数学抽象的核心素养.
2.在求解离散型随机变量的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.
一、离散型随机变量的概念
1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有
______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量：可能取值为______或可以_________的随机变量，我们称为离散型随机变量.通常用_______________表示随机变量，用________
____表示随机变量的取值.
唯一
有限个
一一列举
大写英文字母
小写英文
字母
二、离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率
P(X=xi)=___，i=1，2，…，n
为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列也可以用表格或图形表示.
2.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi____0，i=1，2，…，n；
(2)p1+p2+…+pn=___.
pi
≥
1
X 0 1
P ____ __
1-p
p
我们称X服从____分布或____分布，并称p=P(X=1)为成功概率.实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1).
两点
0-1
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数. ( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.( )
(3)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数. ( )
(4)离散型随机变量分布列的每个随机变量取值对应的概率都相等. ( )
×
×
×
√
B
2.抛掷一枚均匀硬币，随机变量为 (　　)
A.抛掷硬币的次数
B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数
D.出现正面和反面的次数之和
解析
掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，X的取值是0，1，故选B.而选项A中抛掷次数是确定的，不是随机变量；选项C中说法不明确；选项D，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.
C
3.已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②6张奖券中只有2张中奖，从这6张奖券中随机抽取3张，用X表示抽到中奖奖券的张数；
③某运动员在一次110 m跨栏比赛中的成绩X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.
其中X为离散型随机变量的是 (　　)
A.①②③　　　　　　 B.②③④
C.①②④ D.③④
解析
③中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量.
解析
探究一　离散型随机变量的判定
指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额X；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差Y；
(4)某长江水位监测站所测水位在(0，29］这一范围内变化，该水位站所测水位Y.
解
(1)车辆数X的取值可以一一列举，故X为离散型随机变量.
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列举，故X为离散型随机变量.
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列举，故Y不是离散型随机变量.
(4)水位在(0，29］这一范围内变化，不能按次序一一列举，故Y不是离散型随机变量.
［训练1］　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号码；
(2)袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30 m，此林场中树木的高度.
解
(1)只要取出1张卡片，便有1个号码，因此被取出的卡片可能的号码可以一一列举，因此是离散型随机变量.
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球.白球的个数可以一一列举，因此是离散型随机变量.
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30］内的一切值，无法一一列举，因此不是离散型随机变量.
探究二　离散型随机变量的取值及表示的结果
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果.
(1)袋子中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋子中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字
之和.
解
(1)设所需的取球次数为X，则X=1，2，3，4，…，10，11.
X=i表示“前i-1次取到红球，第i次取到白球”，这里i=1，2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X=3，4，5，…，11.
X=3表示“取出标有1，2的2张卡片”；
X=4表示“取出标有1，3的2张卡片”；
X=5表示“取出标有2，3或1，4的2张卡片”；
X=6表示“取出标有2，4或1，5的2张卡片”；
解
X=7表示“取出标有3，4或2，5或1，6的2张卡片”；
X=8表示“取出标有2，6或3，5的2张卡片”；
X=9表示“取出标有3，6或4，5的2张卡片”；
X=10表示“取出标有4，6的2张卡片”；
X=11表示“取出标有5，6的2张卡片”.
［变式］　若本例(2)中条件不变，设所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，则Y有哪些取值？其中Y=4表示什么含义？
解
Y的所有可能取值有1，2，3，4，5，共5个.Y=4表示“取出标有1，5或2，6的2张卡片”.
［训练2］　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)袋子中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋子中随机取出3个球，取出的球的最大编号数为X；
(2)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，需要比赛的局数X.
解
(1)X可取3，4，5.
X=3表示“取出的3个球的编号为1，2，3”；
X=4表示“取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4”；
X=5表示“取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5”.
解
(2)根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.X=4表示“共打了4局，甲、乙中有1人连胜4局”；
X=5表示“在前4局中有1人输了1局，第5局此人胜出”；
X=6表示“在前5局中有1人输了2局，第6局此人胜出”；
X=7表示“在前6局中，两人打平，第7局有1人胜出”.
解
［训练3］　已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1
P 4a-1 3a2+a
求常数a的值及相应的分布列.
解
X 0 1
P
探究四　求离散型随机变量的分布列
［知能解读］　离散型随机变量分布列的意义和作用
1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.
2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和.
3.在求离散型随机变量的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确.
1个袋子中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中1次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色各不相同的概率.
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列.
思路分析：(1)求出随机取3个球的样本点个数及颜色各不相同的样本点个数；
(2)确定X的取值及取每个值的含义，进而求出概率，再写出分布列.
解
解
所以X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
［训练4］　袋子中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球和4个红球.
(1)若从袋中一次取出2个小球，求恰为异色球的概率.
(2)若从袋中一次取出3个小球，且3个球中黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为X，求X的分布列.
解
解
X 1 2 3
P
解
X 0 1
P
解
X 0 1
P
解
Y 0 1
P
C
1.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则“X=5”表示的事件是 (　　)
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标
D.第4次击中目标
解析
击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X=5，则说明前4次均未击中目标，故选C.
C
2.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是 (　　)
A.P(X<2)=0.7
B.P(X≥2)=0.6
C.P(X≥3)=0.3
D.P(X≤1)=0.2
解析
易得a=0.1，
故P(X≥3)=0.2+0.1=0.3.
C
解析
4.在某次考试中，需回答3个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分.则某同学回答这3个问题的总得分X的所有可能取值是_______________________.
答案 -300，-100，100，300
解析
答对0个问题得-300 分，答对1个问题得-100分，答对2个问题得100分，问题全答对得300分.
5.将3个小球任意放入4个大的玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为X，求X的分布列.
解
解
X 1 2 3
P
6.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查.用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列.
解
X 0 1
P

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