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第七章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决简单的实际问题. 　　1.在学习离散型随机变量方差过程中，提升数学抽象的核心素养.
2.在求解离散型随机变量方差的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.
离散型随机变量的方差
1.定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2，(x2-E(X))2，…，(xn-E(X))2.因为x取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的__________，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=________________为随机变量X的方差，有时也记为_______，并称______为随机变量X的标准差，记作____.
加权平均
Var(X)

σ(X)
偏离程度
集中
分散
D(X)
a2D(X)
a2D(X)
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. ( )
(2)若a是常数，则D(a)=0. ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度. ( )
×
√
√
B
2.为了解甲、乙两种水稻的分蘖情况，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)=11，D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
解析
因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
解析
4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机_______的质量较稳定.
答案 乙
解析
因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量较稳定.
5.已知某随机变量X的分布列如下表(p，q∈R)：
X 1 -1
P p q
解析
探究一　求离散型随机变量的方差、标准差
［知能解读］　对方差、标准差概念的几点说明
1.随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的.
2.随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动(集中与离散程度).
3.D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小.
4.标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
编号为1，2，3的3名学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，每名学生坐1个座位.设与座位编号相同的学生的人数是X，求E(X)和D(X).
解
解
X 0 1 3
P
［方法总结］　求离散型随机变量X的方差的步骤
［训练1］　有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测进行区分.每次随机检测1件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率.
(2)已知每检测1件产品需要费用100元.设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、均值(数学期望)和方差.
解
解
故X的分布列如下表：
X 200 300 400
P
探究二　离散型随机变量方差的性质
已知随机变量X的分布列如下表：
(1)求X的方差和标准差.
(2)设Y=2X-E(X)，求D(Y).
X 0 10 20 50 60
P
解
［变式］　将本例的分布列改为下表：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
问题不变，如何求解？
解
［训练2］　已知随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1
试求D(X)和D(2X-1).
解
E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
则D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0.1=1.56.
故D(2X-1)=22D(X)=4×1.56=6.24.
探究三　离散型随机变量方差的实际应用
甲、乙2名射击运动员在1次射击中射中的环数为2个相互独立的随机变量X，Y.已知甲、乙两名射击运动员每次射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1；乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求X，Y的分布列.
(2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击水平.
思路分析：(1)按求随机变量分布列的步骤求解；
(2)按均值与方差定义求解，并根据均值和方差的大小关系比较甲、乙的射击水平.
解
(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1.
解得a=0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
则X，Y的分布列如下表：
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
解
(2)由X，Y的分布列，得
E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2；
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.
所以D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96；
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
因为E(X)>E(Y)，D(X)［训练3］　有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布如下表：
甲的成绩的分布列
X 80 90 100
P 0.2 0.6 0.2
乙的成绩的分布列
Y 80 90 100
P 0.4 0.2 0.4
试分析这两名学生的成绩水平.
解
根据分布列计算，得
E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90，
D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40；
E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90，
D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80.
因为E(X)=E(Y)，D(X)D
1.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.7，则E(X)和D(X)的值分别为 (　　)
A.0.6和0.7　　　　　 B.1.7和0.09
C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
解析
E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7，
D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
C
2.已知随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)=1.1，则D(X)= (　　)
X 0 1 x
P 0.2 p 0.3
A.0.36 B.0.52
C.0.49 D.0.68
解析
由随机变量分布列得
p=1-0.2-0.3=0.5.
则E(X)=0×0.2+1×0.5+0.3x=1.1.
解得x=2.
所以D(X)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49.
3.随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P x y z
解析
4.若D(X)=1，则D(X-D(X))=_______.
答案 1
解析
D(X-D(X))=D(X-1)=D(X)=1.
5.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，这两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数X，Y的分布列如下表：
试评定两个保护区的管理水平.
解
甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，
D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.
乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为
E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，
D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.
由于E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，说明两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定.

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