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第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.理解超几何分布及其推导过程.
2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题. 　　通过对超几何分布的学习，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
N
M
n
n

np
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样. ( )
(2)在超几何分布中，随机变量X的最大取值是M.( )
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布. ( )
(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X=m). ( )
×
×
√
√
B
解析
3.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X=1)=______.
解析
4.从装有3个红球和2个白球的袋子中随机取2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的数学期望为_____.
解析
探究一　利用超几何分布求概率
［知能解读］
1.对超几何分布的三点说明
(1)超几何分布的模型是不放回抽样.
(2)超几何分布中的参数是N，M，n.
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男生和女生等问题，总体往往由差异明显的两部分组成.
袋子中有8个球，其中5个黑球，3个红球.从袋子中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有1个红球的概率.
解
X 0 1 2 3
P
［训练1］　交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T，其范围为［0，10］，分别有五个级别：T∈［0，2)畅通；T∈［2，4)基本畅通；T∈［4，6)轻度拥堵；T∈［6，8)中度拥堵；T∈［8，10］严重拥堵.晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如下图：
(1)这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列.
解
X 0 1 2 3
P
［训练2］　某市教育部门为了落实国家“双减”政策，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况.现从中抽取100份问卷，统计其中学生一周课后延时服务总时间(单位：min)，并将时间数据分成以下五组：［100，120)，［120，140)，［140，160)，［160，180)，［180，200］，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(结果保留1位小数).
(2)通过调查分析发现，服务总时间超过160 min，学生会产生不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记学生产生不满情绪的问卷份数为X，求X的分布列及均值.
解
解
X 0 1 2
P
探究二　超几何分布与二项分布
［知能解读］　超几何分布与二项分布的区别与联系
超几何分布 二项分布
区
别 超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的 二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验
超几何分布 二项分布
联
系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，二者的均值相同
对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时超几何分布可以用二项分布近似
袋子中有8个白球和2个黑球，从中随机抽取3次，每次取1个球.
(1)不放回抽样时，用X表示取出黑球的个数，求X的分布列，并求出其均值.
(2)有放回抽样时，用Y表示取出黑球的个数，求Y的分布列，并求出其均值.
思路分析：两个条件下判断随机变量X，Y分别服从超几何分布和二项分布，进而求分布列和均值.
解
X 0 1 2
P
解
解
Y 0 1 2 3
P
［训练3］　老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，某同学只能背诵其中的6篇.
(1)求抽到他能背诵的课文的数量的分布列.
(2)若老师从10篇课文中有放回抽取3篇，求抽到他能背诵的课文的数量的分布列.
解
X 0 1 2 3
P
解
X 0 1 2 3
P
［训练4］　在15件产品中有4件次品，连续抽5次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值.
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值.
解
C
解析
D
解析
D
解析
4.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生和4名女生.从中选出4人参加数学竞赛，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.
解
X 0 1 2 3 4
P

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