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第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
课程内容标准 学科素养凝练
　　1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.
2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义. 　　1.在理解正态分布概念的过程中，提升数学抽象的学科素养.
2.在求解正态分布问题的过程中，增强逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养.
一、连续型随机变量
　　除了前面已经研究过的离散型随机变量，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
二、正态分布
1.正态曲线：对于给定函数f(x)=____________，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为______________，称它的图象为正态分布密度曲线，简称__________.
2.正态分布与标准正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~________.特别地，当_____，_____时，称随机变量X服从标准正态分布.

正态密度函数
正态曲线
N(μ，σ2)
μ=0
σ=1
3.用正态分布求概率：若X~N(μ，σ2)，如下图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的_____，而P(a≤X≤b)为区域B的_____.
面积
面积
4.正态曲线的特点
(1)正态曲线在x轴的____.
(2)正态曲线与x轴之间的区域的面积为___.
(3)曲线是____的，它关于直线____对称.
(4)曲线在x=μ处达到峰值_________ .
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.

上方
1
单峰
x=μ
(6)μ决定正态曲线的位置：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随μ的变化沿x轴平移，如图①所示.
(7)σ决定正态曲线的形态：当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较_____；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较_____，如图②所示.
集中
分散
5.正态分布的均值和方差：若X~N(μ，σ2)，则E(X)=___，D(X)=___.
σ2
μ
三、“3σ原则”
如果X~N(μ，σ2)，那么
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈_________，
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈________，
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈_______.
尽管正态变量的取值范围是(-∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间_______________内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎___________.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取［μ-3σ，μ+3σ］中的值.
0.682 7
0.954 5
0.997 3
［μ-3σ，μ+3σ］
不可能发生
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)正态变量函数解析式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差. ( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的区域的面积是随参数μ，σ的变化而变化的. ( )
(3)正态曲线关于y轴对称. ( )
(4)当μ一定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”. ( )
×
×
×
√
B
解析
D
解析
答案 6　9　
解析
A
(2)右图是一条正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差.
解析
(1) 根据正态曲线的特征：对称轴方程是x=μ，σ决定正态曲线的形状，由题图可得，应选A.
解
D
解析
因为正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠右，所以μ1<μ2=μ3.又因为σ的值反映的是这组数据的集中情况，σ值越小图象越“瘦高”，σ值越大图象越“矮胖”，所以σ1=σ2<σ3.
C
探究二　正态分布的概率
(1)随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)=0.8，则P(0A.0.6　　 B.0.4　　 C.0.3　　 D.0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(-1，1)内取值的概率.
解析
(1) 因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以μ=2，对称轴是x=2.
因为P(X<4)=0.8，
所以P(X≥4)=P(X<0)=0.2.
所以P(0所以P(0解
［变式］　本例(2)中已知条件不变，试求P(X≥5).
解
C
［训练2］　已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)=0.682 7，则P(X>4)=(　　)
A.0.158 5　　　　　　　 B.0.158 6
C.0.158 7 D.0.341 3
解析
探究三　正态分布的实际应用
在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X~N(90，100).
(1)试求考试成绩X位于区间［70，110］内的概率.
(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计考试成绩在［80，100］之间的考生大约有多少人.
思路分析：
解
［训练3］　在某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走.第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间X(单位：min)服从正态分布N(50，100)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间Y(单位：min)服从正态分布N(60，16).若只有70 min可用，则在保证有95%以上概率准时到达的条件下，应走哪条路线？
解
由已知，得
X~N(50，100)，Y~N(60，16).
由正态分布的2σ区间性质，有
P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.
对于X，有μ=50，σ=10，2σ区间为(30，70)；
对于Y，有μ=60，σ=4，2σ区间为(52，68).
要尽量保证用时在X (30，70)，Y (52，68)才能保证有95%以上的概率准时到达.
两种方案都能保证有95%以上的概率在70 min内准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10 min，因此应该走第一条路线.
C
1.正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为 (　　)
A.1　 　 B.-1　 　 C.0　 　 D.不确定
解析
因为x=μ为其对称轴，所以μ=0.
D
解析
3.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)=0.84，则P(X≤0)=_____.
答案 0.16
解析
由X~N(2，σ2)，可知其正态曲线的对称轴为x=2.则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.
4.若随机变量X~N(10，σ2)，P(9≤X≤11)=0.4，则P(X≥11)=_______.
答案 0.3
解析
5.设在一次数学考试中，某班学生的分数X服从正态分布，即X~N(110，202)，且试卷满分是150分，这个班的学生共有54名.求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的学生人数和130分以上的学生人数.
解

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