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京华中学九年级课后服务数学测试
一、单选题（每小题3分，共30分）
1.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计
往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
盒同鹛
2.下列各对数中，互为相反数的是()
A.2月
B.-（-3)和+-3
C.-(2）与-|-21
D.+(-5)与-(+5)》
3.下列运算结果正确的是（)
A.a2+a3=a5
B.(a+b)2=+b2
C.(3a3)2=6a6
D.a2.a3=a5
4.一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图
所示，则这个不等式组的解集为()
A.X>-2
B.x22
C.-2D.X≤2
5.己知点(a,b)在函数y=-是的图象上，下列说法错误的是
()A.当x=-1时，y=3B.点(b,a)和(-a,-b)在此函数图象
上
C.图象位于第二、第四象限
D.当x<0时，y随x的增大而减小
6.一次函数y=2x与y=ax+4交于点(3,3)，则方程组
∫y=2x
y=x+4的解为()
ate e(o
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，
适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别
以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径画弧，两弧交于
点P,连接AP并延长交BC于点D。若△ACD的
M
面积为6，则△ABD的面积是()
.N
A.10
B.11C.12D.13
B
8.如图1，在跳绳时，小红按照体育老师教的方
法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身
体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳
长即合适长度。将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两
端的距离约为1m,小臂到地面的距离约为1.2m,则适合小
红的绳长为()
1米
A.2.2m
B.2.4m
1.2米
c.2.6m
D.3.4m
图1
图2
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E且AE=CD=8,
∠BAC=号∠BOD,则BE的长为()
B
D
A.
B.3
C.2
D.5
E
10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60。,E,F分别
是AB,AD的中点，DE,BF相交于点G,连接BD,
A
CG,有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG;③△BDF
兰△CGB:④S△ABD=车AB。其中正确的结论有
D
()
F
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若V三有意义，则×的取值范围是
12.己知a+b=3,ab=2,则3a2b+3ab的值为
13.若n边形共有54条对角线，则该多边形内角和为
14.如图，在△ABC中，BC=48,AD=16,AD是高，
矩形PQMN的顶点P,N分别在AB,AC上，QM
在BC上，AD交PN于点E,当PQ=时，
D M
矩形PQMN的面积最大。
15.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点O在AB上，
D
以点O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC、AB
于点D、F,半圆与BC相切于点E,若BE=2,则图
中阴影部分的周长为
（保留π)。京华中学九年级课后服务数学测试参考答案
【1】D
【2】C
【3】D
【4】B
【5】D
【6】A
【7】C
【8】C
【9】C
【10】C
解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，
∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得 DG=
CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG= CG，
故可得出 BG+DG=CG，即②正确；
③首先可得对应边 BG≠FD，因为 BG=DG，DG＞FD，故
可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD= AB DE= AB （ BE）= AB AB= AB2，
即④正确．
综上可得①②④正确．选 C
【11】
【12】18
【13】1440°
对角线： n(n 3)=54→n=12
内角和：(12 2)×180°=1440°
【14】8
解：∵四边形 PQMN为矩形，
∴PN∥QM，PQ=MN，
∴△APN∽△ABC，
∵△ABC中，AD是高，
∴△APN中，AE是高，且有 DE=PQ=MN，
∴ ，
∵BC=48，AD=16，
设 DE=PQ=MN=x,
∴ ，
∴PN=48-3x,
∴矩形 PQMN的面积为 PQ PN=x（48-3x）=-3x2+48x=-3
（x-8）2+192．
∴当 PQ=x=8时，矩形 PQMN的面积最大，
【15】
解：如图，半圆与 BC相切于点 E，连接 OE，则∠OEB=90
°，
在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=OF=BE=2，
由勾股定理得 OB= =
∴BF=OB-OF=
弧 EF的长度为 =
∴阴影部分的周长为
【16】（0，2 ）
解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是
等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1=2，设 A2（m,2+m），
则有 m（2+m）=1，
解得 m= -1，
∴OB2=2 ，
设 A3（a,2 +a），则有 a（2 +a）=1，
解得 a= ，
∴OB3=2 ，
同法可得，OB4=2 ，
∴OB2026=2 ，
∴B2026（0，2 ）
【17】
=
=
【18】
当 x=5时，原式=
【19】
（1）400
（2）
（3）36
（4）列表法，从甲、乙、丙、丁四人中选甲、乙两名同学，
所有可能的组合为：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲、乙） （甲、丙） （甲、丁）
乙 （甲、乙） （乙、丙） （乙、丁）
丙 （甲、丙） （乙、丙） （丙、丁）
丁 （甲、丁） （乙、丁） （丙、丁）
所以恰好选中甲和乙两名同学的概率概率
【20】
（1）∵DF=BE，
∴DF+EF=BE+EF，
∴DE=BF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在 Rt△ADE和 Rt△CBF中， ，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；
（2）由（1）得△ADE≌△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形．
【21】
解：（1）设甲种型号机器人每小时分拣 x件快递，则乙
种型号机器人每小时分拣（x-200）件快递，
根据题意得 ，
10000（x-200）=8000x,
解得 x=1000，
经检验，x=1000是分式方程的解，且符合实际意义，
∴x-200=1000-200=800（件），
答：甲种型号机器人每小时分拣 1000件快递，乙种型号
机器人每小时分拣 800件快递；
（2）设购买 m台甲种型号机器人，则购买（10-m）台乙
种型号机器人，总费用为 w万元，
根据题意得 1000m+800（10-m）≥8500，
化简得 200m≥500，
解得 m≥2.5，
总费用 w=5m+3（10-m）=2m+30，
∵2＞0，
∴w随 m的增大而增大，
又∵m为整数，
∴m的最小值为 3，此时 w最小值为：w=2×3+30=36（万
元），
答：购买 3台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费
用是 36万元．
【22】
解：（1）如图 2，
∵AC=AD=2m,∠CAD=120°，
∴∠ACD=∠ADC= ×（180°-120°）=30°，
∵AB⊥EF，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠AEB=∠ADC=30°，
∵cos∠AEB=cos30°= ，BE=3m,
∴AE=2 m,
∴DE=AE-AD=（2 -2）m；
（2）如图 3，
∵BE=3m,EE′=1m,
∴BE′=BE-EE′=2（m），
∵拉绳长度保持不变，
∴A′E′=AE=2 m,
∴A′B= =2 （m）．
【23】
解：（1）结论：BD=CE．
理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．
故答案为：BD=CE；
（2）∵∠ABC=∠ADE=90°， ，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴△ABD∽△ACE，
∴ ，
∵ ，
∴令 AB=8x,BC=15x,
由勾股定理得
AC= =17x，
∴ ；
（3）①如图所示，B，D，E三点共线，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴∠AEC=∠D=90°，
由勾股定理得 AE2=AD2+DE2=9+9=18，AC2=AB2
+BC2=25+25=50，
∴CE= =4 ；
②如图所示，B，D，E三点共线，
此时，∠ADB=∠ADE=90°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
由勾股定理得 AE2=AD2+DE2=9+9=18，AC2=AB2
+BC2=25+25=50，
∴CE= =4
综上，CE的长为
【24】
（1）解：设 y=a（x-4）2，
当 x=0时，16a=4，
解得 a= ，
∴y= x2-2x+4；
（2）解：弦 MN的长度是定值，理由如下：
连接 CN，BC，过点 C作 CG⊥x轴交于 G，
∴CN=BG，
设 C（m, m2-2m+4），则 G（m,0），
∴GN2=CN2-CG2=BC2-CG2
=（4-m）2+（ m2-2m+4-2）2-（ m2-2m+4）2=4，
∴GN=2，
∵MG=NG，
∴MN=4；
（3）证明：设直线 BC的解析式为 y=kx+b,
∴
解得 k=1，b= ，
∴y=x-2，
设 C（n,n-2），
∴n-2= n2-2n+4，
解得 n=6±2 ，
当 n=6-2 时，点 C在对称轴的左侧，
∵MN=4，
∴N（8-2 ，0），
∴BC2=16（2- ），BN2=16（2- ），
∵BC=BN，BC=CN，
∴△CBN是等边三角形；
当 n=6+2 时，C点在对称轴的右侧，
∴N（8+2 ，0），
∴BC2=16（2+ ），BN2=16（2+ ），
∵BC=BN，BC=CN，
∴△CBN是等边三角形．京华中学九年级课后服务数学测试
一、单选题（每小题3分，共30分）
1.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含蓿丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆
标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
2.下列各对数中，互为相反数的是()
A.2号
B.-（-3)和+1-31C.-(-2)与--2D.+(-5)与-(+5)
3、下列运算结果正确的是()
A.a2+a3=a5B.(a+b)2=a2+b2
C.(3a32=6a5
D.a2.a3=a5
4.一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为()
A.x>2B.x≥2
C.-2-2
0
5.已知点(a,b)在函数y=一的图象上，下列说法错误的是（)
A.当x=-1时，y=3
B.点(b,a)和(-a,-b)在此函数图象上
C.图象位于第二、第四象限
D.当x<0时，y随x的增大而减小
6.如图，一次函数刻=2利y=ar+4的图象交于点4(3)，则关于%，y的方程组”2x
0=ax+4解4
为()
x=3
B.
y=i
c.3
y=2
D.=2
y=3
7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30,以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB,AC
点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP并
延长交BC于点D,若AACD的面积为6，则△ABD的面积是()
A.10
B.11
C.12
D.13
8.如图1，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子
的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合
适长度.将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端的距离约为1m,小臂到地面的距
离约为1.2m,则适合小红的绳长为（)
7777777777777
图1
A.2.2m
B、2.4m
C.2.6m
D.3.4m
9.如图，AB是OO的直径；弦CD交AB于点E,且AB=CD=8,∠BAC=LBOD.则B距的长为
1
()
第1页，共4项
A.
B.3
C.2
D.5
O.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E,F分别是AB,AD的中点，DB,BF相交于点G,
连接BD,CG,有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;
④SSABD=三AB2.其中正确的结论有()
A.1个
B,2个
C.3个
D.4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
1山.若码有意义，则x的取值范图是
12.已知a+b=3,ab=2,则3a2b+3ab2的值为
13.若n边形共有54条对角线，则该多边形内角和为
14,如图，在△ABC中，BC=48,AD=16:AD是高，矩形PQMN的顶点P,N分
B
别在AB,AC上，QM在BC上，AD交PN于点E,当PQ=时，矩形PQMN的面积
最大
15.:如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC,
AB于点D,F,半圆与BC相切于点B.若BE=2,则图中阴影部分的周长为
·(结果
保留π)
B
16.如图，点A1,A2,A3…在反比例函数y=x>0)的图象上，点B,B2,Bg,…,Bn在y轴上，且
∠B1OA1=
∠B2B1A2=∠B3B2A3=,直线y=x与双曲线y=交于点A1,B1A1⊥0A1,B2A2⊥B1A2,B3A31
B3的A
2KA2
B2A3,,则B6的坐标是.
A
三、解答题（共72分）
17.(6分)计算：-12026--2+(W52-π-3)°-目
18.(6分)先化简，再求值：共÷c+1-》其中x=5,
19.(8分)按教育部2026年2月最新政策《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，中小学生每天在校综合体
育活动时间不低于2h.为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，
人数
10%
现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：A
240
200
组：t<1.5h:B组：1.5h≤t<2h:C组：2h≤t<2.5h:D组：
160
120外-----80
80
t≥2.5h.请根据上述信息解答下列问题：
40H
-40
A
B
(1)本次调查的人数是人：
CD组别
图1
图2
第2页，共4页

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