资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章概率初步
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的球，其中有6个白球m个篮球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则m的值约为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
2．甲乙丙丁四人互相给其他的三人之一写信，选择对象的方式是等可能的．问存在两个人收到对方的信的概率（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子中装有10个小球，其中有8个红球和2个黄球，这些小球除颜色外其他都相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．抛掷一枚硬币，若抛掷3次都是正面朝上，则抛掷第4次正面朝上的概率为( )
A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定
5．从同一副扑克牌中挑出张红桃、张黑桃、张方块，将这张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出张牌，抽出的这张牌中恰好有张红桃的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，一飞镖游戏板，其中每个小正方形的大小相等，则随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是（ 　 ）
A． B． C． D．
7．在一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．心想事成 B．旭日东升 C．水滴石穿 D．水中捞月
9．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷500次，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率为0
D．试验得到的频率与概率不可能相等
10．下列事件是必然事件的是（ ）
A．足球运动员在罚球区射门一次，射中 B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇
C．将实心铅球投入水中，下沉 D．雨后见彩虹，幸运
11．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 _____．
14．有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，则至少有两名同学拿对了书包的概率是_____________________ ．
15．我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5， 6中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为_____．
16．把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于7的概率是_____．
17．某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为_________．
三、解答题
18．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 15 14 23 19 15 14
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)小明说：“根据这次试验结果可知在每个掷骰子试验中出现3点朝上的频率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是130次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
19．在4张完全一样的纸条上分别写上，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀．甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支．
（1）甲抽到写着数字“1”的签的概率是____________．
（2）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同吗？请通过计算说明．
20．某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．
根据统计图：
(1)求该校被调查的学生总数；
(2)补全折线统计图；
(3)根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？
21．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)估计袋中黑球的个数为　 　只；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？
22．将，，，，五个数分别写在张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中．搅匀后从中任意摸出一张．
(1)摸到的概率是 ；
(2)求摸到的数不小于的概率．
23．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．
（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率．
24．某商场促销，顾客当日消费即可参与一次转盘抽奖，如图，转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时无效，需要重转），若指计指向的数字为4的倍数则可以领取一份奖品，请计算顾客获奖的概率．
《第三章概率初步》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B D A C A B C
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．根据白球的频率得到相应的等量关系是解题的关键．
2．C
【分析】分只存在两个人收到对方的信和有两组两个人收到对方的信两种情况分别计算出概率然后加起来即可．
【详解】解：分两种情况，当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共计六种，以其中甲乙情况为例：甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，在这种情况下，又分两种情形，一种是丙写给丁的概率为，那么丁不写给丙概率为，另一种是丙不写给丁的概率为，那么甲乙的概率为，所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为：；
当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共计三种，以甲乙和丙丁情况为例，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，丙写给丁的概率为，丁写给丙的概率为，那么甲乙和丙丁的概率为，所以存在两组两个人收到对方的信的情况概率为；则存在两个人收到对方的信的概率为，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的计算，分情况讨论计算概率是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有10个小球，其中有8个红球和2个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为
故选：B．
4．B
【分析】根据概率的公式，概率的意义判断即可．
【详解】解：抛掷一枚硬币，若抛掷3次都是正面朝上，则抛掷第4次正面朝上的概率为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的公式，概率的意义，熟练掌握概率的公式，概率的意义是解题的关键．
5．D
【分析】此题考查概率的计算公式，设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，根据，，得出，则的可能取值有，，，最后逐一计算即可，熟记公式是解题的关键．
【详解】设抽出的牌中有张红桃、张黑桃、张方块，则都为正整数，且，，
∵，
∴，
∴的可能取值有，，，，
当时，，
∴，只有种可能；
当时，，
∴，或，，有种可能；
当时，，
∴，，或，或，，有种可能；
当时，，
∴，或，或，或，，有种可能，
共种可能，其中恰好有张红桃的可能有种，
∴所求概率为，
故选：．
6．A
【分析】黑色区域有6个小正方形，全部小正方形共有16个，则根据概率计算公式即可求得随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率．
【详解】全部小正方形共有16个，黑色区域有6个小正方形，随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，根据概率计算公式，关键是求得全部事件的结果数及某事件发生的结果数．
7．C
【分析】用白球的个数除以球的总数，即为摸到白球的概率．
【详解】∵共有球3+2＝5个，白球有2个，
∴摸出的球是白球的概率为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
8．A
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件进行求解判断即可．
【详解】解：A、心想事成有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意；
B、旭日东升是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意；
C、水滴石穿是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意；
D、水中捞月是是一定不会发生的事件，不是随机事件，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，熟知相关定义是解题的关键．
9．B
【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票不一定有5张中奖，故A不符合题意；
B、次试验投掷500次，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，故B符合题意；
C、如果一个事件发生的可能性很小，那么它的概率在0和1之间，故C不符合题意；
D、试验得到的频率与概率可能相等，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
10．C
【分析】根据事件的定义判断即可．
【详解】∵足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件，
∴A不符合题意；
∵从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇是不可能事件，
∴B不符合题意；
∵将实心铅球投入水中，下沉是必然事件，
∴C符合题意；
∵雨后见彩虹，幸运是随机事件，
∴D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件即在每一次实验中一定不会发生的事件；必然事件即在每一次实验中一定会发生的事件是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查概率计算，掌握简单事件的概率计算公式是解题的关键．
总共有3瓶溶液，任取2瓶混合，找出所有可能取法和发生中和反应的取法数，再求概率即可．
【详解】∵溶液有3瓶：HCl（酸）、NaOH（碱）、KOH（碱），
任取2瓶混合，所有可能取法有三种，是否能反应如下：
1.和→酸和碱，发生中和反应；
2.和→酸和碱，发生中和反应；
3.和→碱和碱，不发生中和反应；
∴总取法数为3，发生中和反应的取法数为2.
故概率为，
故选D．
12．B
【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积．
【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率．
设不规则图案的面积为xcm2，则有
解得：x=14
即不规则图案的面积为14cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．
13．16
【分析】本题考查列举法的应用．根据限定条件首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可．
【详解】解：如图所示：
共有16种取法，
故答案为：16．
14．
【分析】题目主要考查列举法求概率，理解题意，得出所有的情况数及符合条件的情况数是解题关键．
根据题意列出所有的情况数及符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：设4名同学分别为A、B、C、D，书包依次对应a、b、c、d，随机拿书包的总情况数为：，
，
，
，共有24种，
恰好两名拿对：共有6种情况，
不存在恰好有三名同学拿对书包的情况，
恰好有四名同学拿对书包的情况有1种，
∴符合条件的情况数为种，
概率为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查运用列举法求概率，直接列出所有的可能结果，得到符合要求的情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：由题意，从中任取两个不同的数，有，共12种情况，其中能与组成“凸数”的有，共2种情况，
所以所求概率为，
故答案为：．
16．
【分析】抽出的牌的点数小于7有1，2，3，4，5，6共6个，总的样本数目为13，则问题得解．
【详解】解：∵抽出的牌的点数小于7有1，2，3，4，5，6共6个，总的样本数目为13，
∴从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于7的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．
【分析】先列出“乘风”队所有等可能的出场顺序，再找出“乘风”队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可。
【详解】解：“飞云”队出场顺序固定为快、中、慢，设“乘风”队的三种龙舟为快、中、慢，对“乘风”队出场顺序进行排列，共有快中慢、快慢中、慢快中、慢中快、中快慢、中慢快，所有等可能的结果共种，
根据规则，“乘风”队要获得三局两胜，必须满足：“乘风”队慢速舟对“飞云”队快速舟（输一局），“乘风”队快速舟对“飞云”队中速舟（赢一局），“乘风”队中速舟对“飞云”队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，故“乘风”队获胜的概率为．
18．(1)0.15，0.14
(2)小明的说法错误：因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；小亮的说法是错误的：因为事件发生具有随机性，一次试验中的频率不能等于概率
(3)
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，14，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
（2）只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，可知小明说法错误；由一次试验中的频率不能等于概率，可得小亮的说法错误；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：共做了100次试验，由统计表可得“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，14，
“1点朝上”的频率为15÷100＝0.15；“6点朝上”的频率为14÷100＝0.14；
（2）解：①小明的说法错误：因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
②小亮的说法是错误的：因为事件发生具有随机性，一次试验中的频率不能等于概率；
（3）解：小明将一枚骰子任意投掷一次，朝上的点数不小于4的有4、5、6三种情况，
（点数不小于4）．
【点睛】本题考查了模拟试验，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
19．（1）（2）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同．理由见解析
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）列出所有等可能的情况有12种，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵4支签上只有1只写有1，
∴甲抽到写着数字“1”的签的概率是．
故答案为：；
（2）相同，
甲、乙两人依次从中任意抽出1支签，所有可能出现的结果共有12种，
即（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），它们是等可能的．
所有的结果中，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件A）的结果有3种，
即（2，1）、（3，1）、（4，1）．
乙抽到写着数字“1”的签的概率为：．
所以，乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同．
【点睛】考查了概率的计算，解题关键是根据题意列出所有可能，再用概率公式求概率．
20．(1)60人，详见解析；
(2)见解析；
(3)，详见解析．
【分析】(1）根据非常满意人数为9人，占比为15%，可求得总人数；
(2）根据（1）补全折线统计图即可；
(3）利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，非常满意人数为9人，占比为15%，
故总人数为：9÷15%=60（人）；
（2）折线统计图如图所示，
（3）该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率为：．
【点睛】本题考查了统计图及概率公式的知识，能够从统计 图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键．
21．(1)20
(2)10
【分析】（1）根据大量重复试验中事件发生的频率稳定到的常数即为摸到黑球的概率，根据概率的计算公式即可得出答案；
（2）设向袋子中放入x个黑球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
【详解】（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定在常数0.5附近，因此摸到黑球的概率为0.5，估计袋中黑球的个数为只，
故答案为：20；
（2）设放入黑球x个，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的根且符合题意，
∴小明后来放进了10个黑球．
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：总共有个数，摸到的概率是 ；
（2）由题意得，摸到不小于的数有， ，，这个数，总共有个数，
所以摸到的数不小于的概率．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）把c＝2b﹣1代入x2+bx+c＝0．利用一元二次方程根的判别式即可得答案；
（2）根据方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，利用判别式可得b与c的关系，画出树状图，得出所有可能情况数及符合b与c的关系的情况数，利用概率公式即可得答案．
【详解】（1）∵c＝2b﹣1，
∴x2+bx+c＝x2+bx+2b=0．
∵==≥0,
∴方程一定有两个实数根．
（2）∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
画树状图如下：
由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种，
∴b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率为=．
【点睛】本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率，对于一元二次方程（），根的判别式为△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键．
24．
【分析】题目主要考查根据概率公式计算概率，理解题意得出符合条件的情况求解即可
【详解】解：由题意可知，任意转动一次转盘，指针指向的数字共有12种可能的结果，因为转盘是12等份，所以每种结果出现的可能性相同，
其中指针指向数字是4的倍数的结果有3种，分别是4，8，12.
所以，(指针指向的数字是4的倍数) ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑