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1.1幂的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．据统计，2013年度春节期间（除夕至初五），微信红包总收发次数达821亿次，几乎覆盖了全国的网民．数据821亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．截至2022年底，我国海上风电累计装机已超千瓦，连续两年位居全球首位，占比达一半左右．将数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．邹城市2022年的数据为亿，用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
5．据杭州亚运会主新闻发言人毛根洪介绍，截至2023年10月7日早上，杭州亚运会赛事销售超305万张，票务收入超过亿元．数据305万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．深化国企改革为企业高质量发展带来强劲动力，郑州市政府国资委所监管的市管企业2023年前三季度整体运行良好，主要经济指标稳步增长，实现利润总额6.4亿元，较去年同期大幅增加12.6亿元，12.6亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．近年来，白银区大力挖掘生态优势，推动沿黄生态旅游发展不断提速，万亩湿地坐拥黄河风情．水川湿地公园已建成游客服务中心、南北主题广场、十里楼花大道、十里黄河风情线、停车场、曲桥、荷花池、景观长廊等多处景点，设施区面积8平方公里，约12000亩，12000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．截至12月31日，黄山风景区2023年接待游客457万人，创历史新高，数据457万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．2023年中秋国庆假期的前三天（9月29日-10月1日），北京市重点旅游景区累计游客接待总量682.5万人次，同比增长60.6%．将数据682.5万用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．据世卫组织统计数据，至2022年10月8日，全球累计新冠确诊病例约6180000000例，6180000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
11．已知，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号三位航天员进行授课，央视新闻全程直播，某一时刻观看人数达到“万”，“万”用科学记数法可以表示为________．
14．面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗，据统计共投入约21亿元资金，21亿用科学记数法表示为______．
15．若，则_________ ．
16．已知，，则__________
17．现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于______．
三、解答题
18．计算：．
19．若，求m的值．
20．阅读材料：
定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，
例如：，那么称2是100的劳格数，记为．
填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；
直接写出______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且，，
根据劳格数的定义：，______，
∵
∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴______，即，
请你把数学研究小组探究过程补全
拓展：根据上面的推理，你认为：______．
21．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：______，______，______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明：
∵设，则，
∴，即，
∴
∴．
试参照小明的证明过程，解决下列问题：
①计算；
②请你尝试运用这种方法，写出，，之间的等量关系．并给予证明．
22．公安锅盔是一种地方美食小吃，现已遍布全国各地．某锅盔店计划每天卖出150个锅盔，每天的实际销售量与计划相比有出入，如表是某星期的销售情况（超出计划销售量的部分记为正，不足计划销售量的部分记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
实际销售量/个
(1)本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由．
(2)若每个锅盔的售价为8元，则该店这个星期共收入多少元？（结果用四舍五入法取近似数，精确到百位，用科学记数法表示）
23．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
第4个等式：，
……
请根据以上规律，解决下列问题
(1)试写出第6个等式：___________；
(2)请证明第4个等式．
24．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题．
(1)等比数列3，6，12，的公比为　　，第4项是　　．
(2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项　　（用和的代数式表示）．
(3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项．
(4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
《1.1幂的乘除》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C A A C B C D
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1，进行判断作答即可．
【详解】解：821亿即大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴821亿用科学记数法表示为，
故选：D．
2．A
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算即可解答．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，分别把积中每一个因式都乘方，再把它们所得的积相乘是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿
故选C．
5．A
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数”是解题的关键．
【详解】解：305万，
故选A．
6．A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：12.6亿．
故选：A．
7．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：12000用科学记数法表示为．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：万，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：682.5万；
故选C．
10．D
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．将6180000000写成科学记数法的形式，选出正确答案即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键是要确定a的值及n的值．
【详解】解：．
故选：D
11．B
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方运算法则分别计算出各项，然后再进行判断即可．
【详解】解：A.∵，，
∴
∴选项A计算错误，不符合题意；
B. ∵，，
∴
∴选项B计算正确，符合题意；
C. ∵，
∴
∴选项C计算错误，不符合题意；
D. ∵，，
∴
∴选项D计算错误，不符合题意；
故选B
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
12．D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方可得答案．
【详解】A. ，选项错误；
B. ，选项错误；
C. ，选项错误；
D. ，选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
13．
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法即可得出答案．
【详解】解：“万”用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
14．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，继而用此形式来表示此数即可；
【详解】∵21亿=2100000000
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示形式，正确掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．
15．或2
【分析】根据幂运算结果为1的三种不同情况，利用零指数幂的性质和有理数乘方运算法则分类讨论求解，即可得到的值.
【详解】解：分三种情况讨论：
（1）当指数为0，底数不为0时，根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂等于1，可得
解得，且，即，符合题意；
（2）当底数为1时，1的任意次幂都等于1，可得，
解得，此时，符合题意；
（3）当底数为时，，
解得，此时，不符合题意，舍去.
综上，的值为或．
16．
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，利用指数运算法则，将分解为 ，再代入已知条件求解．
【详解】解：由，得，
由，且，
故 ．
因此，．
故答案为：．
17．
【分析】由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可．
【详解】解：由题意知，卡片数字为，，，，，，……
∵三张卡片上的数字乘积为，
∴使三数之和最大的三个数为，，，
∴，
∴使三数之和最小的三个数为，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数于使三数之和最小的三个数．
18．
【分析】先根据整数指数幂、负指数幂、零指数幂、三角函数和绝对值进行化简，再进行加减运算.
【详解】解：原式
=
【点睛】本题考查指数幂、三角函数和绝对值，解题的关键是掌握指数幂、三角函数和绝对值.
19．1
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，把原式化为，可得，进一步解方程即可.
【详解】解；由幂的乘方，得
,
由同底数幂的乘除法，得
,即
∴，
∴，
解得．
20．1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．
【分析】根据新定义法则进行运算即可．
【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为，
∴，那么称3是1000的劳格数，记为．
∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8；
∵，
∴，
∵，，
∴＝pq，
∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n，
∴＝＋，
即，
设，，
∴，，
∵，
∴＝a－b＝－，
即－．
故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．
【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则．
21．(1)3；2；5
(2)①0；②．理由见解析
【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；
（2）①由推理过程可得；，再相减结果得0即可；
②设，，则，从而得到
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3；2；5；
（2）①
；
②．
证明：设，，则，
所以，，，
所以．
【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．
22．(1)达到了，理由见解析
(2)元
【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）把所记录数据相加即可解答；
（2）用实际销售量乘以单价计算即可．
【详解】（1）解：，
所以本星期的实际销售总量达到了计划销售总量；
（2）解：
，
答：该店这个星期共收入元．
23．(1)
(2)见解析
【分析】（1）仿照给出的等式写出第6个等式即可；
（2）设，则，，得出，求出，即可证明结论．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
第4个等式：，
第5个等式：，
第6个等式：；
故答案为：；
（2）证明：设，
∴，
即，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了数字规律探究，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．
24．(1)2，24
(2)
(3)第1项是5，第4项是40
(4)1536
【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6求出公比为2，再根据第三项是12求出第四项为24；
（2）发现的q的幂指数为项数减1，第n项；
（3）用第二项的10除以公比2得第一项是5，第四项为；
（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，根据第三项为12，第六项为96列方程组求出第一项为3，公共比为2，再求第十项是1536．
【详解】（1）根据题意知公比，第4项是，
故答案为：2，24；
（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，．由此可得第项，
故答案为：；
（3）根据题意知， 第1项为，第4项为；
（4）设这个等比数列的第一项为，公比为q，
根据题意知，
，即，
则，
这个等比数列的第10项为．
【点睛】本题考查了等比数列的概念，理解等比数列的概念，熟练运用等比数列的概念和性质进行计算是解决本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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