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4.1认识三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．5，5，5 B．5，5，10 C．4，7，3 D．8，2，5
2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边为（ ）
A． B．或 C． D．
3．已知三角形的两边，，第三边是，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．4，5，9 C．5，6，10 D．6，7，14
5．已知三角形的两边长分别为5，9，则第三边长可以是（ ）
A．15 B．14 C．4 D．5
6．已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．13 D．6
7．等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（ ）
A． B．或 C． D．
8．点E是长方形内任意一点，连接把长方形分成4个三角形，的面积分别记为．已知长方形的面积，则一定可求出的值是（ ）
A． B． C． D．
9．活动课上，乐乐想用三根木条制作一个三角形模型，现有两根的长度分别为，，他可以选用木条的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．下列长度的三条线段（单位：厘米）能组成三角形的是（ ）
A．1 2 3 B．4 11 6 C．5 5 10 D．6 7 8
11．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
12．如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ）

A．12米 B．10米 C．5米 D．8米
二、填空题
13．一个直角三角形的三条边长度分别是6厘米、8厘米和10厘米，这个直角三角形斜边上的高是______厘米，如果把这个三角形按照2：1放大后，它的面积是_______平方厘米．
14．已知等腰三角形的一边长是为，另一边为，则周长________．
15．从长度为厘米、厘米、厘米和厘米的四根小棒中，任意选取三根，可以搭出_____种不同的三角形．
16．在等腰三角形中，它的两边长分别为和，则它的周长为____________．
17．已知点G是的重心，点D是边的中点，，那么______．
三、解答题
18．已知的三边长分别为，，．
(1)化简：；
(2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值；
19．已知a，b，c是的三边，化简
20．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
21．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：
方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是　　.
方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是　.
设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.
22．实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下，
铁条规格/米 2 3 4 5 6
单价/（元/根） 6 8 10 15 20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架．
(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案．
(2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
23．如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________．
(2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长．
(3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：．
24．在长方形中，，；F，E分别为，边上的点，且满足．点P为一动点，从点E出发，沿折线，到点F后终止运动，它的速度为1个单位每秒．设点P运动时间为．
(1)当时，用含的代数式表示的长度（填空）；
解：当P在线段上运动时，即当时．
点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，．
(2)当时，连接，；用含t的代数式表示的面积；
(3)在整个运动过程中，当的取值范围是_____时，有最大值，其最大值为_____；
(4)当时，连接，，．直接用含t的代数式表示的面积_____．
《4.1认识三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C D D C D B D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】此题主要考查三角形的构成条件，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．
【详解】A．，能组成三角形，故该选项正确，符合题意；
B．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
D．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选A．
2．D
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．分两种情况进行讨论即可.
【详解】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为，
有以下两种情况：
①当腰长为时，设底边为，则，解得：，
此时该等腰三角形的三边为：，，，
，
，，不能构成三角形，故不合题意，舍去；
②当底边为时，设腰长为，
则，解得：，
此时该等腰三角形的三边为：，，，
，
，，能构成三角形，
该三角形的底边为．
故选：D．
3．B
【分析】利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合的条件确定的范围．本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 是解题的关键．
【详解】解：∵ 三角形三边为，，，
∴ ，即．
又∵ ，也就是，
∴ 综合可得．
故选：．
4．C
【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可．据此进行解答即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形，该选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，该选项不符合题意；
C、，能组成三角形，该选项符合题意；
D、，不能组成三角形，该选项不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，根据三边关系可得第三边的取值范围，再进一步选择即可．
【详解】解：根据三角形三边关系得：
第三边大于：，小于：，
则此三角形的第三边可能是：5．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【详解】此三角形第三边的长为x，
则，
即，
只有选项D符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为．
【详解】解：当底边为时，则腰长为：，
当腰长为时，则底边长为：，
则，不符合三角形三边关系，构不成三角形，
故等腰三角形的腰长为．
故选：C．
8．D
【分析】此题考查了与三角形高有关的面积问题．注意掌握数形结合思想的应用．设边的高为，边的高为，边的高为，边的高为，根据长方形的性质可得，，再分别表示出，逐一判断即可．
【详解】解：设边的高为，边的高为，边的高为，边的高为，
长方形中，，
，
∴，
已知长方形的面积，即已知，
不可求，故A选项不符合题意；
不可求，故B选项不符合题意；
不可求，故C选项不符合题意；
可求，故D选项符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系即可判断第三根木棒的取值范围，即可得到答案．解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式即可．
【详解】解：设第三根木条的长度为，
∴，
∴，
∴他可以选用木条的长度为．
故选：B．
10．D
【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两边的和是否大于第三边．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边．任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
11．B
【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．
【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，，
可得：，
已知，
可得，
三边均为整数．
又个答案分别是10，12，14，16．
的边长可能是12．
故选：B．
12．A
【分析】根据三角形的三边关系即可判断结果．
【详解】解：根据三角形三边关系得：，
即：，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记基本性质并灵活判断是解题关键．
13． 4.8 96
【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】∵一个直角三角形的三条边长度分别是6厘米、8厘米和10厘米，
∴该直角三角形斜边上的高为（厘米），
如果把这个三角形按照2：1放大后，两直角边的长分别为厘米和厘米，
∴放大后的面积为（平方厘米），
故答案为：4.8，96．
14．或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件，分为底和为腰时，分别讨论，即可求解．
【详解】当为底时，其它两边都为，、、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和，因为，所以能构成三角形，周长为；
故答案为：或．
15．三/
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．首先将四种长度的小棒任意抽出三根组合，看共有多少个组合，再应用三边关系筛选出可以组成三角形的组合，据此解答．
【详解】解：从四根小棒中任取三根，有四种情况：
①厘米、厘米、厘米，
∵，
∴厘米、厘米、厘米可以组成三角形；
②厘米、厘米和厘米，
∵，
∴厘米、厘米和厘米可以组成三角形；
③厘米、厘米、厘米，
∵，
∴厘米、厘米、厘米不能组成三角形；
④厘米、厘米、厘米，
∵，
∴厘米、厘米、厘米可以组成三角形；
综上，可以搭成三种不同的三角形，
故答案为：三．
16．/20厘米
【分析】本题考查等腰三角形的定义及三角形的构成条件．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可．
【详解】解：等腰三角形的两条腰相等
①当腰为时：三角形的周长为：；
②当腰为时：因为，此时不存在三角形．
故答案为：．
17．2
【分析】本题主要考查的是三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
三角形重心是三角形三条中线的交点，根据三角形重心的性质进行求解．
【详解】解：如图；连接
∵点G是的重心，点D是边的中点，
∴，即；
故答案为：2．
18．(1)
(2)5
【分析】（1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可；
（2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案．
【详解】（1）解：，，是的三边长，
，，，
原式；
（2），，
，
即，
三角形的周长为偶数，
．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
19．
【分析】根据三角形的三边关系和绝对值的意义化简绝对值，再合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c是的三边，
∴，，，
即，，，
∴
．
【点睛】本题考查三角形的三边关系、绝对值的化简、合并同类项，熟练掌握三角形的三边关系，正确化简绝对值是解答的关键．
20．(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为
(2)是等腰三角形，是钝角三角形
【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据网格结构作出图形并回答问题；
（2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答．
【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示，
即为所求；
（2）解：是等腰三角形，是钝角三角形．
21．两点之间，线段最短；垂线段最短；＞
【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．
【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；
方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；
方案一中m=AP+PB，
方案二中n=AM+BN，
在Rt AMP与Rt BNP中，
AM∴AM+BN即m>n，
故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．
【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
22．(1)2
(2)购买铁条共需元
【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用．
（1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可；
（2）根据（1）的方案，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：设第三边长为x，
则，即，
第三边长为奇数规格有：3和5，
共有2种制作方案；
（2）解：当三角形框架的边长为：时，
所需费用为：（元）；
当三角形框架的边长为：时，
所需费用为：（元）；
每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元），
答：购买铁条共需元．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算．
（1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可；
（2）根据，代入数值解之即可；
（3）由和三角形面积公式即可得证．
【详解】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即，
同时大长方形的面积也可以为，
所以．
（2）解：如图，在中，
∵，，
，
．
（3）证明：如图，，，，，
．
，
．
24．(1)
(2)
(3)，24；
(4)
【分析】本题主要考查了动点问题的几何分析、三角形面积的计算、几何图形的性质以及代数表达式的化简，熟练掌握动点轨迹与位置分析、、分段讨论、代数表达式的构建与化简是解题的关键；
（1）当P在线段上运动时，即当时，表示出即可．
（2）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可；
（3）分别表示出当时，当时，当时，面积变化情况，即可得出答案，
（4）利用，分别代入即可解答；
【详解】（1）解：当P在线段上运动时，即当时．
点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，．
当P在线段上运动时，即当时．
点P走的路程为起点D至终点P之间的线段的长度，该路程等于点P的运动速度点P的运动时间t，减掉，即，
，
故答案为：
（2）解：当时，P在线段上运动时，
当时，当P在线段上运动时，
在长方形中，，在这个时间段内的长度始终不变
当点P在上时，点P到的距离为，
，
，
当时，由于P在线段上运动时，
，
综上所述：
（3）当时，，随着t的增大，面积逐渐增加。当时，
当时，，随着t的增大，面积不变。
当时，，随着t的增大，面积逐渐减小，当时
当时，有最大值，其最大值为24
故答案为：，24；
（4）解：当时，
根据题意得：，，，，
，
，
，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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