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4.3探索三角形全等的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
2．如图，已知，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等腰直角三角形中，，且，则（ ）
A．4 B．8 C． D．6
4．如图，中，，于D，于E，和交于O，的延长线交于F，则图中全等的三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．7对
5．如图，在四边形中，，且，分别以四边形的四条边为边向形外作正方形、正方形、正方形、正方形，则图中各阴影部分面积和的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．18 D．32
6．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（　　）
A． B． C． D．
7．“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，再一次向世界展现了中国基建的实力，主桥侧面的三角形钢架结构如图，这样的结构蕴含的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
8．已知，求作射线平分，作法；
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心．大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于P．
（3）作射线．射线即为所求．请问作图依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是（ ）
A．对顶角相等 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短
10．根据下列条件，能画出唯一的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，电线杆的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（ ）
A．节省材料 B．保持对称
C．利用三角形的稳定性 D．利用四边形的不稳定性
二、填空题
13．如图所示，建筑工人吊钢材时，为防止钢材坠落，通常会在钢材的两个不同位置拴上吊绳，然后再起吊，你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？___________．
14．花江峡谷大桥的主体钢结构中广泛应用了三角形框架，其核心原理是________，这一特性使其能有效抵抗外力形变，保障桥梁稳固．
15．如图，与相交于点，且，，，则、两点间的距离为________．
16．如图，，，，在一条直线上，且，，则图中全等三角形有______对．

17．空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有___________的特性．
三、解答题
18．周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案．

如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的两点间的距离，可以在湖外取的垂线上的两点，使，再画出的垂线，使点与点在同一条直线上．若想知道两点之间的距离，只需要测量出线段的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确．
19．如图，，且，，且，，，点F、A、G、C、H在同一条直线上，按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．
20．如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：
第一步：在，上分别截取，，使．
第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．
第三步：作射线．（保留作图痕迹）
(1)射线是_______________________．
(2)连接，，与全等吗？请说明理由．
21．尺规作图：已知线段a和．
作一个，使，，．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

22．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在和中，
∴
∴____________
23．如图，在中，，，平分交于点F，于点E，，的延长线交于点M．

(1)求证：
(2)求证：．
24．如图，已知，，．请猜想与是否相等，并证明你的猜想．
《4.3探索三角形全等的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B B C C C C
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
根据全等三角形的判定与全等三角形的性质逐项进行分析与判断．
【详解】解：A、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
B、判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等，正确，符合题意；
C、面积相等的两个三角形的对应边不一定相等，无法判定全等，不符合题意；
D、周长相等的两个三角形的对应边不一定相等，无法判定全等，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
故选：C．
3．B
【分析】延长线段，过点B作线段延长线的垂线，垂足为E，则，等腰直角三角形，得，证，得，即可得答案．
【详解】解：如下图，延长线段，过点B作线段延长线的垂线，垂足为E，
则，
等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是证明．
4．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，再利用全等三角形的判定和性质判断，进而可得答案．
【详解】解：，，
，
，
∴，
①在和中，
∵，
∴，
，，，
∵，
，
②在和中，
∵，
∴，
，
③在和中，
∵，
∴，
∴，，
④在和中，
∵，
∴，
⑤在和中，
∵，
∴，
∴，
⑥在和中，
∵，
∴，
⑦在和中，
∵，
∴，
∴共有7对全等的三角形，
故选：D．
5．B
【分析】首先证明对于任意，分别以、为边向外侧作正方形和正方形，连接，都有：分三种情况讨论，当时，当时，当时，分别证明即可；利用上述结论，可推出图中各阴影部分的面积之和，设（），则，由可推出，然后利用二次函数的图象与性质即可求出其最大值，于是得解．
【详解】解：如图，对于任意，分别以、为边向外侧作正方形和正方形，连接，则有：，理由如下：
分三种情况讨论：
当时，
如图，过点作于点，过点作交延长线于点，
则，
，
四边形和均为正方形，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，，
；
当时，
如图，
四边形和均为正方形，
，，，，
，
，，
，，
；
当时，
如图，过点作交延长线于点，过点作于点，
则，
，
四边形和均为正方形，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，，
；
综上，对于任意，分别以、为边向外侧作正方形和正方形，连接，都有：，
如图，设、交于点，
，，，，
图中各阴影部分的面积之和
，
，
设（），则，
，
，
，
，且，
有最大值，最大值为，
图中各阴影部分的面积之和有最大值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正方形的性质，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等，等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，等式的性质，提公因式法分解因式，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，的最值等知识点，解题的关键在于：证明对于任意，分别以、为边向外侧作正方形和正方形，连接，都有．
6．B
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】解：全等三角形的判定定理分别为：
（1）判定定理1：－三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：－两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故C不符合题意；
（3）判定定理3：－两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；
（4）判定定理4：－两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：－斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．故D不符合题意．
全等三角形的判定定理不存在．故B符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．
7．C
【分析】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形的稳定性，即可得到答案．
【详解】解：主桥侧面为三角形钢架结构．其蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的作法等知识点，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键．
根据角平分线的尺规作图方法以及全等三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由角平分线的作法可知：，
又∵，
∴．
故选：C．
9．C
【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．
【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．
10．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判断方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不能确定唯一，不符合题意；
B、不能确定唯一，不符合题意；
C、可以画出唯一，符合题意；
D、不能确定唯一，不符合题意；
故选C．
11．C
【分析】首先观察图A，B，都是四边形，由四边形是否具有稳定性，解答即可；对于图C，是由三角形构成的，根据三角形是否具有稳定性解答；对于图D，是由三角形和四边形组成的，根据三角形和四边形的特性解答．
【详解】A．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意；
B．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意；
C．因为三角形具有稳定性，所以C符合题意；
D．因为四边形不具有稳定性，所以D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的特性，“三角形具有稳定性”在生活实际中有很重要的应用．
12．C
【分析】只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形具有稳定性，由此解答即可．
【详解】电线杆的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了利用三角形的稳定性．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的性质：稳定性，注意其再实际生活中的应用是关键．
13．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：其中的道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
14．三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：∵主体钢结构中广泛应用了三角形框架，这是利用了三角形具有稳定性的原理．
∴花江峡谷大桥的主体钢结构中广泛应用了三角形框架，其核心原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
15．200
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，可证明，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即则、两点间的距离为．
故答案为：200
16．6
【分析】利用证明，推出，，利用证明和，再推出，，利用即可证明和、．
【详解】解：∵，，，
∴；
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴图中全等三角形有6对，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；本题是全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时，要充分利用图形及已知条件找公共边、公共角．
17．稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形稳定性的概念．
本题直接考查三角形稳定性这一特性，只需明确该特性的定义即可解答．
【详解】解：三角形具有稳定性，即三角形的三边一旦确定，其形状和大小就固定不变．空调外机安装时采用三角形结构固定，就是利用了三角形的这一特性，使外机的固定结构更加牢固，不易变形．
故答案为：稳定性．
18．见解析
【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质的应用，根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：因为，，
所以，
因为，（对顶角相等），
所以，
所以．
所以小玮的做法正确．
19．112.5
【分析】证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再利用梯形EFHD的面积减去上述四个三角形面积即可求解．
【详解】解：如题干中图所示：∵EF⊥FH，DH⊥FH，BG⊥FH点F、A、G、C、H在同一条直线上，
∴∠F＝∠EAB=∠BGC=∠BGA=∠BCD=∠DHC=90°，
∴∠FEA+∠FAE=90°，∠BAG+∠FAE=90°，
∴∠FEA=∠GAB，
在△EFA和△AGB中，
，
∴△EFA≌△AGB(AAS)，
∴FA=BG=3，
∴，
同理可证：△BGC≌△CHD(AAS)，
∴GC=HD=6，CH=BG=3
∴FH=FA+AG+CG+CH=21，
，
∴图中实线所围成的图形的面积S=．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定方法，梯形的面积公式等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
20．(1)图见解析，的角平分线
(2)全等，理由见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
的角平分线，
故答案为：角平分线；
（2）解：结论：．
理由：在和中，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．图见解析
【分析】本题考查基本尺规作图，根据尺规作一个角等于已知角和尺规作线段的步骤画图即可．
【详解】解：如图，即为所求作：
22．，，，
【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明．
【详解】证明：在和
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义利用证明即可；
（2）先结合对顶角相等证明得到，再结合得到即可得到证明．
【详解】（1）证明：由题意得，即，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
由图可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、对顶角相等和角平分线的定义（从一个角的顶点 引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），灵活运用所学知识证明是解决本题的关键．
24．，见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质．先由，得到，再由两个三角形全等的判定定理证得，最后由两个三角形全等的性质即可得到答案．
【详解】解：，
证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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