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4.4利用三角形全等测距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在与中，已知，添加一个条件，使，下列各选项中，添加不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）
A．AE=CE；SAS B．DE=BE；SAS
C．∠D=∠B；AAS D．∠A=∠C；ASA
4．如图，，添加下列一个条件后，不能使的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在和中，若，，则下面4个条件中：①；②；③；④，能利用“”来判定和全等的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
6．如图，要用“”证明，若已知，，则还需添加条件（ ）
A． B． C． D．
7．如图，添加以下哪一组条件仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．点与点关于直线对称
8．同学们学习完“全等三角形”的知识后，对以下题目进行了讨论，下面是四位同学的答案，其中错误的是（ ）
，_____（添加一个条件，使结论成立）， 可以得到．
A． B． C． D．
9．如图所示，，且D、C、F、B在一条直线上，若要证明，还需要补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．在和中，已知，那么添加下列一个条件后能判定的是（ ）
A． B．
C． D．点A、D到直线的距离相等
11．如图，已知，在不添加辅助线的情况下，若再添一个条件就可以证明，下列条件中符合要求的有（ ）个
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，，下列条件中，添加后仍不能判定△△的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）．
14．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只需填一个即可）

15．如图，，要使，还需要添加的一个条件是______（添加一个条件即可）．
16．如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：________，使．
17．在平面直角坐标系中，点B（0，4），点A为x轴上一动点，连接AB．以AB为边作等腰Rt△ABE，（B、A、E按逆时针方向排列，且∠BAE为直角），连接OE．当OE最小时，点E的纵坐标为______．
三、解答题
18．综合与实践
（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至，连接，求的面积
（４）拓展提升：如图4，点B，C在的边AM，AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是、的外角，已知，，求证：
（5）拓展应用：如图5，在中，，，点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，，若的面积为15，则与的面积之和为______．
19．问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图，中，
，，为上一点，当______时，与是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度；
问题解决：
（3）如图，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，．
①与是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．
20．如图，，．
(1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：．
(2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H，求证：．
21．动手探究
(1)如图1，四边形中，，，点E为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点F．
①请用尺规作图法作出折痕，补全图形．（不写作法，保留作图痕迹）
②连接，猜想与的数量关系为_______，线段，，的数量关系为_______________．
问题解决
(2)为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，实现多维学科融合，某校准备规划一块四边形的生物基地，如图2，米，米，，E为上一点，F为上一点，，，将基地划分为四块，分别种植四种农作物，并且要求．
①当的面积为2000平方米时，求的面积；
②如图3，连接交于M，交于点N，若，，请直接写出以，，为三边的三角形的面积_______（用含a，b的式子表示）．
22．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
(1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行；
(2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由．
23．已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．

24．如图1，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；
(1)如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
(2)如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为 ．
(3)如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又＝＝，求的值（用含有a，b，c的代数式表示）
(4)如图，∠BAC＝90°，AB＝11，AC＝14．点P从B点出发沿B－A－C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C－A－B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）
《4.4利用三角形全等测距离》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A A A C C D B
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】先判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C，
∵∠C=，
∴∠B=，
∴∠OEC=∠B+∠A=，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
2．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键．
根据全等三角形的判定分析即可．
【详解】解：根据题意，，
A、添加，可以运用边角边证明，不符合题意；
B、添加，不能运用边边角证明，符合题意；
C、添加，可以运用角角边证明，不符合题意；
D、添加，则，即，
结合题意，可以运用角边角证明，不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．
【详解】解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；
D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
4．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，不能使，故选项A符合题意；
，利用能使，故选项B不符合题意；
，利用能使，故选项C不符合题意；
，利用利用能使，故选项D不符合题意；
故选A．
5．A
【分析】本题考查了三角形的全等判定等知识点，要利用进行和全等的判定，还需要条件，结合题意给出的条件即可作出判断，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】由题意可得，要利用进行和全等的判定，还需要条件，
若添加①，则可得，
即，
故①可以，符合题意；
若添加，则可直接证明两三角形的全等，
故②可以，符合题意，
若添加，或，均不能得出，不可以利用进行全等的证明，故③④不可以，不符合题意．
故选：A．
6．A
【分析】根据题目中给出的条件，，要用“”还缺少条件是夹角：，则可得出答案．
【详解】解：还需条件：，
∵，
∴，
即：，
在和中，
，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：，，，．
7．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
A、，通过可以判定，本选项不符合题意；
B、，通过可以判定，本选项不符合题意；
C、，无法判定，本选项符合题意；
D、点与点关于直线对称，则，则通过可以判定，本选项不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】解：由，则：
A、添加的条件是，根据可证明，故选项A不符合题意；
B、添加的条件是，得，根据可证明，故选项B不符合题意；
C、添加的条件是，根据不能证明，故选项C符合题意；
D、添加的条件是，根据可证明，故选项D不符合题意．
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，根据全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据平行线的性质推出，求出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可
【详解】解：∵
∴，
∵
∴
∴
．，，，不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
．，，不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
．，，不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
．，，，符合全等三角形的判定定理，故本选项符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知且为公共边，添加条件后，三边对应相等，可用判定全等，其他选项中的条件不符合题意．
【详解】解：A、在和中，（已知），（公共边），若添加，根据无法判断；
B、在和中，（已知），（公共边），若添加，根据可判断；
C、在和中，（已知），（公共边），若添加，根据无法判断；
D、若点A、D到直线的距离相等，无法判断；
故选：B．
11．B
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析判断．
【详解】解：由题意知AB=CD，AC=CA，
①，可依据SSS证明；
②∵，∴∠DAC=∠ACB，不能证明；
③，不能证明；
④∵，∴∠BAC=∠ACD，利用SAS证明；
故选：B．
【点睛】此题考查了添加一个条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：A、由判定△△，故A不符合题意；
B、由判定△△，故B不符合题意；
C、和分别是和的对角，不能判定△△，故C符合题意；
D、由，，得到，由判定△△，故D 不符合题意．
故选：C．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形．
由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可．
【详解】解：由，设，则，
过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定；要判定，已知，可得，又，具备了一组边和一组角对应相等，故添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）．
【详解】解：增加条件：，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：（答案不唯一）．
15．（答案不唯一）
【分析】由题意可知，，再根据三角形全等的判定定理添加条件即可．
【详解】由题意可知，，
∴添加或，可利用证明；
添加，可利用证明；
添加，可利用证明．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题考查添加条件是三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
16．（或，或）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定方法：、、、、解题即可．
【详解】解：若添加，
在和中，
∴≌；
若添加，
在和中，
∴≌；
若添加，
在和中，
∴≌．
故答案为：（或，或） ．
17．－2
【分析】过E作EF⊥x轴于F，由三垂直模型，得EF＝OA，AF＝OB，设A（a，0），可求得E（a＋4，a），点E在直线y＝x－4上，当OE⊥CD时，OE最小，据此求出坐标即可．
【详解】解：如图，过E作EF⊥x轴于F，
∵∠AOB=∠EFA=∠BAE=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，∠EAF+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
∵AB=AE，
∴△ABO≌△EAF，
∴EF＝OA，AF＝OB＝4，
取点C（4，0），点D（0，-4），
∴∠OCD=45°，
∵CF＝4- OF，OA＝4- OF，
∴CF＝OA ＝EF，
∴∠ECF=45°，
∴点E在直线CD上，当OE⊥CD时，OE最小，
此时△EFO和△ECO为等腰Rt△，
∴OF＝EF＝2，
此时点E的坐标为：（2，－2）．
故答案为：-2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定点E运动的轨迹，确定点E的位置．
18．（1）AAS；（2）50；（3）8；（4）见解析；（5）5
【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；
（3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC=B′E=4，根据面积公式可得结论；
（4）根据ASA证明ΔABE ΔCAF，即可解答；
（5）根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答．
【详解】解：（1）如图1中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
故答案为：AAS．
（2）如图2中，
∵，，，，
由（1）得：，，
∴，，，，
∴
故答案为50.
（3）如图3，过点作于E，
由旋转得：，
∵，
由（1）可知，
∴，
∴．
（4）如图4中，
∵，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（5）如图5中，
∵的面积为15，，
∴的面积是：，
由图4中证出，
∴与的面积之和等于与的面积之和，
即等于的面积是5.
【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形全等的性质和判定，解题关键在于熟练掌握判定定理，证明三角形全等．
19．（1）；（2）6；（3）①是偏等积三角形，理由见解析；②42000元
【分析】（1）当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论；
（2）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可；
（3）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；
②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解．
【详解】解：（1）当时，与是偏等积三角形，理由如下：
设点到的距离为，则，，
，
，，
，
，，
与不全等，
与是偏等积三角形，
故答案为：；
（2）设点到的距离为，则，，
与是偏等积三角形，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
线段的长度为正整数，
的长度为偶数，
在中，，，
，
即：，
；
（3）①与是偏等积三角形，理由如下：
过作于，过作于，如图3所示：
则，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
与不全等，
与是偏等积三角形；
②如图4，过点作，交的延长线于，
则，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
由①得：与是偏等积三角形，
，，
，
修建小路的总造价为：（元）．
【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明△ACM≌△BCN和△ACN≌△CBE是解题的关键，属于中考常考题型．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（2）根据题意作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H，延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【详解】（1）证明：如图所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
（2）证明：如图所示，
延长交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
21．(1)①见解析；②；
(2)①平方米；②
【分析】（1）①用尺规作出的平分线即可；
②根据折叠得出，，，，，，，，即可证明；根据，求出，证明、M、F三点共线，得出．
（2）①延长，在延长线上截取，连接，，证明，得出，证明，得出，求出（平方米），求出平方米，最后求出结果即可；
②延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，根据，得出，证明，得出，，，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，，根据，根据以，，为三边的三角形，与以，、为三边的三角形全等，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；
②根据折叠可知，，，，，，，，，
∴，
即；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴、M、F三点共线，
∴；
故答案为：；．
（2）解：①延长，在延长线上截取，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即（平方米），
∵与为直角三角形，
∴
（平方米），
∴（平方米）；
②延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，如图所示：
根据解析（2）①可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴以，，为三边的三角形与以，、为三边的三角形全等，
∴以，，为三边的三角形面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
22．(1)甲：可行；乙：可行
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质：
（1）根据全等三角形的判定方法，即可判断是否可行；
（2）根据全等三角形的判定及性质即可求得答案．
【详解】（1）解：甲：可行；
乙：可行；
（2）甲可行的理由如下：
在和中
所以．
所以．
乙可行的理由如下：
在和中
所以．
所以．
23．添加一个条件：；证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的方法有：、、、、．
【详解】添加一个条件：；
证明：，
，
，，
≌()，
．
24．(1)，理由见详解；
(2)；
(3)；
(4)当点运动3秒或5秒时与全等．
【分析】（1）根据题意首先证明，在采用等量替换即可证明；
（2）根据题意首先证明，在采用等量替换即可证明；
（3）依据（2）中全等可得，，代入题中已知条件，根据三角形面积公式分别表示出来和，然后化解求值即可；
（4）只需要使得，可得与全等，只需要根据点P和点Q的不同位置进行分类讨论即可.
【详解】（1）解：.理由如下：
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴.
（2）..理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）∵AE、EM、MD的长度分别为a，b，c，
由（2）得：，，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴；
（4）解：①当点在上，点在上时，，
，
解得；
②当点在上，点在上时，
，
解得；
③当点在上，点在上时，（）
解得：(舍)；
④当点运动到点，点在上时，（ ）
，
解得（舍）.
所以当点运动3秒或5秒时与全等．
【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，三角形面积公式的应用及分类讨论思想，熟练掌握运用知识点并且注意分类讨论是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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