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5.2简单的轴对称图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，从地到地的最短路线是( )

A． B．
C． D．
3．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，甲、乙两个同学展示作图痕迹如下，其中射线为平分线的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．甲、乙均不是
4．如图，三个小朋友相约周末出去玩，图中点A、B、C代表三人的家所在的位置，为公平起见，集合地应定在以下什么位置，可以使三个小朋友的家到集合地的距离相等？（　　）

A．在三条高线所在的直线的交点处
B．在三条中线的交点处
C．在三条边的垂直平分线的交点处
D．在三条角平分线的交点处
5．若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）．
A． B． C．或 D．
6．如图，点是内一点，分别作点关于直线的对称点，连接交于点，交于点，若，则周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，……，若∠A1=α，则∠A2019为( )
A． B． C． D．
8．如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，与交于点．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：①；②；③；④．上述结论一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，△ABC中，点D是BC延长线上一点，且∠CAD=90°﹣∠BAC，过点C作CE∥AD交AB于点E，且∠ACE=3∠BCE，AC=3，BE=2，则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
11．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（ ）

A．最小 B．最小 C．最小 D．
12．如图，在中，，分别是，边的垂直平分线，且分别与交于点，连接，．有下列四个结论：①；②；③与是互为补角；④的周长与边长相等其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________．
14．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D，直线m与对角线BE相交于点O，则∠AOE=____________度．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在轴和轴的正半轴上运动，且AB=4，若AC=BC=5，△ABC的形状始终保持不变，则在运动的过程中，点C到原点O的最小距离为____________．
16．如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长是__________cm．
17．结合图，用符号语言表达定理“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”的推理形式：，_______，．
三、解答题
18．计算
如图，已知，，平分，则．请说明理由．
解：，
______．（ ）．
平分
______，______．（ ）．
（ ）．
．（ ）．
19．阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．
（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．
（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．
20．如图，已知，．
(1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长．
21．请你根据图所示的作图痕迹，填写画线段的垂直平分线的步骤．
第一步：分别以______、_______为圆心,以大于______一半的长度为半径画弧，两弧在的两侧分别相交于点______和点______；
第二步：经过点_____和点_______画______；直线就是线段的垂直平分线．
22．如图，在高速公路的同一侧有、两座城市．
(1)现在要以最低成本在、两座城市之间修建一条公路，假设每公里修建的成本相同，试在图中画出这条公路的位置，并简要说明你的依据；
(2)若要在高速公路边建一个停靠站，使得城市的人到该停靠点最方便（即距离最近），请在图中标出的位置，并简要说明你的依据．
23．如图1，，点为平面内一点，于，过作，垂足为．
（1）求证：；
（2）如图2，分别作、的平分线交于、，连接，若，
①求的度数；
②求证：．
24．如图，于点，，平分，试判断与的位置关系，并说明理由．

《5.2简单的轴对称图形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C B C D C C A
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线，
∴，，即，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
2．A
【分析】根据“两点之间，线段最短”来判断即可．
【详解】解：由“两点之间，线段最短”可知地到地的最短路线是，沿直线行走，所以从地到地的最短路线是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：甲：由作图痕迹可知，，
又∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∴射线为的平分线；
乙：由作图痕迹可知，是等腰三角形，
∴射线是的垂直平分线，
也是的平分线．
故选：C．
4．C
【分析】根据条件，三个小朋友的家到集合地的距离相等即为三条边垂直平分线的交点，即可得到答案．
【详解】根据垂直平分线性质可知，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以集合地应定在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
5．B
【分析】本题考查三角形内角和定理及等腰三角形定义，根据三角形内角和定理可知，若等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角，即可得到答案，熟记三角形内角和定理及等腰三角形定义是解决问题的关键．
【详解】解：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形三个内角和为，
当等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角，
由三角形内角和定理可知这个等腰三角形的顶角的度数为，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是将的长度转化为，将的长度转化为．
根据线段垂直平分线的性质可得，，再由周长为三边相加求解即可．
【详解】解：∵点关于直线的对称点分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴周长为．
故选：C ．
7．D
【分析】根据角平分线的定义可得∠A2BC=∠A1BC，∠A2CD=∠A1CD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠A2CD=∠A2BC+∠A2，整理即可得解，同理求出∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】∵A2B是∠A1BC的平分线，A2C是∠A1CD的平分线，
∴∠A2BC=∠A1BC，∠A2CD=∠A1CD，
又∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠A2CD=∠A2BC+∠A2，
∴（∠A1+∠A1BC）=∠A1BC+∠A2，
∴∠A2=∠A1=α，
同理可得∠A3=∠A2=α，
则∠A2019=，故选D.
【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
8．C
【分析】根据，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得，判断①正确，然后证明，可以判断①正确，根据全等三角形对应边相等可得，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC，可以证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而判断④正确，如图，过点G作于K，利用角平分线的性质可证明，根据直角三角形中斜边大于直角边即可证明结论③错误．
【详解】解：
，
∵是边的中点，
故②正确；
，，
在和中，
，
，故①正确；
平分，且，
在和中，
，
，故④正确；
如图，过点G作于K，
平分，且，
，
∵在中，＞，
＜，故③错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各知识点是解题的关键．
9．C
【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点B关于直线L的对称点C，连接AC交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．
10．A
【分析】运用等腰三角形的性质，平行线的性质，得到∠B=2∠BCE；作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，由垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，求出BC的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵∠CAD=90°﹣∠BAC，
∴，
∵，
∴，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵∠ACE=3∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=∠B+∠BCE，
∴∠B=2∠BCE；
作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，如图：
∵△ACE是等腰三角形，
∴AF是CE的垂直平分线，
∴CM=EM，
∴∠MCE=∠MEC，
∴∠BME=2∠MCE=∠B，
∴BE=ME=MC=2，
∵EG∥AF，
∴∠GEC=90°，
∴MG=ME=MC=2，
∵，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
11．C
【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，正确画出辅助线是解题的关键．
在上截取，证明，即可得到，同理可得，即可解答．
【详解】解：点到三边的距离相等，
点为三条角平分线的交点，
，
如图，在上截取，
，
，
，
在中，，
即，
，
，
在上截取，
同理可得，
，
在中，，
即，
，
，
故最小，
故选：C．

12．D
【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到，，即可判定④正确．
【详解】解：∵，分别是，边的垂直平分线，
∴，，
又∵，
∴，故结论③正确；
又∵，
∴，故结论①正确；
直线是的垂直平分线，
，
∴
同理，，，
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
的周长为，
∴的周长=，故结论④正确；
综上所述，①②③④正确，共4个．
故选D．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数．
【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点，
∴平分（等腰三角形三线合一），
∵，
∴，
故答案为：．
14．72
【分析】证明AO=BO，求出∠ABO可得结论．
【详解】解：∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴，
∴AO=BO，
∵∠BAE是正五边形ABCDE的一个角，
∴∠BAE==108°，
∵AE=AB，∠BAE=108°，
∴∠AEB=∠ABE=36°，
∴∠BAO=∠ABO=36°，
∴∠AOE=∠BAO+∠ABO=36°+36°=72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查正多边形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出∠ABE=36°．
15．
【分析】如图，过作于 证明求解 结合三角形的三边的关系可得：＞ 当三点共线时， 可得从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于
由三角形三边的关系可得：
＞
当三点共线时，
的最小值是：
点C到原点O的最小距离为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】的周长是，，所以求的周长其实就是求，由此即可求出答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，且，
∴，，即，
∵的周长是，即，
∴，
∵的周长是，，
∴的周长是，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已知线段的关系．
17．
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟悉性质内容并会用符号语言表示是解题的关键；根据性质内容，结合图形即可完成．
【详解】解：推理形式为：
，，
．
故答案为：．
18．130°，平角的定义，，65°，角平分线的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行．
【分析】根据平角的定义，角平分线的定义以及等量代换，可得，结合平行线的判定定理，即可得到结论．
【详解】，
__130°．（ 平角的定义 ）
平分，
___65°___．（角平分线的定义）
，
（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行 ）
故答案是：130°，平角的定义，，65°，角平分线的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平角的定义，角平分线的定义以及平行线的判定定理，掌握“同位角相等，两直线平行”，是解题的关键．
19．（1）PM=PN，；（2）（或），理由见解析．
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等可证PG=PM=PN，再根据HL定理可证明DM=DG，GE=EN，最后根据矩形的性质和判定以及线段的和差可得结论；
（2）由（1）可得PM=PH=PN，的周长a=PM+BN，根据角平分线的判定定理可得BP为∠ABC的角平分线上，根据含30°角的直角三角形的特点可得结论．
【详解】解：（1）作PG⊥DE与DE交于G，
∵DP为的平分线，，PG⊥DE，
∴PM=PG，
同理可证明PG=PN，
∴PM=PN，
在Rt△PDM和Rt△PDG中，
∵PM=PG，PD=PD，
∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL），
∴DM=DG，
同理可证GE=EN，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形BNPM为矩形，
∴PN=BM,PM=BN，
∴
故答案为：PM=PN，；
（2）（或），理由如下：
作PH⊥DE，连接BP，
与（1）同理可证PM=PH=PN，的周长a=BM+BN，
∴P在∠ABN的角平分线上，
∵，
∴∠ABP=∠PBN=30°，
∴在Rt△BPM中，BP=2PM，
根据勾股定理,
同理可证，
∴（或）．
【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，HL定理，矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本题主要是角平分线的性质和判定定理的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等和在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上是解题关键．
20．(1)见解析
(2)的长为5．
【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质．
（1）用尺规作图法作出边的垂直平分线；
（2）由作图知，，设，，再根据将的周长分成结合的周长是25求解即可．
【详解】（1）解：如图：
；
（2）解：连接，
由作图知，，
设，，
∵，∴，
∵将的周长分成，
∴，即，
解得，
∵的周长是25，
∴，即，
解得，
即的长为5．
21．点A，点B，线段，M，N，M，N，直线
【分析】本题需根据线段垂直平分线的尺规作图痕迹，补全作图步骤，解题思路是回忆并套用尺规作线段垂直平分线的标准流程，结合图中交点标识完成填空．
【详解】解：第一步：分别以点、点为圆心，以大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在的两侧分别相交于点和点；
第二步：经过点和点画直线；直线就是线段的垂直平分线．
22．(1)图见解析，两点之间，线段最短
(2)图见解析，垂线段最短
【分析】（1）根据两点之间，线段最短画图解答即可；
（2）根据垂线段最短画图解答即可．
【详解】（1）这条公路的位置如图所示，我的依据是“两点之间，线段最短”．
（2）点的位置如图所示，我的依据是“垂线段最短”．
【点睛】本题考查最短路径问题及垂线段最短，解题关键是掌握两点之间，线段最短及垂线段最短．
23．（1）详见解析；（2）①；②详见解析
【分析】（1）过点作，依据平行线的性质，以及同角的余角相等，即可得到；
（2）设，依据平行线的性质表达各角即可求解.
【详解】解：（1）过点作
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）如图2，∵为的平分线
∴
设，则，
①∵为的平分线
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
②∵，
∴，
∴
∴
即
∴
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义的综合运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
24．，理由见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，然后根据即可证明．
【详解】解：．
理由如下：平分，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与角平分线的定义，找出相等的角是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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