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6.3用关系式表示变量之间的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．4月19日，2025北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松开赛，这场赛事吸引了多家企业和高校自研团队的参与，成为人工智能与机器人领域的焦点．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如下表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 60 120 180 240 …
则y与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（ ）
里程数 收费/元
3以下（含3） 8
3以上每增加1 1.8
A． B． C． D．
3．程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（ ）
A．a B．6 C．a和32 D．a和b
4．某商场存放处每周的存车量为5000辆次，其中自行车存车费是每辆1元/次，电动车存车费是每辆2元/次，若自行车的存车量为辆次，存车的总收入为元，则与之间的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，，，是上的四个点，，若四边形的面积是，的长是，则与的关系式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表，则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
0 1
A． B． C． D．
7．“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，记它的半径为r，则其面积S与r的关系式为，下列判断正确的是 ( )
A．r是常量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S， π， r都是变量
8．下列说法中，不正确的是（ ）
A．三角形面积公式中，，，是变量
B．圆的面积公式中是常量
C．变量和常量是相对的，在一定条件下可以相互转化
D．如果，那么，都是常量
9．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
10．根据如图所示的流程图计算变量y的对应值，若输入变量x的值为1，则输出的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
11．把两根木条和的一端按如图所示的方式固定在一起，木条转动至．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）

A．的长度 B．的长度 C．的面积 D．的度数
12．某市出租车起步价为2公里内8元，超过2公里的部分计价为每公里1.6元．则该市出租车载客行驶路程x（）千米与收费y（元）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．东方超市进了一批玩具，出售时要在进价（进货价格）的基础上加一定的利润，其销售数量x（个）与售价y（元）之间的关系如下表：
销售数量x（个） 1 2 3 4 …
售价y（元） …
则y与x的关系式为___________．
14．运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为：______．
15．某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的速度越快；②声音速度与温度关系式可以是；③温度每升高，声音速度增加，其中正确的有______．
温度（）
声速（）
16．已知大豆每千克6元，则销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为________．
17．如果圆柱的底面半径是2cm，那么圆柱的体积V（cm3）与高h（cm）之间的关系式为 _____．
三、解答题
18．探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间的关系如下表：
所挂物体的质量/
弹簧的长度/
(1)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是_______________________；
(2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表直接写出与的关系式_____________；
(3)当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度；
(4)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？
19．锦州市在夏季某一天的地表温度为，据测高度每升高，温度下降，那么在的高空，气温t是多少？计算当h分别为、、时的气温．
20．某种西瓜子每千克18元，小明购买西瓜子的总价y（元）与购买的数量x（千克）之间的关系满足下面表格．
(1)补全表格．
数量x（千克） 0.5 1 3 …
总价y（元） 36
(2)试写出y与x之间的关系式：_________．
(3)小明购买这种瓜子5.7千克，花费了多少元？
21．如图，在等腰中，，，为中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．连接，设点的运动路程为，的面积为．
(1)直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)请在图2中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出当的面积不小于2时的取值范围．
22．“三分天下诸葛亮，一通天下刘伯温”．如图是三国时期诸葛亮躬耕地卧龙岗，为更好地了解历史文化，某学校准备去此地参观，甲、乙两家旅行社原价都是每人30元，且都对学生优惠．甲旅行社表示：全部八折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人，全部九折收费；若人数超过30人，则超过部分按五折收费，未超过部分按原价收费．
(1)分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加学习的学生人数x（人）之间的函数关系式；
(2)试讨论选择哪家旅行社较合算．
23．【课本再现】
思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程．
已知：在平行四边形中，对角线，交点为．求证：四边形是矩形．
应用定理
（2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形．
（3）如图3，，是四边形的对角线，，若，，，，分别为，，，的中点．设，．求关于的函数关系式．
24．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程（）与时间（）的关系为．指出其中的变量与常量．
《6.3用关系式表示变量之间的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D C B D B C
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加60千克，据此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加60千克，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键．
根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可．
【详解】解：由题意得，所付车费为：，
即．
故选：D．
3．D
【分析】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量，据此求解即可．
【详解】这个问题中的变量是a和b．
故选：D．
4．C
【分析】根据题意得：总收入为y元=自行车存车费+电动车存车费，据此写出题目中的函数解关系式，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的函数关系式．
5．D
【分析】先证明是等边三角形，作，交的延长线于点，过点作于点，则是等边三角形，进而证明得出四边形的面积等于的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，，是上的四个点，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
如图所示，作，交的延长线于点，过点作于点，
∴
则是等边三角形
∵，
∴，
又∵
∴
∴
∴四边形的面积等于的面积，
∵
∴，
∴
∵四边形的面积是，的长是，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质，圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，列函数关系式，综合运用以上知识是解题的关键．
6．C
【分析】根据表格中与的值，代入各选项进行判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项不符合题意；
B、当时，，则此项不符合题意；
C、当时，；当时，；当时，，则此项符合题意；
D、当时，，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，将表格中的数据代入正确计算是解题关键．
7．B
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解，掌握其概念是解题的关键．
【详解】解：A、r是自变量，故选项不符合题意；
B、π是常量，故选项符合题意；
C、S是因变量，故选项不符合题意；
D、π是常量，故选项不符合题意；
故选：B．
8．D
【分析】根据常量与变量的定义，正确理解自变量，因变量，常量，解答即可．
本题考查了常量与变量的定义，正确理解变量，常量是解题的关键．
【详解】A. 三角形面积公式中，，，是变量，正确，不符合题意；
B. 圆的面积公式中是常量，正确，不符合题意；
C. 变量和常量是相对的，在一定条件下可以相互转化，正确，不符合题意；
D. 如果，那么，都是常量，错误，符合题意；
故选D．
9．B
【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式．
先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项．
【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系：
甲烷：时，；
乙烷：时，；
丙烷：时，；
丁烷：时，．
A、若，当时，，此选项不符合题意；
B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意；
C、若，当时，，此选项不符合题意；
D、若，当时，，此选项不符合题意．
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，根据流程图把代入中进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当输入变量x的值为1时，输出的结果为，
故选：C．
11．A
【分析】根据常量和变量的定义，根据转动过程中，量是否发生变化进行判断．
【详解】解：木条转动至过程中，
∵的长度始终保持不变，
∴的长度是常量，
故选∶D．
【点睛】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．
12．B
【分析】根据总费用等于起步价8元与超过2公里的部分的费用之和即可得．
【详解】解：由题意得：，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用关系式表示函数，根据收费标准，正确找出等量关系是解题关键．
13．
【分析】根据表格可以得到，售价是销售数量的倍，写出解析式即可．
【详解】解：由表格可知：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴y与x的关系式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查利用表格求函数解析式．从表格中有效的获取信息，是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了函数关系式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．根据跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数计算即可．
【详解】解：根据题意得，
故答案为：．
15．①③/③①
【分析】根据题意和表格信息，运用代入法进行有理数的运算即可求解．
【详解】解：根据题意，随着温度的上升，声速也在增大，故①正确；
当时，，故②错误；
从表格信息可知每升高，声音速度增加，故③正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查根据表格获取信息，代入法求值，理解表格信息，掌握代入法求值，有理数的运算等知识是解题的关键．
16．
【分析】根据销售金额销售量单价，列出关系式即可．
【详解】解：根据题意，得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，确定等量关系是列表达式的关键．
17．V＝4πh
【分析】根据圆柱的体积公式计算即可．
【详解】根据圆柱的体积＝底面积×高得：
V＝4πh，
故答案为：V＝4πh．
【点睛】此题考查了列函数解析式，正确掌握圆柱的体积公式是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由关系表得，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是；
（2）由关系表得，弹簧原长为：，所挂物件每增加，弹簧伸长，即可得到与的关系式；
（3）由（2）得与的关系式，当时，求出，即可；
（4）由（2）得与的关系式，当，求出，即可．
【详解】（1）由关系表得，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是，
故答案为：．
（2）由关系表得，弹簧原长为：，所挂物件每增加，弹簧伸长，
∴弹簧总长与所挂物体的质量为之间的函数关系式为：，
故答案为：．
（3）∵，
∴当时，，
∴弹簧的长度为：．
（4）∵，
∴当时，，
解得：，
∴该弹簧最多能挂质量为的物体．
【点睛】本题考查用关系式表示的变量之间的关系，解题的关键是列出相应的函数关系式．
19．；、、
【分析】首先根据题意列出关系式，然后将，，代入求解即可．
【详解】∵地表温度为，高度每升高，温度下降，
∴；
∴当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
(3)元
【分析】（1）根据总价=数量×单价解答；
（2）根据总价=数量×单价解答；
（3）把代入（2）中的关系式求解即可．
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
补全表格如下．
数量x（千克） 0.5 1 2 3 …
总价y（元） 9 18 36 54 …
（2）y与x之间的关系式：．
（3）当时，元．
【点睛】本题考查了利用表格和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意、读懂表格信息是关键．
21．(1)
(2)作图见解析，图象有最大值为4（答案不唯一）
(3)
【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，解直角三角形，勾股定理等等：
（1）分两种情况讨论：当点P在上运动，当点P在上运动时，由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意画出图象，再根据图象得出函数的性质即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：过点P作于点H，
在中，，
∴，
∴，即，
∵D为中点，
∴，
当点P在上运动时，则，

当点P在上运动时，则，
∵，即，
∴，
即；
（2）解：如图所示，

由图象可得，图象有最大值为4；
（3）解：由图象可得，当时， ．
22．(1)，
(2)当选择甲旅行社较合算；当时，选择两个旅行社一样合算；当时，选择乙旅行社较合算．
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据（1）所求当时，选择甲旅行社较合算；然后分当时，若，当时，若，当时，若，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
当时，，
当时，；
∴
（2）解：当时，选择甲旅行社较合算；
当时，若，则，
∴当时，选择乙旅行社较合算；
当时，若，则，
∴当时，选择两个旅行社一样合算；
当时，若，则，
∴当时，选择甲旅行社较合算；
综上所述，当选择甲旅行社较合算；当时，选择两个旅行社一样合算；当时，选择乙旅行社较合算．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形；
（2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形；
（3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形；
（2）证明：在菱形中，，，，
∵，，，分别为，，，的中点，
∴，
∴，
∴，
同理，，则，
∴四边形是平行四边形，
连接，，
在菱形中，，则，
∴四边形是平行四边形，则，
同理，四边形是平行四边形，则，
∴，
∴四边形是矩形；
（3）∵，，，分别为，，，的中点，
∴，， ，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积，
∵，，．
∴
∴
即．
【点睛】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，函数关系式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
24．变量是和，常量是
【详解】解：根据，可知变量是和，常量是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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