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(共12张PPT)
21.3.3 正方形
【探索新知】
活动1 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
量量看是不是正方形.
正方形
菱形
正方形
一个角是直角
或对角线相等
已知：如图，在菱形ABCD中，AC 、DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD、△AOB、△COD、△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
结论：对角线相等的菱形是正方形.
活动2 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个
正方形，可量一量验证验证.
正方形
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
【探索新知】
已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
结论 : 对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
两条对角线相等并且互相垂直
例6　如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH。求证 : 四边形EFGH是正方形.
证明 : ∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH,
∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE,
∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°,∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.
∴四边形EFGH是正方形
1.判断下列说法是否正确:
(4)两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.( )
(1)正方形一定是矩形.( )
(2)四条边都相等的四边形是正方形.( )
(3)有一个角是直角的平行四边形是正方形.( )
(5)两条对角线相等的菱形是正方形.( )
(6)菱形的对角线互相垂直且相等.( )
√
×
×
√
√
×
【随堂练习】
2. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
3. 已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F． 求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠ACB=90°， DE⊥BC，DF⊥AC,
∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
∴四边形CFDE有三个直角， 它是矩形.
又∵CD平分∠ACB,
∴ DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形.
证明：
【课堂小结】
布置作业：
P79习题21.3 第6、12、16题

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