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利用不等式求自变量或函数值的范围 高频考点归纳
专项练 2026年数学中考二轮复习备考
一、单选题
1．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知点，点都在关于x的函数的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
6．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（m为任意实数）；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．若点，，在二次函数的图象上，且则m的取值范围是_____．
8．已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为．
（1）______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______．
9．已知，，，都在二次函数的图象上，当时，．若，则的取值范围是________．
10．已知抛物线经过点，．
（1）抛物线顶点的纵坐标为___________；
（2）当时，都有，则的取值范围是___________．
11．当时，，则的取值范围是__________．
12．已知点，是抛物线上不重合的两点．
（1）当时，，则________；
（2）若对于，都有，则的取值范围为________．
13．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____．
三、解答题
14．已知抛物线（b、c为常数）经过点．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围；
(3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围．
16．已知二次函数（常数）．
(1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标．
(2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，若始终成立，求的取值范围．
17．已知一次函数，二次函数．
(1)求证：二次函数的顶点坐标在一次函数的图象上；
(2)若函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围；
(3)若点，都在（2）中的函数的图象上，且，求的取值范围．（结果用含的代数式表示）
18．若抛物线（a是常数，）经过点，．
(1)求a与b之间的关系式．
(2)若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围．
(3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：．
19．已知二次函数（为常数，且）．
(1)若点在该函数图象上，求的值；
(2)判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)已知一次函数．
①若对于任意的，都有，求的值；
②当时，，求的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标；
②当时，求y的取值范围；
(2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B B D A B
1．D
本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可．
解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴离直线越近，函数值越小，
∵，
∴，即，
两边平方，得，
解得．
故选：D．
2．B
本题考查了的图象与性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先利用二次函数上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出函数的对称轴，进而确定二次函数解析式，再根据点A在点B右侧的条件确定横坐标的取值范围，最后结合二次函数的性质求出n的取值范围．
解：∵点A、B纵坐标均为n，且在二次函数的图象上，
∴A、B关于二次函数的对称轴对称，
∵二次函数的对称轴为，且A、B横坐标的中点为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，其对称轴为，开口向上，顶点为，
∵点A始终在B右侧，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
对于点A的横坐标，当时，，
对于点B的横坐标，当时，，
当时，二次函数随x的增大而减小，
取，则，
取，则，
∴，
当时，二次函数随x的增大而增大，
取时，则，
取时，则，
∴，
综上，的取值范围为．
故选：B．
3．B
本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围．
解：∵二次函数中，，对称轴，
∴，解得，
∵抛物线与轴交于点，代入得：，
解得，
∴抛物线解析式为，配方得，
∵，
∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为，
当时，，
当时，，
又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于，
∴．
故选：B．
4．D
根据二次函数顶点式得到，由点P在函数图象上得到 ，结合题意得到，则，由此确定点坐标为 ，根据点 是段上不与P、M重合的点，得到，即，结合题意即可求解．
解：∵函数 的顶点为，且点 在函数图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，两边同除以 得：，则，
代入得 ，则，
∴点坐标为 ，且，
∵ 是段上不与P、M重合的点，
∴ ，即，
又∵在函数图象上，，
∴ ，即，
故选：D．
5．A
将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断①；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断②；设，，则，，求得或，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解．
解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，即与关于对称轴直线对称，
∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确；
∵，
∴抛物线的顶点为，
当时，，当时，；
当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故，
∵对应的y的整数值有4个，即，，，，
∴，
解得；
当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故，
∵对应的y的整数值有4个，即，，，，
∴，
解得：；
综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确；
∵抛物线与轴交于不同两点，且，
∴设，，则，
解得：或，
在中，令，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
综上所述，若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∵，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出；
当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出，故④错误；
综上所述，正确的有①②③．
6．B
①由图象得，，由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．
解：①由图象得：，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点，
∴图象与x轴交于另一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
③∵，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，即（m为任意实数），
∴，
∵，
∴，故③错误；
④由②得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故正确的结论有2个．
7．
先求出二次函数的对称轴，根据开口方向和二次函数的性质，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离大小关系，列不等式求解即可．
对于二次函数，
，
∴抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线，
∵点的横坐标为2，即点C在对称轴上，
是二次函数的最小值，满足，，
由，根据开口向上的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，可得：
，
整理得 ，
两边平方得：，
展开得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴m的取值范围是．
8． 1 或
（）代入可得，即，然后两边同时除以即可；
（）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可．
解：（）代入可得，即，
∵，
∴，
∴；
（）抛物线顶点纵坐标为，
由题意得：，
∴或，
解得或，
由（）得，
∴，
∴或，
∴或．
9．
根据题意，得二次函数开口向下，利用二次函数的增减性解答即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握增减性是解题的关键．
解：二次函数可化为，
故抛物线的对称轴为，
由时，，可知离对称轴越远函数值越小，
故抛物线开口向下，即，
由，得，
整理，得，
当时，恒成立；
当时，，解得，
当时，，无解，
故的取值范围是．
故答案为：．
10． 或
（1）将一般式化为顶点式即可；
（2）分为和两种情况讨论，当时，由图象可知，抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，结合题意可得，从而得出的取值范围；当时，使用同样的方法计算即可．
解：（1），
∴抛物线顶点的纵坐标为；
（2）①当时，抛物线开口向上，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越小，
∵当，都有，
∴对于，都成立，
∴，
∵，
∴，即；
②当时，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越大，
∵当时，都有，
∴对于，都成立，
∴，
∴，解得；
综上所述，的取值范围为或．
11．
设函数，令，求出，根据函数图像可知：在或时，函数图像在的区域内位于轴下方，再分或两种情况分别求解，最后合并．
解：设函数，
则该函数的图像为开口向下的抛物线，
令：
解得或，
∴，
函数与轴的交点为：和，
当时，，即函数的图像在时位于轴下方，
根据函数图像可知：在或时，函数图像在的区域内位于轴下方，
∴有或两种情况，
当时，函数的对称轴直线大于，即，
，
，
，
，
解得，
当时，函数的对称轴直线小于，即，
，
，
，
，
，
两边平方得：，
，
不成立．
故的取值范围是．
本题以二次函数区间恒成立为背景，结合抛物线开口方向与根的分布，通过分类讨论区间与根的位置关系，转化为不等式组求解，体现了数形结合与转化化归的核心数学思想．
12．
（1）先求抛物线对称轴，再利用函数值相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质求解；
（2）先将抛物线配方为顶点式，再作差得到的表达式，通过分类讨论的正负，结合不等式恒成立条件求解的取值范围即可．
解：（1）抛物线的对称轴为，
当时，点的横坐标为，
∵，
∴点和点关于对称轴对称，
∴，
解得，
又∵点，不重合，
∴符合题意；
（2）将抛物线配方得：
，
∵点横坐标为，点横坐标为，
∴，
由题意，即对任意都成立，
∵，
∴，
∴，
分两种情况讨论：
①当时，不等式两边除以，得：
，
要使该不等式对满足的所有恒成立，
则需，
解得，
与无交集，此时无解；
②当时，不等式两边除以，得：
，
要使该不等式对满足的所有恒成立，
则需，
解得或，
结合，得；
综上，的取值范围为．
13．
本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围．
解：在抛物线中，，，
∴对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
要使恒成立，则的上界须小于等于的下界，
∵，
∴的下界是，
因此，对于任意都必须满足，即，
∴且，
解得且．
同时，要使，成立，解得，．
综上，t的取值范围是．
故答案为：．
14．(1)①；②
(2)见解析
（1）①用待定系数法，即可求解；②根据二次函数和不等式的关系，即可求解；
（2）根据抛物线经过点，可得，则，分别求出点C、D的坐标，即可求证．
（1）解：①抛物线经过点，点，
，解得，
；
②，
顶点坐标，开口向下，点在抛物线上，
，
当时，；，即时，；
点在直线的上方，
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：抛物线经过点，
，则，
当时，，即，
当时，，解得，，
，
，
．
15．(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)且
(3)
（1）根据题意将点代入抛物线解析式即可求得b的值，从而得到抛物线的解析式，利用抛物线对称轴公式和顶点坐标公式即可得出；
（2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得一元一次不等式组，通过计算可以得解；
（3）根据（1）先得出抛物线的解析式，再分别将点M，N代入得到，关于m的表达式，由得出关于m的不等式，通过计算可以得解．
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）解：令，则，
解得，，
∵，，抛物线与线段有两个交点，
∴，
解得且．
（3）解：由（1）可知，，
∴抛物线的解析式为，
∵，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴，
解得．
16．(1)
(2)存在，
(3)，且
（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可；
（2）利用二次函数的对称轴进行求解；
（3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解．
（1）解：当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：存在，，理由如下：
二次函数的对称轴为直线，
∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等，
∴对称轴为直线，
∴，
解得；
（3）解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴，且．
17．(1)见解析
(2)
(3)
（1）将转换为顶点式，即可得出其顶点表达式，代入，即可求证；
（2）得出新函数的表达式及其对称轴所在直线，根据二次函数的图像和性质，得出，求解该不等式即可；
（3）先得出点关于对称轴的对称点的坐标，根据二次函数性质得出对应不等式，求解即可．
（1）解：，
∴的顶点坐标为，
当时，，
故二次函数的顶点坐标在一次函数的图象上；
（2）解：函数，
对称轴为直线，
∵，
∴该图象开口向上，
∴，
解得；
（3）解：∵点的横坐标为，的对称轴为，
∴点在对称轴右侧图象上，
点关于对称轴的对称点的坐标为，
∵，
∴根据图象可得．
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）利用抛物线与轴的两个交点求得对称轴即可求解；
（2）由a与b的关系及经过，可得抛物线解析式为，再由抛物线向上平移1个单位长度，抛物线与x轴没有交点，可得即可求解；
（3）由得，则可用表示出，，再代入即可求解．
（1）解：∵抛物线（a是常数，）经过点，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
将代入得，
∴，
∴抛物线为，
将此抛物线向上平移1个单位长度可得，
∵抛物线与x轴无交点，
∴，
∴或，
解得或无解，
∴．
（3）证明：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵对于任意的，满足时，都有，
∴．
19．(1)
(2)存在，
(3)①；②且
（1）将代入计算即可；
（2）令，解方程即可求解；
（3）①根据得出，设，根据，抛物线开口向上，，得出，即可求解；
②根据，又为一次函数一次项系数，得出且，根据得出，即可求解．
（1）解：将点代入，
得，
解得．
（2）解：二次函数的图象与x轴存在一固定的公共点，
令
即
∴
解得：或
∴当时，恒成立，
这个固定的公共点的坐标为
（3）解：①∵，
∴
∴
设
∵，抛物线开口向上，，
∴
∴
∴
②∵，即，
由①可得当时，
∵，抛物线开口向上，
当时
即，
∴
解得
要使当时，，
即，
∴
解得：
∵，又为一次函数一次项系数，
∴且
∴且
20．(1)①该抛物线与x轴交点坐标为，抛物线的顶点坐标为；②；
(2)或．
（1）①把解析式化为顶点式即可得到顶点坐标，将代入解析式可知与x轴交点坐标；
②根据二次函数的性质，进行求解即可；
（2）先求出对称轴为直线，则在对称轴右侧，再分和两种情况，根据二次函数的增减性讨论求解即可．
（1）解：①当时，抛物线解析式为，
∴此时抛物线的顶点坐标为，
当时，，
解得，
即该抛物线与x轴交点坐标为；
②当时，，
当时，，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴点P在对称轴的右侧，
当时，
，
∵，
∴点Q在对称轴右侧，
∵此时在对称轴的右侧y随x的增大而减小，对于，都有，
∴，
解得：；
当时，抛物线的开口向上，距离抛物线的对称轴越远的点函数值越大，
∵对于，都有，
∴，
解得：；
综上，的取值范围是或．
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