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圆--有关切线的证明 典型考点专题练 2026年数学中考二轮复习备考
1．如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点．
(1)在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
2．如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
3．如图，点在上，的角平分线交于点，点在的延长线上，且．

(1)求证：是的切线．
(2)若，时，求的长．
4．如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求．
5．如图，在中，，外接于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径，求的面积．
6．如图，已知为的直径，，，直线相交于点B．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当时，求的半径．
7．如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)如图，若是的直径，，，求的长．
8．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
9．如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
10．已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
11．如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
12．已知内接于，为直径，在延长线上取一点，使得，连接，在下方，作，连接交于点，连接．
(1)如图，若．
①求证：是的切线；
②若，求的值；
(2)如图，若，时，试探究与的数量关系，并说明理由．
13．如图，为的直径，为上一点，连接，，平分与交于另一点．
(1)尺规作图：过点作直线平行于，分别交，于点、．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：是的切线．
14．如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，，延长至点M，使得，作交于点D，交的延长线于点N．
(1)求证：直线为的切线；
(2)如图2，若点D是的中点，连接，，求证：四边形为菱形；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
15．如图1，在中，直径，P是线段延长线上的一点，切于点C，D是上一点，切，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)当时（如图2），求的长；
(3)若四边形是菱形（如图2），求弧与线段围成的阴影图形的面积．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定、扇形面积公式、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理正确进行推理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理、等边对等角、对顶角相等、三角形内角和定理等知识可以证明，又由是的半径，即可得到结论；
（2）连接，证明，则，根据扇形面积公式和直角三角形面积公式即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且是的半径，
是的切线．
（2）解：如图所示，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积为：．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理和切线的判定定理以及等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）利用已知条件和勾股定理可以得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
而，
，
，
与相切于点；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了圆的性质，灵活运用圆周角定理，切线判定方法等是解题关键．
（1）要证明是圆的切线，只要连接证明，要证明，延长交圆于点，连接，利用直径所对圆周角为及，即可；
（2）根据先证明，可得，继而证明，从而证明是等边三角形，据此求解即可．
【详解】（1）证明：如图，延长交圆于点，连接，，
是圆的直径，
，即，
又，
，
，，
，
，即，
又是半径，
是圆的切线；
（2）解：∵，
，
是的平分线，
，
，，
，
∵
，
∴
∴；
又∵，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．掌握圆中直径所对圆周角为直角、等腰三角形等边对等角，以及利用勾股定理和相似三角形求线段长度等知识点是解题的关键．
（1）利用圆中边与角的等量关系，逐步进行角的等量代换，最终证明，证明是圆的切线．
（2）先利用勾股定理求出，再通过作辅助线，根据角的关系证明三角形相似，利用相似三角形性质求出，进而求出的长度．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，所对的弧是同弧，
．
是 的直径，
，
，
，
即，
是 的切线；
（2）解：在中，，
，，
，
作，
，
，
，
，
，
∴，
，
，，
.
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键．
（1）连接，先证出，再设，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再设，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后利用平行四边形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，延长交于点，
由（1）已证：，
设，则，
由（1）已得：，
∴，
∴，
又∵，
∴（等腰三角形的三线合一），
设，
∵的半径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积为．
6．(1)详见解析
(2)的半径长为
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，然后由垂径定理推论得，又，则，从而求证；
（）连接，根据弧、弦、圆心角的关系得，，则，即，故，从而有，然后由圆周角定理得，由直角三角形性质得性质，通过勾股定理求得，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证；
（2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵是的切线，
∴，
∵，D为的中点，
∴，即垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴结合（1）可得：，，，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴的半径为．
9．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线得到，根据平行线的性质得，即可证明；
（2）连接，先解，求得，，则，，可证明，由，得，故，证明，即可得到．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴在中，，
由勾股定理得：
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线；
（2）连接，证明得出，设，，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
是的直径，
，
的半径为，，
，，
，
∴，
，
，
，
设，，
在中，，
即，解得，，
．
11．(1)是的切线
(2)1
【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论；
（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长．
12．(1)①见解析；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用直径所对圆周角为直角，结合圆周角定理及已知角的等量关系，推导得出，进而证明是切线．
②先由三角函数和全等三角形得到相关线段关系，再在直角三角形中用勾股定理求出边长，最后根据余弦定义计算．
（2）通过构造相等线段的点，利用圆周角、等腰三角形性质推导角的关系，证明三角形全等，结合弧与弦的关系，得出与的数量关系 ．
【详解】（1）解：①∵为直径，
，
，
，
，
，
∴是的切线
②，
∴在中，
，
设，则
∴在中，
∴在中，
∴在中，
（2）解：
在上取一点使得
，
∴设
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的性质（直径所对圆周角、圆周角定理、弧与弦的关系）、全等三角形的判定与性质、三角函数定义及切线的判定，熟练掌握圆的性质、全等三角形判定及角的等量代换是解题的关键．
13．(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作，延长、分别交，于点、，根据同位角相等，两直线平行即可求；
（2）连接，由为的直径，可得，根据平分，得出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，进而推出，再运用切线的判定定理即可．
【详解】（1）解：如图所示：
作，延长、分别交，于点、，
；
（2）证明：连接，
为的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线．
【点睛】本题考查了圆的性质、切线的判定、圆周角定理以及尺规作图—作平行线，掌握以上知识点并正确添加辅助线是解答本题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据是的直径得到，根据得到，结合即可得到即可得到答案；
（2）根据得到，从而得到，得到，根据点D是的中点得到从而得到，得到，根据得到，从而得到，即可得到，即可得到证明；
（3）根据四边形为菱形得到，结合，得到是等边三角形即可得到，从而得到，结合角所对直角边等于斜边一半在中求出半径，在中即可求出；
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
∴直线为的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（3）解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查圆的切线证明，菱形的判定与性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，等边三角形的判定与性质，解题的关键是做出辅助线．
15．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图1，连接，则有，再证明可得，根据切线的性质可得，进而得到，即可证明结论；
（2）如图2，连接 ，由（1）可知， ，再证明四边形为正方形，再求出，由勾股定理可得，再根据线段的和差即可解答；
（3）如图3，连接，设，则，根据菱形的性质、切线的性质可得，进而得到，最后根据以及扇形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接，则有．

在和中，
∴，
∴，
∵切于点C，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图2，连接 ，由（1）可知， ．

当时，四边形为矩形．
又∵，
∴四边形为正方形．
∵，
∴，即
∴，
∴．
（3）解：如图3，连接，设，则，

∵四边形是菱形，
∴．则，
∵是的切线，即．
∴，即．
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
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