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二次函数综合问题（特殊四边形问题） 高频考点归纳
专项练 2026年数学中考二轮复习备考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
2．如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数过，，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为该二次函数第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标；
(3)M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，求出N的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上．
(1)求b的值；
(2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式；
(3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点．
(1)求a，b的值．
(2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E，
①当直线经过点D时，求的长；
②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标．
5．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．
①当四边形为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．
6．如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为中心，作正方形，轴，点的横坐标为1．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离；
(3)当正方形内部的抛物线对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围；
(4)当抛物线与正方形的某条边或一组邻边只有2个交点，且交点的纵坐标之和为时，直接写出的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D
①当三角形面积最大时，请求出点C的坐标和三角形面积的最大值．
②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为，求m的值；
(3)过点P作y轴的平行线交直线于点Q，以PQ为边作矩形，使与y轴垂直．
①当，点N的横坐标为时，求矩形面积的最大值；
②当点N的横坐标为，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
10．如图1，抛物线：与x轴交于A，B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点D．
(1)直接写出_______，并求出点B的坐标；
(2)请说明：无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0．
(3)①如图2，连接．请判定的形状，并说明理由；
②平面内存在一点E，使得四边形是以为对角线的菱形，请直接写出E点坐标．
(4)将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作G，当直线与图象G有3个交点时，请直接写出k的取值范围________．
11．已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点．
(1)若顶点的横坐标为．
①求抛物线的解析式；
②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值．
12．在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”．
(1)求函数的“相关函数”的函数表达式；
(2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标；
(3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)当点在轴右侧时：
①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______；
②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值．
14．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点不与点重合），点的横坐标为．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方的抛物线上时，若，求的值；
(3)抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象．当时，图象的最大值与最小值的差为，求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
(4)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
15．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上一点，且点坐标为，点为抛物线对称轴上一点，求的最小值；
(3)点为直线上的动点，点为抛物线上的动点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
参考答案
1．(1)该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点，此时点的坐标为
(3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32
本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标；
（3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可．
（1）解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且，
．
把，，代入中，
得解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图，
四边形为菱形，，
，且，
，即点的纵坐标为．
由，得，（不合题意，舍去），
故存在这样的点，此时点的坐标为．
（3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图，
设点的坐标为．
，，，
，，，，
，
当时，，
此时点的坐标为，
即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．
2．(1)
(2)
(3)N点坐标为或或或
本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的性质等知识，难度较大，解题关键是综合运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题．
（1）利用待定系数法解二次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法解得直线的函数解析式为，过P点作轴交于点Q，设，则，可得，利用二次函数的图像与性质即可获得答案；
（3）分为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线，分别作出图形求解即可．
（1）解：将，，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
过P点作轴交于点Q，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，此时；
（3）设，，
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，（舍）或，，
；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，或，，
或；
当为平行四边形的对角线时，，，
解得，（舍）或，，
；
综上所述：N点坐标为或或或．
3．(1)；
(2)；
(3)或；
此题考查二次函数和一次函数综合题，准确求出二次函数表达式是解题的关键．
（1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值；
（2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可；
（3）求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标．
（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上，
点坐标为，
点坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
；
（2）解：由方程组，解得，
点坐标为，
又点为点关于原点的对称点，
点坐标为，
一次函数与轴交于点，
点坐标为，
设二次函数对应的函数表达式为，
把，，三点的坐标分别代入，得，解得，
二次函数对应的函数表达式为；
（3）当四边形为菱形时，，
直线对应的函数表达式为，
直线对应的函数表达式为．
联立方程组．
解得或，
点坐标为或；
4．(1)
(2)①；②
（1）直接利用待定系数法求解，即可解题；
（2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题；
②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题．
（1）解：抛物线经过点，，
，
解得；
（2）解：①由（1）知，抛物线解析式为，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
轴，
当直线经过点D时，
有，则，
；
②设点P的坐标为，
轴，
点的坐标为，
，
在的左侧作正方形，且点F在抛物线上，
，
点的坐标为，
且，
整理得，
解得或，
动点P不与点O，B重合，
，
点P的坐标为．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
5．(1)；
(2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围．
（1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式；
（2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可；
②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题．
（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点坐标为，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，
，
，，
当四边形为正方形时，，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
或者，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为1或0；
②根据①可知：当或时，，
当时，，
，
当或时，，
当时，的取值范围为或．
6．(1)抛物线的函数表达式为；
(2)存在，点的坐标为或或．
（）由，，，求出，，然后利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线解析式为，设，，则分当为边时，四边形为平行四边形时；当为边时，四边形为平行四边形时；当为对角线时，四边形为平行四边形时三种情况，然后根据中点坐标即可求解；
本题考查了二次函数和一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点，理由如下，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵点在直线上，
∴设，
∵点为直线右侧抛物线上一点，
设，
由抛物线的函数表达式为，
∴，
∴当时，，
∴，
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点，此时与点重合；
综上可知：点的坐标为或或．
7．(1)
(2)8
(3)或或
(4)
本题考查二次函数的综合题，用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特点，运用了方程和分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由顶点式可得出抛物线的顶点坐标；再根据正方形的性质可分别得出正方形四个顶点的坐标，进而可得出结论；
（3）分情况讨论：当时，当时，当时，分别分情况讨论即可；
（4）分两类，抛物线与正方形的某一条边只有两个公共点，抛物线与一组邻边只有两个公共点，然后利用这两个公共点的纵坐标之和为建立方程，求出m的值．
（1）解：经过点，其对称轴为直线，
，
，；
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
轴，即轴，点的横坐标为1，
点到轴的距离为1，
由正方形的性质可得，正方形的边长为2，
若点的坐标为，则，，，如图所示：
抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离为．
（3）当或时，抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小；当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而增大，
的取值范围是或或．
（4）点与顶点重合时，．此时、的纵坐标都为．以下分三种情况讨论．
第一种情况：点在第四象限，当时，正方形变小，交点、的纵坐标都小于，相加不会等于，此种情况不合题意．
第二种情况：当且与交于、时，，
，
，
到的距离和到的距离相等，都是，
，
（舍掉）或，
．
第三种情况：，，两个交点的纵坐标的和不可能为，此种情况不符合题意．
综上，．
8．(1)
(2)①； ②存在；或2
本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①求出直线表达式为，设，则，，由得到，再转化为二次函数求最值；
②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：①当，
∴
设直线表达式为：，
∴，
解得：，
∴设直线表达式为，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，面积最大值为，
∴此时；
②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，
此时，，，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当为边时，则：，即，
解得：（舍去）或，
此时菱形的边长为；
②当为对角线时，则：，即：，
解得：或（舍去）
此时菱形的边长为：；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．
9．(1)；顶点坐标为
(2)m的值为或；
(3)①8；②m的取值范围为：或．
（1）先求出点A坐标，再把代入抛物线即可得b的值，从而可得抛物线表达式，再求顶点即可；
（2）分时和时两类情况分别求解即可；
（3）①根据，，可得，再根据列式配方求最值即可；
②当时，即时，即P点在N点左边，根据，可得M的坐标为，又当时，矩形内部无抛物线经过，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，可得，故，即；当时，即时，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，当时，无法构成矩形；当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意，则，综上可得m的取值范围．
（1）解：把代入中，得，
故点，
再把代入抛物线中，
得，
∴抛物线表达式为，
对称轴为直线，
当时，，
故顶点坐标为；
（2）解：当时，
P点右侧部分最低点为顶点，即，则；
当时，
P点右侧部分最低点为点P，
设，
即，
解得：（负值舍去），
故，
综上，m的值为或；
（3）解：①∵，，
∴，
∴，
则当时，，即矩形面积的最大值为8；
②Ⅰ：当时，即时，即P点在N点左边，
又当时，矩形内部无抛物线经过，
则当时，
∵，，
点N的横坐标为，
故点M的坐标为，
如图1所示，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，
则，
整理可得：，
从而可得：（正根舍去），
故，即；
Ⅱ：当时，即时，即P点在N点右边，
抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，如图2所示，
当时，无法构成矩形；
当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意，
∴，
综上所述，m的取值范围为：或．
本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，矩形的性质，熟练掌握以上内容并能利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
10．(1)；
(2)见解析
(3)①是等腰三角形，见解析；②E点坐标为
(4)且，
（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点坐标即可；
（2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，得到函数值的最大值小于0即可；
（3）①求出的长，判断三角形的形状即可；②根据菱形的性质结合中点坐标公式进行求解即可；
（4）设与轴交于点，交于点，分，分别求出直线经过三点时的值，利用数形结合的思想进行求解即可．
（1）解：把代入，得：，
∴，
∴，
当时，解得：，
∴；
（2）∵，
∴平移后的解析式为：，
∴当时，函数有最大值，
∴无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0；
（3）①是等腰三角形，理由如下：
由（2）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
②设，
∵四边形是以为对角线的菱形，且，，，
∴的中点和的中点重合，
∴，
∴，
∴E点坐标为；
（4）如图，设与轴交于点，交于点
∵，
∴当时，，
∴点，
联立，解得：，
∴，
∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，
当时，直线为，此时直线与图象有2个交点，
当直线过点时，，解得：；此时直线与图象有2个交点；
当直线过点时，，解得，此时直线与图象有3个交点；
当直线过点时，，解得：，此时直线与图象有3个交点；
由图象可知，当且，时，直线与图象有3个交点．
故答案为：且，．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定，菱形的性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
11．(1)①；②存在，使四边形为平行四边形；
(2)．
（1）①根据顶点D的横坐标求出a的即可；
②求出直线的解析式为，联立，整理得：，其两根为，，由根与系数关系得：，，又由平行四边形的性质得可知，即可解得；
（2）设点、的横坐标为、，，求出，，求出直线的解析式，直线的解析式为，联立抛物线，
，由根与系数的关系得①，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，整理得，即，结合点在定直线上运动即可求出的值．
（1）解：①∵抛物线的解析式为顶点D的横坐标为，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
②存在，使四边形为平行四边形，理由如下：
当时，，当时，，
，，
将直线沿轴正方向平移个单位得直线，
直线的解析式为，
联立，整理得：，其两根为，，
由根与系数关系得：，，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
，即，
，
解得；
（2）解：设点、的横坐标为、，
，
令，则，
解得或，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
，
，
设的解析式为，联立抛物线，
由根与系数的关系得①，
设直线的解析式为，代入、两点坐标得，
设直线的解析式为，代入、两点坐标得，
联立方程组，整理得，
即
因为点在定直线上运动，
②
联立①②，得．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，图形平移的性质，用待定系数法求解析式，准确计算是解题是关键．
12．(1)
(2)点的坐标为
(3)或
（1）根据相关函数的定义可得的函数表达式；
（2）易得的解析式，用表示的点的坐标，继而可得点的坐标，进而可得矩形的两边长，那么根据矩形的周长为可得的值，即可求得点的坐标；
（3）易得的值，根据并结合平行四边形的性质及勾股定理可得点的纵坐标为或，求得相对应的二次函数上的点，代入一次函数可得对应的的值，进而根据函数图象可得时的取值范围．
（1）解：∵，
∴，
∴的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
∵点的横坐标为，点在函数的图象上，
∴，
∵轴，点在函数的图象上，
当时，得：，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∵矩形的周长为，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（3）∵与轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当（点在轴的上方），过点作轴，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设的解析式为，
当时，，得：；当时，得：，
∴，，
∴，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去）
∴，
此时点的纵坐标为；
当（点在轴的下方），过点作轴，
按同样的方法可得：点的纵坐标为，
∴或，
解得：，或，，
∴点的坐标为或或或，
∵点在直线上，
∴或或或，
解得：或或或，
∵，
∴或．
本题综合考查二次函数的图象与性质，“相关函数”的意义，坐标与图形，矩形的周长，两点间距离，理解新定义的意义并进行应用是解决本题的关键；难点是判断出时的值；易错点是根据函数图象判断出时的取值范围．
13．(1)
(2)4
(3)①；②或
（1）先求出直线与坐标轴交点A，B的坐标，再代入抛物线解析式求出b，c的值．
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，则，得到点的坐标为，通过三角形面积公式表示出面积，再根据二次函数性质求最大值．
（3）①先求出面积，再根据面积与面积关系求出点纵坐标，进而求出横坐标．②分二种情况，根据平行四边形对边平行且相等的性质，利用点的坐标关系求出的值．
（1）对于直线，当时，，解得，
；
当时，，
，
把得：
，
将代入，
得，解得，
抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得，
．
点的坐标为，
．
将代入，
，
面积的最大值最大值是4；
（3）①抛物线，令，即，
解得，
．
，
的面积是面积的一半，
，
过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
H点坐标为，，
代入化简解得，
代入抛物线得，
；
②由题意，
当是对角线时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
当是平行四边形的边时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
解得
的值是或．
本题考查一次函数与二次函数的综合应用，三角形面积计算，平行四边形的性质等，解题的关键是熟练掌握函数的性质，利用相关公式和性质建立方程求解．
14．(1)
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
(4)或或
本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先求得直线的解析式，进而题意可得，得出解析式，进而联立抛物线与解析式即可求解；
（3）根据的取值范围，结合图象分类讨论即可；
（4）分两种情况：当时，分点在点上方和下方分别讨论，结合图象求出或，当 时，分点在点上方和下方分别讨论，结合图象求出．
（1）将，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，令，则，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
∵点在直线下方的抛物线上时，，
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：
∵点的横坐标为．
∴
（3）∵，
∴抛物线的顶点为，
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴，
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴；
当 时，图象的最大值为，最小值为，，
综上可知：时，；当时，；当时，；
（4）①当，点为轴上的一点，纵坐标为，则在轴的正半轴上
当重合时，，即，符合题意，
当时，不符合题意，如图所示
当在的上方时，如图所示
则
解得：或（舍去）
∴
当重合时，
解得：或
当，如图所示，符合题意
当， 在点上方时，如图所示，
∴
解得：（舍去）或
综上所述，或或
15．(1)
(2)
(3)或或
本题考查二次函数与线段之和最短、平行四边形相结合，难度较大．数形结合的思维是解题关键．
（1）先通过直线与轴交于点，与轴交于点计算出点的坐标，再代入计算即可；
（2）根据对称性知点关于抛物线对称轴的对称点是，连接，则的最小值就是，从而计算即可；
（3）根据平行四边形的性质分为以为边和对角线两种情况分类讨论计算．
（1）解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
抛物线经过两点，
，
，
抛物线解析式为．
（2）解：如图，

由（1）知，抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∵点与点关于对称轴对称，
∴的最小值就是，即，
，
∴的最小值为．
（3）解：

①为平行四边形的边时，，，
点在直线上，
设，则，
，
当时，
解得，，
，
当时，
解得，，
或；
②当为对角线时，与互相平分，交点为，
，，
，，
，
设，，
，
或，
或；
综上，满足条件的点的坐标为或或．
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