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根据交点确定不等式的解集 高频考点归纳
专项练 2026年数学中考二轮复习备考
一、单选题
1．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
5．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．如图，直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论：
①；
②时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大；
③当时，；
④有可能成为等边三角形；
⑤的解集为；
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤
二、填空题
7．如图，一次函数的图像与二次函数（）的图像交于点A、B，且点A 在x轴上，点B在y轴上，则关于x的不等式的解集为___．
8．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________．
9．根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________．
10．已知方程的一个实根小于，一个实根大于，则实数的取值范围是________．
11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______．
12．已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____．
三、解答题
13．二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点．
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)根据图象，写出满足不等式的解集：________；
(3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________．
14．二次函数的图象如图所示．
(1)写出关于的一元二次方程的两个根；
(2)写出关于的不等式的解集；
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围；
(3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围．
16．已知某函数的图象如图所示
(1)求这个函数的解析式；
(2)求这个函数对称轴及顶点坐标；
(3)由图象可知x为何值时和
17．当自变量时，二次函数的值最小，最小值为，且这个函数的图象与轴的一个交点的横坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个函数的图象与轴交点的坐标；
(3)写出当为何值时，．
18．如图，抛物线 经过点和，与y轴交于点C．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)当时，求函数y的取值范围
(3)设直线的解析式为，请直接写出当时，x的取值范围．
19．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，并与x轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式以及它的对称轴；
(2)当时，请直接写出x的取值范围．
20．已知抛物线（a，b为实数，）
(1)若，，当时，直接写出x的取值范围_________
(2)当时，x的取值范围是，则该抛物线的对称轴为_________，a_________0．（填“”或“”）；
(3)在（2）的条件下，若该抛物线与直线交于点A，与直线交于点B，若，求k的取值范围；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A B A D B
1．C
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键在于掌握a看抛物线开口方向，b看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
根据抛物线的开口，对称轴，与y轴的交点，以及特殊值可判断①②，根据函数图象对称性可得，以及当时，是x轴上方的图像，可判断③，根据二次函数性质可判断④．
解：由图知，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，
，
故①正确；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
时，，
故②错误；
抛物线对称轴为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，的取值范围是，
故③正确；
④点，都在抛物线上，且，
则，
故④正确；
综上，结论正确的个数是3个；
故选：C．
2．A
由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故、；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论．
解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴，
∴，对称轴为，常数项，
∴，
∴；
∴，①正确；
∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上，
∴对任意实数，都有，②正确；
∵
∴，③正确；
由题意得，
，
∴二次函数值小于一次函数的值，
∵二次函数过点和，这两个点也在直线上，
∴两个函数的交点为和，
由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方，
∴不等式成立的范围是，④正确．
综上所述，正确的个数有4个．
3．B
将和代入求出直线经过，再分别将点坐标代入抛物线解析式求出t的值，求出抛物线与直线只有1个交点时t的值，进而求解．
解：将代入得，
将代入得，
∴直线经过，
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
令，整理得，
当时，，
此时抛物线与直线只有1个交点，，
解得，
综上所述，当时满足题意．
4．A
首先由一次函数得到，，然后得到抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，联立求出两个函数交点的横坐标为0和3，然后结合图象求解即可．
解：∵一次函数（）的图象不经过第三象限，
∴，
∴
∵抛物线G的解析式为
∴抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，
联立一次函数和抛物线，得
解得或
∴一次函数和抛物线的交点的横坐标为0和3，
示意图如下：
∴由图象可得，当时，．
5．D
本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性．
解：∵ 对任意实数a，，
∴ ，即该二次函数抛物线开口向上，
∵ 抛物线与x轴交于、，且，
∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得：
当时，；当时，或，
∵ 点在抛物线上，即，
∴ 当时，，
当时，或．
对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意；
对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意；
对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意；
对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．B
①根据直线和抛物线的图象和性质求解；
②根据直线和抛物线的图象和性质求解
③根据直线和抛物线的图象交点求解
④根据抛物线的对称性进行求解；
⑤根据直线的对称性得出，关于轴对称的直线解析式为，然后确定交点，根据图象交点进行求解．
解：①∵直线与轴交于正半轴，
∴；
∵抛物线开口向上，
∴；
∴，
故①正确；
②当时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大，
故②正确；
③∵点的横坐标是，点的横坐标是3，
∴由图象可得当时，，
故③错误；
④若为等边三角形，则，
∴点关于轴对称，
则，，与矛盾，
∴不可能成为等边三角形，
故④错误；
⑤直线关于轴对称的直线解析式为，
∵直线与抛物线交于两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，
∴直线与抛物线交于两点，且两点的横坐标是，点的横坐标是2，
∴的解集为，
即的解集为，
故⑤正确；
综上，正确的结论是①②⑤．
7．或
此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键．
根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围．
解：令，可得，
，
令，可得，解得，
，
由图可得关于x的不等式的解集为或，
故答案为：或．
8．
根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解．
解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方，
则的解集是．
9．或
本题考查了二次函数图象的性质．通过求二次函数的根，结合抛物线开口方向，确定不等式解集，即可求解．
解：当时，，
，
解得：，
由于二次项系数为，抛物线开口向上，
因此当或时，函数值大于，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
10．
将方程转化为开口向上的二次函数，“一个根小于、一个根大于”等价于和时函数值小于，据此分别代入函数后解不等式，再找出同时满足两个条件的的取值范围．
解：令，
二次项系数为，
函数图像开口向上，
方程一个实根小于，一个实根大于，
当或时，，
将代入可得，解得，
将代入可得，解得，
故实数的取值范围是．
11．或
利用图象找到抛物线在直线上方时的取值范围，即可得解．
解：由图可知：当或时，抛物线在直线上方，
即不等式的解集是：或．
12．或
把代入二次函数解析式可求出，联立两函数解析式可求出它们的交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案．
解：∵二次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为，
联立得，解得或，
∴由函数图象可知，不等式的解集为或．
13．(1)；
(2)
(3)
本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数与二次函数的不等式解集、二次函数在区间上的最值问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合对称轴求对称点坐标，通过函数图象分析不等式解集，以及根据二次函数的单调性求区间内的函数值范围．
（1）用待定系数法，将点、代入二次函数解析式，求出、，得到二次函数解析式；再根据对称轴公式求出对称轴，利用点关于对称轴的对称性求出点的坐标；
（2）观察函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的的取值范围，即为不等式的解集；
（3）先求出二次函数的顶点坐标，判断在区间\[[1，4]\]上的单调性，再计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的对称轴为，
点与点关于对称轴对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即
（2）解：由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象下方，
故不等式的解集为．
故答案为：．
（3）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
当时，取得最小值；
当时，；
当时，；
∴当时，函数值的取值范围是．
故答案为：．
14．(1)
(2)或
此题考查了抛物线与坐标轴的交点和对称性，利用函数图象解不等式等知识，数形结合是关键．
（1）根据对称性求出抛物线与轴的另一交点，据此即可得到答案；
（2）根据开口方向和与轴交点的横坐标进行解答即可．
（1）解：抛物线与轴的交点坐标为，对称轴为直线，
设另一交点为，
则，解得，
所以方程的两个根为
（2）由图抛物线开口向下，与轴交于和，
所以当或时，，
即不等式的解集为或
15．(1)，
(2)
(3)
（1）求出当时的值即可得到答案；
（2）先求出对称轴和顶点坐标，最大值，再求出或时二次函数的值即可得解；
（3）分情况列不等式组求解即可．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线顶点的坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，
当时，，
当时，，
∴点的纵坐标的取值范围为；
（3）解：∵，
∴对称轴为直线，
当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时，
由题意得，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴；
当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时，
由题意得，该不等式组无解；
综上所述，．
16．(1)
(2)函数对称轴为直线，顶点坐标为；
(3)当时，，当或时
（1）由图象得函数图象与坐标轴的交点坐标，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（3）由函数图象即可得到答案．
（1）解:由图象得函数图象与坐标轴的交点坐标为，，，
设函数的解析式为，
将代入得，
解得 ，
故函数的解析式为；
（2）解：由（1）得函数的解析式为，
函数对称轴为直线，顶点坐标为；
（3）解：由图象可知当时，，
当或时．
17．(1)
(2)
(3)或
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）当时，可得一元二次方程，解方程求出的值，即为抛物线与轴交点的横坐标；
（3）因为抛物线开口向上，抛物线与轴的交点坐标为和，所以当或时，．
（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，经过点，
设抛物线的解析式为，
把点代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，
可得：，
抛物线与轴交点坐标为；
（3）解：抛物线的解析式为，
其中，
抛物线开口向上，
当时，
可得：，
整理得：，
解得：，，
抛物线与轴的交点坐标为和，
当或时，．
18．(1)
(2)
(3)或
（1）写出两点式即可得出结果；
（2）根据增减性，进行求解即可；
（3）直接根据图象法确定范围即可．
（1）解：∵抛物线 经过点和，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数值最大为；
当时，函数值最小为；
∴；
（3）解：由图象可知，时，或．
19．(1)，对称轴是直线
(2)或
（1）根据一次函数求出点B，C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据图象求解即可．
（1）解：对于，当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的表达式为，
把点代入，得，解得，
∴，对称轴是直线；
（2）解：由图象知，当时，x的取值范围为或．
20．(1)
(2)直线；
(3)或
（1）求出抛物线解析式，则可得到开口方向和增减性，再求出时x的值，即可得到答案；
（2）设当时，或，当时，根据增减性可推出当时，，则，再由对称性可求出对称轴；当时，由增减性可推出当时，或，此种情况不符合题意；
（3）根据（2）所求可得抛物线开口向下，则离对称轴越近函数值越大，进而得到点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，据此列式求解即可．
（1）解：当，时，抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
当时，则，解得或，
∴当时，；
（2）解：设当时，或，
当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，
设当时，或，
∴当时，，
∵当时，x的取值范围是，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当时，或，
又∵当时，x的取值范围是，
∴此种情况不成立；
综上所述，抛物线的对称轴为直线，；
（3）解：由（2）可知抛物线的对称轴为直线，且，
∴抛物线开口向下，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∵该抛物线与直线交于点A，与直线交于点B，且，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴，
∴，
∴或，
解得或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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