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约束条件下的抛体运动
目标要求
1.会处理斜面约束下的抛体运动。2.会处理圆弧面约束下的抛体运动。
考点一:斜面约束的抛体运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan θ==
从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，如图所示 已知速度的方向垂直于斜面，分解速度tan θ==
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tan θ===
从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示 已知位移的方向沿斜面向下，分解位移tan θ==
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移的方向垂直斜面，分解位移tan θ===
例1　(2024·浙江舟山市模拟)如图所示，一无人机携带救援物资进行救援任务，飞到O点时悬停，以12 m/s的水平速度向右弹出物资，物资恰好垂直打在倾角θ=37°斜坡上的A点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，下列说法正确的是( )
A.物资落到A点的时间为0.9 s
B.物资弹出的位置离A点的水平距离为19.2 m
C.若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，则物资仍能垂直打在斜坡上
D.若其他条件不变，弹出的初速度减小，则物资落到斜坡上的时间不变
答案　B
解析　物资垂直打在斜坡上的A点时，设竖直方向的速度为vy，如图所示，根据vy==gt，物资落到A点的时间为t=1.6 s，故A错误；物资弹出的位置离A点的水平距离为x=v0t=19.2 m，故B正确；若其他条件不变，弹出位置改为O点的正下方，相当于将图中轨迹向下平移，速度沿切线方向，可知，不可能垂直打在斜坡上，故C错误；若其他条件不变，弹出的初速度减小，与落在A点比较，相同时间会落到A点所在水平面左侧，可知最终会落在A点左下方，竖直方向由h=gt2可知时间变长，故D错误。
例2　(多选)(2026·江浙皖发展共同体一模)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿上专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，以运动员在a处为计时起点，在斜坡b处着陆。测得ab间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.运动员在a处的速度大小va=10 m/s
B.在空中飞行的时间t=2 s
C.运动员在空中离坡面的最大距离hmax=5 m
D.运动员在空中离坡面的距离最大时对应的时刻t2=1 s
答案　ABD
解析　运动员水平飞出后做平抛运动，水平方向位移x=Lcos 30°=20 m，竖直方向位移y=Lsin 30°=20 m，竖直方向由自由落体运动规律y=gt2，解得t==2 s，水平方向x=vat，解得va==10 m/s，A、B正确；将运动分解为垂直斜坡方向和沿斜坡方向，垂直斜坡方向初速度vy0=vasin 30°=5 m/s，加速度ay=-gcos 30°=-5 m/s2，离坡面距离最大时垂直斜坡方向速度为0，时间t2==1 s，垂直方向位移hmax=vy0t2+ay= m，C错误，D正确。
拓展　2025年2月10日，我国运动员在哈尔滨亚冬会单板滑雪男子大跳台决赛勇夺金牌。如图为简化后的跳台滑雪雪道示意图，AO段为助滑道和起跳区(倾角为α)，OB段为倾角为β的着陆坡，BD段为停止区。运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，以与水平方向成α角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面上的C点。已知运动员在O点以v0的速率起跳，轨迹如图虚线所示，不计一切阻力，重力加速度为g。求：
(1)运动员在空中运动的最小速度的大小；
(2)运动员离开着陆坡面OB的最大距离；
(3)若α=β=30°，运动员所到达的C点与起跳点O的距离。
答案　(1)v0cos α　(2)　(3)
解析　(1)建立水平和竖直坐标轴，不计阻力的情况下，运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，当竖直方向速度减到零的时候，速度最小，此时有vmin=v0cos α
(2)沿斜面和垂直于斜面建立x、y轴，
速度分解有vx=v0cos(α+β)，vy=v0sin(α+β)
加速度分解有ax=gsin β，ay=gcos β
当vy减到零时，运动员离着陆坡面OB最远，有2ayHmax=
联立解得Hmax=
(3)方法一　当运动员垂直于斜面OB的位移为零时落到C点，
有H=vyt-ayt2=0
解得t=0(舍去)，t==，
所以运动员所到达的C点与起跳点O的距离L=vxt+axt2=。
方法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
因α=β=30°，
由图可知v0t=gt2
解得t=，
由几何关系知，两分运动的合位移即OC之间的距离L=v0t=。
与斜面结合的抛体运动的分解方法
(1)正交分解法(两种情况)
①水平方向：匀速直线运动，vx=v0cos θ，x=vxt。
竖直方向：匀变速直线运动vy=v0sin θ-gt，y=v0sin θ·t-gt2(θ为v0与水平方向的夹角)。
②沿斜面方向：加速度大小为ax=gsin α的匀变速直线运动(α为斜面与水平方向的夹角——斜面倾角)。
垂直斜面方向：加速度大小为ay=gcos α的匀变速直线运动(类竖直上抛运动)。
(2)斜交分解法
沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动，如图所示。
考点二:圆弧面约束的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示
已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度tan θ==
利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示
已知位移大小等于半径R　　
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示
已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方　　
例3　如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，半径R=0.2 m，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间一定不同
C.小球落到轨道瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球初速度v为1 m/s时，小球运动时间最长
答案　D
解析　平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，下落的高度不一定大，则运动的时间不一定长，速度不同的小球下落的高度可能相等，如关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故A、B错误；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向反向延长线过圆心O，由平抛运动物体在任意时刻的瞬时速度反向延长线一定通过此时水平位移中点，可知与小球从A点抛出这一条件矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误；当小球落在半圆轨道最低点时，运动时间最长，由R=vt和R=gt2，可得v=1 m/s，故D正确。
例4　水车是我国古代劳动人民发明的灌溉工具。图甲为赤峰市道须沟风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图。高处的水从水槽中以速度大小v0沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为θ的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为g。求：
(1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v。
(2)槽口和冲击点的高度差h。
(3)槽口和冲击点的水平距离x。
答案　(1)　(2)　　(3)
解析　(1)如题图乙，水流落在水轮叶上的速度v沿水车切线方向，速度v与竖直方向的夹角为θ，有vsin θ=v0
可得v=
(2)竖直方向有vy==gt
槽口至冲击点高度为h=gt2
得h=
(3)槽口和冲击点的水平距离即为平抛运动的水平位移，由于平抛运动的等时性，水在水平方向的运动时间也为t，则有x=v0t
解得x=。
1.如图所示，若质点以初速度v0水平抛出后，落在倾角为θ=30°的斜面上，要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，重力加速度为g，不计空气阻力，则质点的飞行时间为( )
A. B. C. D.
答案　D
解析　要求质点从抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂直，根据几何知识有tan θ=，根据平抛运动规律有x=v0t，y=gt2，联立可得t=，故选D。
2.如图所示，B为竖直圆弧轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α=60°，一小球(可视为质点)在圆弧轨道左侧的A点以速度v0=5 m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为( )
A. m B.5 m C. m D. m
答案　A
解析　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α。由tan α=，x=v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x= m，故选A。
3.如图所示，AB是半径为R的竖直面内的四分之一圆弧，A点与圆心O在同一水平面上，在A点以水平速度v1向右抛出小球甲的同时，在O点以水平速度v2向左抛出小球乙，v1∶v2=2∶3，两球同时落到圆弧面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则( )
A.乙球末速度方向与水平方向的夹角更大
B.甲球做平抛运动的时间为
C.甲球做平抛运动的初速度大小为
D.若甲球做平抛运动的初速度加倍，甲球不能落在圆弧面上
答案　C
解析　由于两球同时抛出、同时落在圆弧面上，因此两球平抛运动的时间相等，下落的高度相同，因此两球末速度的竖直分量vy相同，设末速度方向与水平方向的夹角为θ，由tan θ=，v1∶v2=2∶3，可知甲球末速度方向与水平方向的夹角更大，故A错误；由平抛运动的水平方向位移x=v0t，可知甲、乙两球做平抛运动的水平位移之比为x1∶x2=2∶3，由x1+x2=R得甲球做平抛运动的水平位移为x1=R，根据几何关系，两球做平抛运动下落的高度h==R，由h=gt2，联立解得t=2，故B错误；甲球做平抛运动的初速度大小为v1==，故C正确；若甲球做平抛运动的初速度大小为2，由于甲球下落R高度时的水平位移x=2·=R，小于R，因此甲仍能落在圆弧面上，故D错误。
4.(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
答案　BD
解析　方法一　以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴)
将v0沿两个坐标轴分解，则有
v0x=v0cos 60°=10 m/s，v0y=v0sin 60°=10 m/s
将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有
ax=gsin 30°=5 m/s2
ay=gcos 30°=5 m/s2
从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2=4 s，A错误；
重物距PQ连线最远距离Y==10 m，C错误；
落至Q点时vx=v0x+axt=30 m/s
由对称性得vy=v0y=10 m/s
落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ
tan θ==，
则θ=30°
又因PQ与水平方向夹角为30°，
则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确；
重物从抛出到最高点所用时间为t1==1 s
从最高点到落地所用时间为t2=t-t1=3 s
则轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m，D正确。
方法二　以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等高
v0x=v0cos 30°=10 m/s
v0y=v0sin 30°=10 m/s
从P→P'
t1==2 s
x1=v0xt1=20 m
vx=v0x=10 m/s
vy=v0y=10 m/s，
从P'→Q
x2=vxt2，y=vyt2+g
由几何关系知：tan 30°==
解得：t2=2 s，t总=t1+t2=4 s，A错误；
从最高点至Q点时间为t3=t总-=3 s
vy'=gt3=30 m/s
tan α==，α=60°，B正确；
H=g=45 m，D正确；
离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D===10 m，C错误。

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